九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）第24章 相似三角形全章复习与测试（原卷版）

第24章相似三角形全章复习与测试【知识梳理】1.相似形2.比例线段3.三角形一边的平行线4.三角形的重心5.平行线分线段成比例定理：两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例；平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.6.相似三角形的判定相似三角形的7.相似三角形的性质注：以上定理均要从文字、图形、符号三个方面去理解掌握.8.实数与向量相乘：设k是实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作.若，则；若，则；9.运算律：（1）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：；（2）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：；（3）实数与向量相乘的结合律：.10.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使.11.单位向量：长度为1的向量；设与非零向量方向相同的单位向量为，则：，.12.向量的线性运算：向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算.已知是两个不平行的向量，向量可以用表示成（x，y是实数）的形式.那么：向量就是向量的合成（向量分解为两个向量）；向量是向量分别在方向上的分向量，或者是向量关于的分解式.【考点剖析】一．三角形的重心（共7小题）1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是（）A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条高的交点2．（2023•黄浦区二模）已知点G是△ABC的重心，设，，那么用、可表示为．3．（2023•奉贤区一模）在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AD＝6，那么线段DG的长是．4．（2023•浦东新区二模）如图4，AD过△ABC的重心G，设向量＝，＝，那么向量＝．（结果用、表示）5．（2023•金山区一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是．6．（2023•徐汇区一模）如图，已知G为△ABC的重心，过点G作BC的平行线交边AB和AC于点D、E．设＝，＝，试用x+y（x、y为实数）的形式表示向量＝．7．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为．二．*平面向量（共5小题）8．（2023•宝山区二模）已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，设，那么用向量表示为（）A． B． C． D．9．（2023•浦东新区模拟）已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是（）A．， B．||＝2|| C． D．10．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中点．（1）求证：∠BAE＝∠C；（2）设＝，＝，用向量、表示向量．11．（2023•静安区校级一模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，AE＝EC．（1）求证：DE∥BC；（2）设，，试用向量、表示向量．12．（2022秋•嘉定区期中）已知：如图，已知两个不平行的向量、．求作：﹣2（写出结论，不要求写作法）．三．比例的性质（共5小题）13．（2022秋•金山区校级期末）根据4a＝5b，可以组成的比例有（）A． B． C． D．14．（2023•徐汇区一模）已知，则＝．15．（2023•崇明区一模）如果＝（x≠0），那么＝．16．（2022秋•奉贤区期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代数式3x﹣2y+z的值．17．（2022秋•奉贤区期中）已知实数a、b、c满足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．四．比例线段（共3小题）18．（2023•长宁区一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．119．（2023•奉贤区一模）已知线段a＝4，b＝16，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是．20．（2023•虹口区一模）已知线段b是线段a和c的比例中项，a＝2cm，c＝8cm，则b＝cm．五．黄金分割（共4小题）21．（2023•长宁区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（）A． B． C． D．22．（2022秋•徐汇区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1）23．（2023•金山区一模）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地地底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在同一条直线上），且BP＞AP，那么底部B到球体P之间的距离是米（结果保留根号）．24．（2023•杨浦区一模）已知点P是线段MN的黄金分割点（MP＞NP），如果MN＝10，那么线段MP＝．六．平行线分线段成比例（共4小题）25．（2023•宝山区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．26．（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝27．（2023•徐汇区模拟）如图，AD是△ABC的中线，P为AD上任意一点，连接BP并延长，交AC于F，连接CP并延长，交AB于E，连接EF．求证：EF∥BC．28．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于点M，CD、EF交于点N．（1）求证：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2：4，AM＝1，求线段DN的长．七．相似图形（共4小题）29．（2022秋•奉贤区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，点E、F是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别联结AE、EC、AF、CF，若四边形AECF是菱形，且与菱形ABCD是相似形，那么菱形AECF的边长是.（用a的代数式表示）．30．（2022秋•浦东新区期中）下列各组中两个图形不相似的是（）A． B． C． D．31．（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为．32．（2022秋•黄浦区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似 B．两个含45°角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含45°角的直角三角形必相似八．相似三角形的性质（共4小题）33．（2023•崇明区一模）如果两个相似三角形的周长之比是4：9，那么它们的对应角平分线的比为．34．（2023•虹口区一模）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12，A1C1＝9，∠A1的平分线的长为6，那么∠A的平分线的长为．35．（2023•宝山区一模）已知一个三角形的三边之比为2：3：4，与它相似的另一个三角形ABC的最小边长为4厘米，那么三角形ABC的周长为厘米．36．（2023•徐汇区一模）两个相似三角形的对应边上的中线之比4：5，则这两个三角形面积之比为．九．相似三角形的判定（共5小题）37．