2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题

2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题

一、单选题

1.已知集合人=卜6吊1<%<3},则下列关系正确的是（）

A.IGAB.20AC.3GAD.4eA

2.函数/（x）=2,的值域是（）

A.(-oo,0)B.(0,+8)C.(l,+℃)D.(-oo,-H»)

3.已知等差数列｛a“｝的首项4=3,公差d=2,则%=()

A.7B.9C.11D.13

4.已知直线《：x—y—1=。与6：x—2冲+2=0平行，则实数。的值是（)

11

A.—B.---C.1D.-1

22

2

5.双曲线步—匕=1的渐近线方程是()

3

A.yf3x±y=0B.x+y/3y=0

C.3x±y=0D.冗±3y=0

6.已知/（x）是奇函数，其部分图象如图所示，则/（尤）的图象是（）

TTTT

7.在6c中，角4,B,。所对的边分别为。，b,c.已知A=—,B=—,a=3,

64

则6=()

A.6B.373c.3也D.V6

8.设awR,则“a=l”是“6=1”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

"x-y+420

9.若实数x,V满足不等式组x+y-4W0,则x+2y的最大值是（）

y>0

A.0B.4C.8D.12

10.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）

11.已知实数X,丁满足必+丁2=1,则孙的最大值是（）

A.1B.3C.—

22

12.已知向量以B满足间=1，W=2,万Z=1，则万与B的夹角是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

13.已知角&为第四象限角，c的终边与单位圆交于点尸典）sin（tz+?

（）

AV2R近「3夜7行

A.•----------±5•-----・------・------

10101010

14.已知a,尸是两个不同平面，m,“是两条不同直线，则下面说法正确的是（）

A.若。〃mLa9n///3,则加〃"B..若。〃/?,mLa,〃〃,，则根_L〃

C.若mHa9nL/3,则加〃"D.若a10,mHa,n1/3,则相_L〃

15.设数列1（-1）向•3"的前〃项和为S,,则对任意的正整数〃恒成立的是（）

A.S“〉S,B.S〃<S向

C.$2">D.S?"<

16.已知。>6>1,则下列不等式一定成立的是（）

A.loga（logfib〉logb（logha）>。

B-logfl(log0b)+logfe(log〃a)>。

C.loga(log》a)-log,(logfl〃)>。

D-log”(log,a)+logfe(log„Z?)>0

v2y2

17.已知椭圆C：j+=l（a〉6〉0）的右焦点为尸左顶点为A.若点P为椭圆C

ab2

上的点，轴，且sin/P4F<=,则椭圆C的离心率的取值范围是（）

10

18.如图，已知直三棱柱A3C-43。的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2.E,

F分别是侧面ACQ4和侧面ABB^上的动点，满足二面角A-EF-A,为直二面角.

若点尸在线段所上，且砂，则点尸的轨迹的面积是

（）

4187r

D.—

3

二、双空题

19.已知OA的方程为(x-2y+(y-2)2=l,则其圆心A坐标为；半径为.

三、填空题

20.已知幕函数丁=/(九)的图象过点(3,百)，则〃4)=.

21.如图，在长方体ABC。—AqGR中，已知A3=2,BC=BBl=l,则直线

与平面\BXCD所成角的正弦值是.

2

22.若数列｛%｝满足q=2,4M=4%+4向+1,则使得an>2020成立的最小正

整数”的值是.

四、解答题

23.已知函数/(x)=cos2(x+V)—sin21x+V),xeR.

(i)求的值；

(II)求/(%)的最大值，并写出相应的X的取值集合.

24.在平面直角坐标系中，点M(—1,O),N(1,O),直线PM，PN相交于点P(x,y),

且直线PM的斜率与直线PN的斜率的差的绝对值是2.

(I)求点尸的轨迹E的方程；

(II)设直线/：丁=立(左>0)交轨迹E于不同的四点，从左到右依次为A,B,C,

O.问：是否存在满足|人用=忸1=|⑦)|的直线/?若存在，求出左的值；若不存在，

请说明理由.

