新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类能力拓展01玩转指对幂比较大小(原卷版+解析)

能力拓展01玩转指对幂比较大小【命题方向目录】命题方向一：直接利用单调性命题方向二：引入媒介值命题方向三：含变量问题命题方向四：构造函数命题方向五：数形结合命题方向六：特殊值法、估算法命题方向七：放缩法命题方向八：不定方程命题方向九：泰勒展开命题方向十：同构法【方法技巧与总结】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常见函数的麦克劳林展开式：①②③④⑤⑥【典例例题】命题方向一：直接利用单调性例1．（2023·北京大兴·校考三模）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．例2．（2023·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知，，，则三数大小关系为（

）A． B． C． D．例3．（2023·内蒙古包头·高一统考期末）设，，，则，a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．变式1．（2023·安徽马鞍山·高一安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．变式2．（2023·福建·高二统考学业考试）设，，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．变式3．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．变式4．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．变式5．（2023·全国·高三专题练习），，的大小关系为（

）A．B．C．D．命题方向二：引入媒介值例4．（2023·江西抚州·高一校考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．例5．（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．例6．（2023·广东肇庆·高一德庆县香山中学校考期中）已知a=0.60.6，，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a变式6．（2023·全国·高三专题练习）设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．变式7．（2023·河南洛阳·高三校联考阶段练习）定义在R上的偶函数在上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．命题方向三：含变量问题例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．例8．（2023·江西宜春·模拟预测（文））已知实数x，y，，且满足，，则x，y，z大小关系为（

）A． B． C． D．例9．（2023·天津·高三专题练习）已知，记，则的大小关系是（

）A． B．C． D．变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，设，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．变式9．（2023·天津红桥·统考一模）设，且，则的大小关系为A． B． C． D．命题方向四：构造函数例10．（2023·山西晋中·高三校联考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．例11．（2023·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）若，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．例12．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知实数，，，满足，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．变式10．（2023·新疆·高三校联考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．变式11．（2023·天津滨海新·高三校考期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．变式12．（2023·全国·高三统考阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．变式13．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）若a＝，，c＝，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为（

）A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜b＜a D．c＜a＜b变式14．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系正确的是（

）．A． B．C． D．变式15．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．变式16．（2023·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）设，，，则a、b、c的大小关系为（

）A． B． C． D．变式17．（2023·四川成都·高三成都七中校考开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．命题方向五：数形结合例13．（2023·江西赣州·统考二模）若，则（

）A． B． C． D．例14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．例15．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则a，b，c与1的大小关系是（

）A． B．C． D．变式18．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知实数，，，那么实数的大小关系是（

）A． B． C． D．变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，且，则与2的关系为A． B． C． D．大小不确定变式20．（2023·上海黄浦·高三上海市光明中学校考期中）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．命题方向六：特殊值法、估算法例16．（2023·全国·高三专题练习）若，则的大小关系是（

）A． B． C． D．例17．（2023·全国·高三对口高考）若，且，当时，则一定有（

）A． B．C． D．例18．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．变式21．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，（），则（

）A． B．C． D．变式22．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数m，n，t满足，，则（

）A．， B．，C．， D．，变式23．（2023·全国·校联考模拟预测）设为正数，且，则（

）A． B． C． D．变式24．（多选题）（2023·海南·统考模拟预测）已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．命题方向七：放缩法例19．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知，，，则p，q，r的大小关系为（

）A． B． C． D．例20．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考期中）设，，，则a，b、c的大小关系为（

）A． B．C． D．例21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为A． B．C． D．变式25．（2023·广东湛江·高三校联考阶段练习）已知，，且，则（

）A． B． C． D．，大小关系无法确定变式26．（2023·全国·高三专题练习）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系A． B． C． D．变式27．（2023·全国·高三专题练习）实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．变式28．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．变式29．（2023·全国·高三专题练习）实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．命题方向八：不定方程例22．（2023·全国·长郡中学校联考二模）设实数，满足，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．无法比较例23．（黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2023学年高三下学期清北班阶段性测试（开学考试）数学试卷）已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（

）A． B．C． D．例24．已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是A． B． C． D．命题方向九：泰勒展开例25．已知，则（