（2023•杨浦区三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．438．（2023•松江区一模）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝3，AD＝2，BC＝4．P是BA延长线上一点，使得△PAD与△PBC相似，这样的点P的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．439．（2023•杨浦区一模）如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，点D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且∠ACD＝∠B，下列结论中，错误的是（）A．△ACD∽△ABC B．△ADE∽△ACG C．△ACE∽△ABG D．△ADE∽△CGE40．（2023•徐汇区模拟）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）​A．1 B．2 C．3 D．441．（2023•普陀区一模）在△ABC和△DEF中，已知AB＝AC，DE＝DF，如果从下列条件中增添一个条件，△ABC与△DEF仍不一定相似，那么这个条件是（）A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．∠A＝∠E D．一十．相似三角形的判定与性质（共13小题）42．（2023•嘉定区二模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：3，那么S△DEC：S△DBC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：443．（2023•杨浦区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是（）A． B． C． D．44．（2023•松江区二模）如图，点G是△ABC的重心，四边形AEGD与△ABC面积的比值是（）A． B． C． D．45．（2023•崇明区一模）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，以下条件中不能推出△ABC为直角三角形的是（）A．∠A＝∠BCD B．＝ C．＝ D．＝46．（2023•浦东新区二模）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝8，△ABC的面积是32，那么这个正方形的边长是（）A．4 B．8 C． D．47．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．48．（2023•奉贤区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于点G．（1）求证：CE＝CF；（2）如果FG2＝AG⋅DG，求证：．49．（2023•普陀区二模）已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE⊥BD，垂足为点F，AB•DC＝BF•BD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点O作OG⊥AC交AD于点G，求证：EC＝2DG．50．（2023•青浦区二模）如图，在平行四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，点E在边BC上，连接AE交BD于点F，且AB2＝BF•BD．（1）求证：点F在边AB的垂直平分线上；（2）求证：AD•AE＝BE•BD．51．（2023•虹口区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E为BC延长线上一点，∠ADB＝∠CDE，点F在BD上，联结CF．（1）求证：AD•DE＝AC•DC；（2）如果AD•CE＝DF•DB，求证：四边形DFCE为梯形．52．（2023•宝山区二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，OB＝OC．（1）求证：AB＝CD；（2）E是边BC上一点，联结DE交AC于点F，如果AO2＝OF•OC，求证：四边形ABED是平行四边形．53．（2023•崇明区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G．（1）求证：AG2＝GF•GM；（2）联结CG，如果∠BAG＝∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形．54．（2023•金山区二模）如图，已知△ABC是等边三角形，过点A作DE∥BC（DE＜BC），且DA＝EA，联结BD、CE．（1）求证：四边形DBCE是等腰梯形；（2）点F在腰CE上，联结BF交AC于点G，若CF2＝GF•BF，求证：CG＝DE．一十一．相似三角形的应用（共4小题）55．（2023•徐汇区一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为米．56．（2022秋•黄浦区期末）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图5所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是平方厘米．57．（2022秋•黄浦区期末）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去测量零件的内孔直径AB．如果＝＝，且量得CD的长是3cm，那么零件的厚度x是cm．58．（2022秋•宝山区校级月考）现有不等臂跷跷板AB，当AB的一端点A碰到地面时（如图（1）），另一端点B到地面距离为3米；当AB的另一端点B碰到地面时（如图（2）），端点A到地面距离为2米，那么跷晓板AB的支撑点O到地面的距离OH＝米．一十二．向量的线性运算（共2小题）59．（2022•黄浦区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝，＝，请用向量，表示向量＝．60．（2021•徐汇区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，CD＝5，如果，那么向量是（用向量、表示）．【过关检测】一、单选题(本大题共6题，每题4分，满分24分)1．若ac=bd（ac≠0），则下列比例式中不成立的是(

)A． B． C． D．2．如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是(

)A．， B．，C．, D．，3．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长(

)A． B． C． D．或4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于E，则下列结论正确的是(

)A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC5．已知小丽同学身高米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（

）．A．20米 B．30米 C．40米 D．50米6．若向量与均为单位向量，则下列结论中正确的是（

）．A． B． C． D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于________．8．如图，在中，点、分别在边、上，平分，，如果，，那么．9．两个相似三角形面积比为1：9，小三角形的周长为4cm，则另一个三角形的周长为___________cm．10．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是_____cm．11．在比例尺为的地图上，上海与香港之间的距离为厘米，则上海与香港之间的实际距离为______千米．12．如果，那么______．13．在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为____________.14．在中，,那么这个三角形的重心到BC的距离是________，15．如图，在中，，，为上的一