4.4.2　对数函数的图象和性质(一)

4.4.2对数函数的图象和性质(一)第四章

§4.4

对数函数1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.学习目标一、对数函数的图象和性质问题1

请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和

的函数图象.提示(1)－2－1

0

1

2

3

4

5

2

1

0－1－2－3－4－5(2)描点、连线x…0.250.512481632…y＝log2x…

…

…

…函数y＝log2x

定义域________________________值域______单调性________________最值________________奇偶性__________________________特殊点__________问题2

通过观察函数y＝log2x和

的图象，分析性质，并完成下表：x∈(0，＋∞)x∈(0，＋∞)RR增函数减函数无最值无最值非奇非偶函数非奇非偶函数(1,0)(1,0)y的变换情况当0<x<1时，

；当x>1时，_____当0<x<1时，

；当x>1时，____对称性y＝log2x和

的图象关于x轴对称y<0y>0y>0y<0提示

y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象

定义域___________知识梳理对数函数的图象和性质(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数最值________________奇偶性______________共点性图象过定点

，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈

；x∈[1，＋∞)时，y∈________x∈(0,1)时，y∈

；x∈[1，＋∞)时，y∈________对称性函数y＝logax与

的图象关于

对称无最大、最小值非奇非偶函数(1,0)(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]x轴注意点：(1)函数图象只出现在y轴右侧；(2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)；(3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴；(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.例1

(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1解析作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1.√(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝_____，c＝____.解析∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c.又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.－2

2(3)已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.解因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，所以函数f(x)＝log5|x|的图象如图所示.延伸探究1.在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)＝loga|x－1|的图象.解因为f(x)＝log5|x|，所以g(x)＝log5|x－1|，如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的.2.在本例中，若条件不变，试画出函数h(x)＝|logax|的图象.解因为a＝5，所以h(x)＝|log5x|.h(x)的图象如图所示.反思感悟

对数型函数图象的变换方法(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x>0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称.(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可.(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称.跟踪训练1

(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为√解析∵函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，当x>0时，f(x)＝logax＋1单调递增；当x<0时，f(x)＝loga(－x)＋1单调递减，又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知选C.(2)画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间.解函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示.由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间是(0，＋∞).二、利用单调性比较对数值的大小问题2

比较下列各组中两个值的大小：(1)log31.9，log32；解因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，1.9<2，所以log31.9<log32.(2)log23，log0.32；解因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.(3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)；

解当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，则有logaπ>loga3.14；当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，则有logaπ<loga3.14.综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14.(4)log50.4，log60.4.解在同一直角坐标系中，作出y＝log5x，y＝log6x的图象，再作出直线x＝0.4(图略)，观察图象可得log50.4<log60.4.反思感悟

比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练2

比较大小：(1)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)；解

当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又5.1<5.9，所以loga5.1<loga5.9；当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又5.1<5.9，所以loga5.1>loga5.9.综上，当a>1时，loga5.1<loga5.9；当0<a<1时，loga5.1>loga5.9.三、利用单调性解对数不等式例3解下列关于x的不等式：(1)所以原不等式的解集为{x|0<x<2}.(2)loga(2x－5)>loga(x－1)；综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；反思感悟

对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解.(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练3

(1)求满足不等式log3x<1的x的取值集合；解∵log3x<1＝log33，又函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，∴x的取值集合为{x|0<x<3}.(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围.解∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，解得x>1.∴x的取值范围是(1，＋∞).1.知识清单：(1)对数函数的图象及性质.(2)利用对数函数的图象及性质比较大小.(3)利用单调性解对数不等式.2.方法归纳：分类讨论、数形结合法.3.常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0<a<1两种情况.课堂小结随堂演练1.函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象大致是1234√解析∵0<a<1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故排除C，D；又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到的，故A正确.12342.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则A.a>b>c

B.b>a>cC.c>a>b

D.b>c>a√解析∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，∴a>b>c.12343.不等式

的解集为√1234解析当a>1时，满足条件；课时对点练基础巩固1234567891011121314151.函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是A.1<d<c<a<b

B.c<d<1<a<bC.c<d<1<b<a

D.d<c<1<a<b√解析令函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.直线y＝1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c,1)，B(d,1)，C(a,1)，D(b,1)，从而得出c<d<a<b.又a>1，b>1，d<1，c<1，∴c<d<1<a<b.162.若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是A.(－∞，7] B.(2,7]C.[7，＋∞) D.(2，＋∞)123456789101112131415√解析由lg(2x－4)≤1，得0<2x－4≤10，即2<x≤7.161234567891011121314153.设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则A.b<a<c

B.c<a<bC.c<b<a

D.a<c<b√解析∵a＝log37，∴1<a<2.∵b＝21.1，∴b>2.∵c＝0.83.1，∴0<c<1.即c<a<b.161234567891011121314154.函数f(x)＝logax(0<a<1)在[a2，a]上的最大值是A.0 B.1 C.2 D.a解析∵0<a<1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上单调递减，∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.√161234567891011121314155.函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是解析由f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C，D错误；又当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，所以B正确.√16解析∵g(x)＝－logbx＝

＝logax，∴f(x)和g(x)的单调性相同，结合选项可知A，B正确.1234567891011121314156.(多选)已知a>0，b>0，且ab＝1，a≠1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是√√161234567891011121314157.函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点______.解析令x－4＝1得x＝5，此时y＝loga1＋2＝2，所以函数y＝loga(x－4)＋2恒过定点(5,2).(5,2)161234567891011121314158.如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的增减性相同，则实数a的取值范围是______.(1,2)综上，实数a的取值范围是(1,2).161234567891011121314159.比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2；解因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，又0.3<2，所以ln0.3<ln2.16123456789101112131415(2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；解当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2；当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2；当0<a<1时，loga3.1>loga5.2.16123456789101112131415(3)log30.2，log40.2；(4)log3π，logπ3.解因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，又π>3，所以log3π>log33＝1.同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.16123456789101112131415解先作出函数y＝lgx的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得f(x)＝|lgx|图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.∴f(c)>f(a)>f(b).16123456789101112131415综合运用11.已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是A.x2<x3<x1

B.x1<x3<x2 C.x1<x2<x3

D.x3<x2<x1√解析分别作出这三个函数的大致图象，如图所示.由图可知，x2<x3<x1.1612345678910111213141512.若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致