25.设aeR,已知函数/(%)=,一4+,2一耳，

(I)当。=0时，判断函数/(%)的奇偶性；

(II)当44。时，证明：/(x)<«2-a+2；

(in)若y(x)<4恒成立，求实数。的取值范围.

2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题

一、单选题

1.已知集合4=卜6吊1<%<3｝,则下列关系正确的是()

A.IGAB.2^AC.3eAD.4史A

【答案】D

【解析】根据元素与集合的关系可得答案.

【详解】

因为集合A=｛xeR[l<x<3｝,所以1筠A,2eA，3^A,4史A

故选：D

【点睛】

本题考查的是元素与集合的关系，较简单.

2.函数〃尤)=2,的值域是()

A.(-oo,0)B.(0,+8)C.(1,+℃)D.(-oo,+oo)

【答案】B

【解析】根据指数函数的知识可直接选出答案.

【详解】

函数/(x)=2*的值域是(0,+?)

故选：B

【点睛】

本题考查的是指数函数的值域，较简单.

3.已知等差数列｛凡｝的首项4=3,公差[=2,则%=()

A.7B.9C.11D.13

【答案】C

【解析】根据等差数列的通项公式可算出答案.

【详解】

因为等差数列｛4｝的首项4=3,公差d=2,所以区=卬+4"=3+8=11

故选：C

【点睛】

本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.

4.已知直线4：x—y—1=。与4：X—2@+2=0平行，则实数。的值是（）

11,

A.-B.----C.1D.—1

22

【答案】A

【解析】根据直线平行可直接构造方程求得结果.

【详解】

解得：a=—.

QgK建京工。2

故选：A.

【点睛】

本题考查根据两直线平行求解参数值的问题，解题关键是明确若直线4兀+4丁+£=。

与直线4%+为丁+。2=。平行，则其为―&用=0且与C2—gG

2

5.双曲线步—匕=1的渐近线方程是（）

3

A.yf3x±y=0B.x+y/3y=0

C.3x±y=0D.x±3y=0

【答案】A

22

【解析】双曲线必—上=1的渐近线方程是d-匕=0,即可得到答案.

33

【详解】

22

双曲线d—上=1的渐近线方程是k―乙=0,即、以±>=0

33

故选：A

【点睛】

本题考查的是由双曲线的方程得其渐近线方程，简单题.

6.已知/（%）是奇函数，其部分图象如图所示，则/（%）的图象是（）

【答案】B

【解析】根据奇函数的图象关于原点对称可直接选出答案.

【详解】

因为奇函数的图象关于原点对称，所以/(x)的图象是

故选：B

【点睛】

本题考查的是奇函数的图象特点，较简单.

TT7T

7.在6c中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c.已知A=—,B=—,a=3,

64

则Z?=()

A.6B.3gC.3也D.网

【答案】C

【解析】利用正弦定理直接求得结果.

【详解】

3sin£W2

由正弦定理一"一="—得：b=aSmB=----生=/_=3后.

sinAsinBsinA.乃1

sin一

62

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.

8.设aeR,则“。=1”是“片=1”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】利用定义法判断即可.

【详解】

当。=1时，a2=1,充分性成立；反过来，当/=1时，则。=±1,不一定有。=1,

故必要性不成立，所以“。=1”是=i”的充分而不必要条件.

故选：A

【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，本题采用的是定义法，考查学生逻辑推理能力,

是一道容易题.

x-y+4>0

9.若实数x,丁满足不等式组卜+丁-4<0,则x+2y的最大值是（）

y>0

A.0B.4C.8D.12

【答案】C

【解析】

17

画出不等式组表示的平面区域，然后令x+2y=z,即丁=—-%+-,然后可得答案.