）例26．（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）设，，，这三个数的大小关系为（

）A． B． C． D．例27．设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）变式30．设，则（）A．B．C．D．命题方向十：同构法例28．已知，，且满足，则A． B． C． D．例29．已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是A． B． C． D．例30．若，则A． B． C． D．【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高三对口高考）已知，并且m、n是方程的两根，则实数a、b、m、n的大小关系可能是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．3．（2023·河南安阳·统考三模）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．4．（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．5．（2023·云南·校联考模拟预测）定义方程的实数根叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．6．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则a、b、c的大小关系为（

）A． B．C． D．二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列大小关系中不正确的是（

）A． B．C． D．10．（2023·全国·高三专题练习）下列大小关系中正确的是（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．三、填空题12．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为__________．13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系是__________．（用“<”号联结）14．（2023·全国·高三专题练习）设x，y，z为正数，且，则x，y，z的大小关系为___________．15．（2023·全国·高三专题练习）已知分别满足下列关系：，则的大小关系（从小写到大）_______.16．（2023·全国·高三专题练习）设，则a，b，c大小关系是____________．17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则M，N的大小关系为________．18．（2023·全国·高三专题练习）与的大小关系为________．19．（2023·山东德州·高二校考阶段练习）已知，则的大小关系为__________.（从小到大）20．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）正数满足，则a与大小关系为______．21．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系为______．（用“”连接）22．（2023·全国·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系是_____．（用“”连接）能力拓展01玩转指对幂比较大小【命题方向目录】命题方向一：直接利用单调性命题方向二：引入媒介值命题方向三：含变量问题命题方向四：构造函数命题方向五：数形结合命题方向六：特殊值法、估算法命题方向七：放缩法命题方向八：不定方程命题方向九：泰勒展开命题方向十：同构法【方法技巧与总结】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常见函数的麦克劳林展开式：①②③④⑤⑥【典例例题】命题方向一：直接利用单调性例1．（2023·北京大兴·校考三模）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为在上单调递减，所以，，又，即，所以.故选：D例2．（2023·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知，，，则三数大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，即，而，，所以.故选：D例3．（2023·内蒙古包头·高一统考期末）设，，，则，a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，因为，所以，因为，所以，因为，所以，由此可知.故选：D.变式1．（2023·安徽马鞍山·高一安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，∴，故选：A.变式2．（2023·福建·高二统考学业考试）设，，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，.故选：D.变式3．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题知，，即：，又，所以；，，，所以：.故选：C.变式4．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，．故选：D．变式5．（2023·全国·高三专题练习），，的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题知，，，，∵，∴，故选：C．命题方向二：引入媒介值例4．（2023·江西抚州·高一校考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，所以，故选：A例5．（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，显然，，且，即，所以，所以.故选：C例6．（2023·广东肇庆·高一德庆县香山中学校考期中）已知a=0.60.6，，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a【答案】C【解析】，，，所以.故选：C.变式6．（2023·全国·高三专题练习）设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，时，恒成立，在单调递增，时，，而，所以，，故，即，而，所以．故选：B变式7．（2023·河南洛阳·高三校联考阶段练习）定义在R上的偶函数在上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，又，即，即，所以，因为为偶函数，所以，又在上单调递增，所以．即；故选：D．命题方向三：含变量问题例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：∵，∴，．方法二：令，则．故选：C.例8．（2023·江西宜春·模拟预测（文））已知实数x，y，，且满足，，则x，y，z大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因，，则，即，令，则，函数在上单调递增，有，即，从而当时，，令，，在上单调递减，则由，得，所以.故选：A例9．（2023·天津·高三专题练习）已知，记，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：因为，所以，所以，故选：A变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，设，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知，，可得，且a＞1＞b＞0，不难判断x，y，z的大小关系，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.∵a＞b＞0，，∴可得，且a＞1＞b＞0，∴，，，又，，单调递增，，∴，∴，∵，，，根据对数函数性质可得，∴．故选B．变式9．（2023·天津红桥·统考一模）设，且，则的大小关系为A． B． C． D．【答案】B【解析】当a>1时,易知>2a，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知m>p又∵(+1)−(a−1)=−a+2恒大于0(二次项系数大于0,根的判别式小于0,函数值恒大于0),即+1>a−1，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知m>n又∵当a>1时2a显然大于a−1，同上，可知p>n.综上∴m>p>n.故选B.命题方向四：构造函数例10．（2023·山西晋中·高三校联考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为在内单调递增，且，所以，令，所以，当，单调递增；当，单调递减；所以，所以即，因为，且，所以，综上，故选：B例11．（2023·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）若，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，，则，当时，，∴在区间上单调递增，∴，即，又∵在上单调递增，∴，即，∴，即；令，，则，当时，，∴在区间上单调递增，∴，即，∴，综上所述，，，的大小关系为.故选：C.例12．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知实数，，，满足，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，，又，即；设，则，当时，，单调递增，时，，，又，设，则，当时，，单调递减，，；故选：D.变式10．（2023·新疆·高三校联考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设函数,则，当时，，递减；当时，，递增，故，即，当时取等号；∵，∴，∴，由以上分析可知，则时，有成立，当时取等号，，即，当时取等号，∴，∴，故，故选：B.变式11．（2023·天津滨海新·高三校考期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，，，故令，则，因为，所以，故恒成立，所以在上单调递增，因为，所以，即，故，又因为在上单调递增，所以，即.故选：B.变式12．（2023·全国·高三统考阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设函数，则．令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数在上单调递增，所以，即，所以．故选：D．变式13．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）若a＝，，c＝，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为（

