福建省南平市2023-2024学年高二下学期期末考试 数学含解析

南平市2023—2024学年第二学期高二期末质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分考试形式：闭卷）注意事项：1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2已知随机变量，若，则（）A. B. C. D.3.“在上单调递增”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若，，则（）A.10 B.20 C.50 D.1005.已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（）X01PnA.5 B. C. D.6.将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（）A. B. C. D.7.将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（）A72种 B.42种 C.114种 D.36种8.以maxM表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（）A.4 B. C.3 D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则n的值可能为（）A.3 B.4 C.6 D.810.已知函数（且）在R上为单调函数，，则（）A.实数a的取值范围为B.当时，的取值范围为C.函数是周期函数D.函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对11.A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为xm（）时，点A距离地面的高度为，则（）A.当时，点A恰好位于轮子的最高点B.C.当时，点A距离地面的高度在下降D.若，，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量，若，则________．13.若，则________．14.若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的展开式中，二项式系数和为64．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项．16.某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.表1：工艺合格情况合计合格品不合格品甲1820乙8合计40表2：研发投入x（亿元）1234收益y（亿元）6.5788.5（1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？（2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？附：①，②临界值表：α0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828③参考公式：，.17.已知函数，偶函数．（1）求实数a的值；（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．18.已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．（1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望．（2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．19.函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知（，）．（1）若关于T可线性分解，求，；（2）若，关于3可线性分解．（ⅰ）求函数零点；（ⅱ）对，，求m的取值范围．南平市2023—2024学年第二学期高二期末质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分考试形式：闭卷）注意事项：1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】应用交集定义计算即可.【详解】由已知可得.故选：C.2.已知随机变量，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二项分布的期望公式求出，再利用独立重复试验的概率公式计算得解.【详解】随机变量，由，得，解得，所以.故选：B3.“在上单调递增”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用导数求出函数的单调递增区间，进而求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】函数的定义域为，求导得，由，得或，即函数在上单调递增，而在上单调递增，于是，显然真包含于，所以“在上单调递增”是“”的充分不必要条件.故选：A4.若，，则（）A.10 B.20 C.50 D.100【答案】B【解析】【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可.【详解】因为，又因为可得,所以.故选：B5.已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（）X01PnA.5 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用概率分布列的性质求出，再求出X的期望和方差，然后利用方差的性质计算即得.【详解】依题意，，解得，，，而，所以.故选：A6.将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用三角函数图象变换求出.【详解】依题意，，因此.故选：C7.将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（）A.72种 B.42种 C.114种 D.36种【答案】C【解析】【分析】可先将小球分组去掉1和2在一组的分法，再将三组小球放入三个盒子中即可.【详解】5个不同小球，先分成3组，可分为1,1,3,或者是1,2,2，共种，将每一种分法放到3个盒子中，共有种不同方法，根据分步乘法计数原理得：种.故选：C.8.以maxM表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（）A.4 B. C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】设，根据定义，得到，两次运用基本不等式，再运用不等式性质，得到,开方即可.【详解】设，则.显然．，当且仅当取得等号.，当且仅当取得等号.两式相乘，即，则.此时，前面都要成立，则，，则.的最小值为2,当且仅当取得最小值.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则n的值可能为（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】BC【解析】【分析】利用组合数公式化简，再利用组合数性质求出n的值.【详解】依题意，，因此，所以或.故选：BC10.已知函数（且）在R上为单调函数，，则（）A.实数a的取值范围为B.当时，的取值范围为C.函数是周期函数D.函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对【答案】ACD【解析】【分析】由单调性求出a的范围判断A；求出函数值域判断B；由周期函数的定义判断C；由函数的图象关于直线的图象与函数的图象交点个数判断D.【详解】对于A，由函数在R上为单调函数，而在上为增函数，得，解得，A正确；对于B，当时，，B错误；对于C，显然，函数是周期函数，C正确；对于D，函数的图象关于对称的图象对应解析式，由，得，即，由，，得，又，因此函数的图象与函数的图象有无数个交点，所以函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对，D正确.故选：ACD11.A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为xm（）时，点A距离地面的高度为，则（）A.当时，点A恰好位于轮子的最高点B.C.当时，点A距离地面的高度在下降D.若，，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】设轮子滚动了后到达了点，过点作垂直地面，过点作，求得函数的解析式为，结合余弦型函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为，如图所示，设轮子滚动了后到达了点，即，可得过点作垂直地面，过点作，则，即，对于A中，当时，，所以A不正确；对于B中，可得，所以B正确；对于C中，当时，可得，由余弦型函数的性质，都可在上单调递减，所以C正确；对于D中，由，可得，可得，所以，令且，且，则，且，当时，可得的最小值为，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量，若，则________．【答案】0.2##【解析】【分析】根据正态分布概率曲线图，结合对称性可解.【详解】如图，画出正态分布的曲线图，，即，即红色区域面积为.根据对称性，知，则故答案为：0.2.13.若，则________．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值.【详解】由，得，解得，所以.故答案为：14.若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________．【答案】1【解析】【分析】令，转化问题为，进而根据函数的单调性求出，转化问题为，即可求解．【详解】解：，，，，令，若存在使得不等式成立，，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，在上单调递减，，，即，，解得：，，实数的最大值为1，故答案为：1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的展开式中，二项式系数和为64．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项．【答案】（1）4096；（2）.【解析】【分析】（1）利用二项式系数的性质求出，再利用赋值法求出各项系数和.（2）求出展开式的通项公式，再求出指定项.【小问1详解】由的展开式中，二项式系数和为64，得，解得，所以展开式中各项系数的和为.【小问2详解】展开式的通项公式，令，得，所以展开式中含的项为.16.某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.表1：工艺合格情况合计合格品不合格品甲1820乙8合计40表2：研发投入x（亿元）1234收益y（亿元）6.5788.5（1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？（2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？附：①，.②临界值表：α0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.84166357.87910.828③参考公式：，.【答案】（1）列联表见解析，有关；（2）12.75亿元.【解析】【分析】（1）完善列联表，计算观测值，与临界值比对即得.（2）利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再代入计算即可.【小问1详解】列联表为：工艺合格情况合计合格品不合格品甲18220乙12820合计301040零假设：两种工艺生产的配件与合格率无关，由列联表中数据得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品合格率与生产工艺有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.【小问2详解】显然，，，则，，因此关于的线性回归方程为，令，得，所以预估研发投入10亿元，收益将达到12.75亿元.17.已知函数，为偶函数．（1）求实数a的值；（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）递减区间是，递增区间是；（3）.【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义求出值.（2）利用指数函数单调性，结合对勾函数单调性及偶函数的性质求解即得.（3）利用偶函数性质及函数单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式求解.【小问1详解】函数的定义域为R，由为偶函数，得，即，即，又不恒为0，所以.【小问2详解】函数，令，函数在上单调递增，当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减，所以函数的递减区间是，递增区间是.【小问3详解】由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，不等式，则，而，于是，依题意，对于任意恒成立，当时，，当且仅当或时取等号，，当且仅当时取等号，因此，所以实数k的取值范围是.18.已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．（1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望．（2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为2；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）求出的可能值及各值对应的概率，列出分布列并求出期望.（2）（ⅰ）利用古典概型及全概率公式计算即得；（ⅱ）利用条件概率公式计算得解.【小问1详解】依题意，的可能值为，，，，，，所以的分布列为：01234数学期望.【小问2详解】（ⅰ）设事件“从甲盒中摸出2个白球”，