22

【详解】

x-y+4>0

1z

不等式组<x+y-4W0表示的平面区域如图，令x+2y=z,即丁=一一x+—,

八22

y>0

i7

由图可得当直线y=-QX+,过点（0,4）时z最大，最大值为8

故选：C

【点睛】

本题考查的是线性规划，准确地画出可行域是解题的关键，较简单.

10.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）

【答案】B

【解析】分析三视图可知，该几何体为三棱锥，再利用体积公式求解即可.

【详解】

解：由三视图可知该几何体为三棱锥，直观图如图，故体积为

V=-x-x3x73xV3=-

322

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了根据三视图求解三棱锥的体积问题，属于基础题型.

H.已知实数x,y满足k+9点，则移的最大值是（）

A.1B.且C.

2

【答案】D

【解析】根据炉+/22孙求解即可.

【详解】

解：因为必+了222孙，所以2孙+y2=],得3孙＜51

故选：D.

【点睛】

本题考查利用X2+y2>2肛求最值，是基础题.

12.已知向量入$满足间=1,|4=2,万Z=i，则万与5的夹角是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【解析】直接根据向量夹角公式求解.

【详解】

由已知间=1,W=2,展B=1得cosk，a=Ab=g,又所以日

b

与B的夹角为60°,

故选：C.

【点睛】

本题考查求向量夹角，考查基本分析求解能力，属基础题.

13.已知角a为第四象限角，a的终边与单位圆交于点P(|,贝ijsin[蟆+(]=

()

A五R6030D7夜

A.・----------D•・-----------U•---------

10101010

【答案】A

【解析】首先求出加，然后由任意角的三角函数的定义得cosa和sincr,然后由正弦

的两角和计算公式可得sin[a+：；

【详解】

因为角a为第四象限角，a的终边与单位圆交于点所以m=—1

43

所以由任意角的三角函数的定义得sina=-《，cos«=-

则sin(a+/]=^-(sina+cosa)=

I4j2V'10

故选：A

【点睛】

本题考查了任意角的三角函数的定义和正弦两角和的计算公式，属于基础题.

14.已知a,夕是两个不同平面，m,〃是两条不同直线，则下面说法正确的是()

A.若。〃,m-La,n//P,则mlIn

B..若。〃/?,mVa,,则〃z_L"

C.若。_L/?,mHa,nl。,则mlln

D.若。_L/?,mHa,n1(3,则

【答案】B

【解析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可.

【详解】

若。〃四，m±a,B,贝1]和_1_〃，故A错误，B正确;

若。，分，mHa,nV(3,则加与“可以平行、相交或异面，故C、D错误;

故选：B

【点睛】

本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，较简单.

15.设数列［(-1)*二3"｝的前〃项和为3，则对任意的正整数〃恒成立的是()

A.Sn>S,1+1B.<S,i+1

C.S［">D.S2n<S2n_i

【答案】D

【解析】由S2“—S2"T=(一I。”S?"=—32"<0可得答案.

【详解】

因为S“T—S〃=(—1)"+2.3向，确定不了符号；

2n+12n2n

s2rl-S2„_x=(-l)-3=-3<0，所以$2"<§21

故选：D

【点睛】

本题考查的是数列的通项与前〃项和的关系，较简单.

16.已知。>6>1,则下列不等式一定成立的是()

A.loga(logab\logb(logz,a)>。

B.log。(log。b)+log6(logba)>。

C.log。(log。a)-log,(loga〃)>。

D-logfl(log,a)+log"(logflz?)>0

【答案】B

【解析】由。>6>1可得0<log〃b<l,log"。〉］，然后利用对数的运算法则和运算

性质、对数函数的单调性逐一判断即可.

【详解】

因为a>6>l,所以0<log“b<l,log6a>\,所以log。(log。b)<OJog&(log6a)>0

所以loga(logab\logb(logba)<0,故A错误，

同理可得loga(log6a)」ogb(logaZ?)<0,故C错误

令/=log，e(0,l),则log&a=：

所以

log"(log“6)+log"(log"a)=log/+log"；=log“"log"t==l：g/一；ogq

tlog,alog*log,a-log,Z?

因为」e(O,l)a>b>l,所以log*>logr。,log,a<0,logfZ?<0,

log.Z?-log,a八/、/、

所以loga」og3>0'即log/logaH+logJlog/),。，故B正确

同理可得loga(log6a)+logb(logaZ?)<0,故D错误

故选：B

【点睛】

本题考查了对数的运算法则和运算性质、对数函数的单调性，考查了学生的运算求解能

力，属于中档题.

已知椭圆：二+y2

17.C=l（a〉6〉0）的右焦点为斤,左顶点为A.若点P为椭圆C

ab2

且sinZPAF<亚，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

上的点，PNl-X轴,

10

【答案】D

（口

【解析】由题意可得，F（c,Q）,A（-a,Q）,Pc,+—,然后可得

、a7

b1

sinNPAF=/&,4<I",然后结合。2=片一C2和e=£可得

//\2b1Ua

V(a+c)+/

2-e-3e2<0;解出即可.

【详解】

(/,2A

由题意可得，F(c,0),A(-«,0),Pc,±—

IaJ

£

所以sin/P4R=°(噜,所以吗<(a+c『+4

/।\2匕I。aa

N(a+c)+/

所以"~<(a+c『，所以3/?2<a(a+c),所以3(片一02)<片+双

2

所以2a2—4―3c2<0，所以2—e—3e2<0，解得e〉§或e<—1

因为ee(O,l),所以ee/,11

故选：D

【点睛】

本题考查的是椭圆离心率的求法，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.

18.如图，已知直三棱柱A3C-4片01的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2.E,

F分别是侧面ACQA和侧面ABB^上的动点，满足二面角A-EF-A,为直二面角.

若点尸在线段EF上，且则点尸的轨迹的面积是

【答案】B

【解析】根据已知条件得尸的轨迹为以Ad为直径的球在三棱柱A3C-4与C内部的

曲面，再根据球的面积公式求解即可.

【详解】

解：：二面角A—EF—4为直二面角

•••平面AE产，平面EF4，

又,:点P在线段跖上，且APu平面AEE,平面AE厂口平面

EFA=EF

”，平面£F4,连接AP,

，AP±AP-P在以AA为直径的球上，且P在三棱柱ABC—451G内部，

•••P的轨迹为以AA为直径的球在三棱柱ABC-4与£内部的曲面，

又；三棱柱ABC-4及G为正三棱柱，

•••P的轨迹为以441为直径的球面，占球面的」，

6

；•点尸的轨迹的面积是S=,X4〃=2^.

63

故选：B.

【点睛】

本题考查立体几何面面垂直的性质定理，考查空间想象能力，是中档题.

二、双空题

19.已知。A的方程为（x-2『+（y-2）2=l,则其圆心A坐标为；半径为.

【答案】（2,2）1

【解析】根据圆的方程可直接得到答案.

【详解】

因为OA的方程为（x—2y+（y—2）2=1,

所以其圆心A坐标为（2,2）,半径为1

故答案为:（2,2）；1

【点睛】

本题考查的是由圆的标准方程得其圆心坐标和半径，较简单.

三、填空题

20.已知塞函数丁=/（%）的图象过点（3,6）,则64）=.

【答案】2

【解析】结合幕函数定义，采用待定系数法可求得了（九）解析式，代入x=4可得结果.

【详解】

・・・丁=/（”为幕函数，二可设/（力=丁，二/（3）=3"=百，解得：«=

/(x)=%2，•-/(4)=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查幕函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幕函数的定义，采用待定

系数法求解函数解析式，属于基础题.

21.如图，在长方体ABC。—A4G。中，已知AB=2,BC=BB[=1,则直线A1

与平面4用8所成角的正弦值是.

V10

【答案】

lo-

【解析】连接交C4于K,连接AK,易得ZBAK为直线48与平面44。

所成的角，再由已知算出5K,A片的长度即可得到答案.

【详解】

如图，连接BG，交C4于K,连接AK,

由题，44，平面3用。1。，所以4耳，BG，又四边形5用GC是正方形，

所以5G，CB},nCB[=耳，所以，平面CB^D,

即ZBA.K为直线A.B与平面所成的角，

又AB=2,BC—BB]—1,所以43=^AB2+AA^2=y[5，

BK

BK=-BCl=—，故2而.

幺幺月610

故答案为：叵

10

【点睛】

本题主要考查利用定义法求线面角，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.

2

22.若数列｛4｝满足％=2,an+1=4%+4n+1,则使得an>2020成立的最小正

整数〃的值是.

【答案】11

【解析】根据递推关系式可证得数列｛向+1｝为等比数列，根据等比数列通项公式求

得向，代入不等式，结合“eN*可求得结果.

【详解】

,•,%=44+4口+1=(2〃7+1),.•.87=2伍+1,

,7^7+1=2(阮+1),

二数列｛a+1｝是以6+1=四+1为首项，2为公比的等比数列，

.•..+1=(0+1)X2"T,二禽=(0+1卜2"1一1,

由qN20202得：向22020,IP2"-1>=2021x(72-1)«837,

•••29=512,21O=1O24HMGN*.,满足题意的最小正整数〃=H.

故答案为：11.

【点睛】

本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构

造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求

解.

四、解答题

23.已知函数/(x)=cos2|x+g]—sin?|x+xeR.

(I)求/的值;

（II）求/（九）的最大值，并写出相应的工的取值集合.

71

【答案】（I）—1；（II）1,'xx=k兀,k&Z>.

6

【解析】（1）直接代入计算即可；

（2）先根据二倍角公式化简，再根据余弦函数的性质求解即可.

【详解】

（II）由二倍角公式得：/（%）=cos2（x+V）］=cos（2x+5），

所以，/（%）的最大值为1.

当且仅当2x+2=2左乃时，即x=k乃—二（keZ）时，/（九）取得最大值，

36

71

所以，取得最大值时1的集合为=左乃—7■，左£Z>.

6

【点睛】

本题考查余弦的二倍角公式，三角函数的最大值问题，是基础题.

24.在平面直角坐标系中，点/（—1,0）,N（l,o）,直线PM,PN相交于点P（九,y）,

且直线PM的斜率与直线PN的斜率的差的绝对值是2.

（I）求点P的轨迹E的方程；

（II）设直线/：y=H（左>0）交轨迹E于不同的四点，从左到右依次为A,B,C,

D.问：是否存在满足|/叫=忸1=|8|的直线/?若存在，求出攵的值；若不存在，

请说明理由.

【答案】（I）y=±（x2-l）（x^±l）；（II）存在，孚.

【解析】（I）根据条件直接建立方程即可；

（H）假设存在直线/满足题意，设AGQJ,B（x2,y2）,C（演,%），。（乂，乂），

联立直线的方程与y=1-必消元，然后韦达定理再结合点台是AC的中点可得

（k左2、

B,然后代入y=Y—1可解出人,同理，由忸q=|cq可解出左.

I22）

【详解】

（I）由已知得，七v|=2,即——一\=2,

X+1X—1

化简得到点P的轨迹E的方程为y=±（x2-l）（x^±1）.

（II）假设存在直线/满足题意.

设4（%,%），3（孙％），。（七,%），°（为4，%）.

y=kx

由方程组2消去丁，整理得好+履_i=o,所以%+%=—上

[y=1l-X

（172、

因为|人^=忸。],所以点3是AC的中点，故8.

I22）

因为点3在丁=代—1上，故—;=g]-1,

由左＞0,得k二空.