）A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】B【解析】设，，，时，，设，则，所以在上是增函数，，所以时，，所以，即，即，，设，，，所以是增函数，，，，从而，，，综上，．故选：B．变式14．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由，，令，构造函数，，则，因为，所以得，下面说明，因为，所以，即，所以，所以当时，，所以在是增函数，因为，所以，即，整理可得，即，因为，，令，构造函数，，则，令，则，故在是增函数，所以，所以在是增函数，所以，即，所以，即，综上，.故选：C.变式15．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】要比较，，等价于比较的大小,等价于比较,即比较,构造函数,,令得,令得,所以在单调递增,单调递减.所以,因为，所以最大，即，，中最大，设，结合的单调性得，，先证明，其中，即证，令，，其中，则，所以，函数在上为增函数，当时，，所以，当时，，则有，由可知，所以，因为，所以即，因为，在单调递增，所以，即，因为所以所以，即，因为，在单调递减.所以，即，即，综上，，故选:B.变式16．（2023·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）设，，，则a、b、c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，因为，，则，，令且，则，则递减，所以，即，则，故；因为，，由，令且，则，则递增；故，，而，所以，则，即，综上，.故选：D变式17．（2023·四川成都·高三成都七中校考开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，所以在上递减，所以，即，设，则，递增，则，即，所以，即因为，，所以只要比较的大小即可，令，则，因为在上为减函数，且，所以当时，，所以在上为减函数，因为，，要比较与的大小，只要比较与的大小，令，则，所以在上递增，所以，所以当时，，所以，所以，所以，所以当时，，所以在上递增，所以，所以，所以，所以，即所以，故选：D命题方向五：数形结合例13．（2023·江西赣州·统考二模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，，其中，在同一坐标系内画出，故故选：D例14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】

作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，，当时，，，，故A，B正确.令，则，在上单调递减，所以，故C错误.，所以，故D正确.故选：ABD.例15．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则a，b，c与1的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，则当时，，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增,而，由可知，故作出函数大致图象如图：由图象易知，，故选：C.．变式18．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知实数，，，那么实数的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于可得，即，又由于，所以，假设在中，，，角B的平分线交边AC于点D，所以，，，所以,所以即，所以，所以，所以即，解得，在中，即，所以，由于即，所以，所以，因为，所以，所以故选：B变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，且，则与2的关系为A． B． C． D．大小不确定【答案】A【解析】由题，,令则有，所以当时，当时，，所以,在时取得极大值和最大值.又当趋近于正无穷时,正向趋近于0,且,所以,如果存在使得,不失一般性令,则,，对于任意的,分别取两点、，现在比较和的大小.，令分子部分为,.求导有,当时,;当时,又，故单调递增且大于0.所以,在上是单调增函数,且,故,即，因为，，在上单调递减且,所以在点的右侧必能找到一点,使得,且，故，令,则有，故选A．变式20．（2023·上海黄浦·高三上海市光明中学校考期中）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由得，，即，，由得，，令，，恒成立，所以在递增，又，，所以在上存在唯一零点，所以，，则得，即，令，，或时，，时，，所以在和上是增函数，在上是减函数，而，，，所以在上有唯一零点，所以．综上．故选：B．命题方向六：特殊值法、估算法例16．（2023·全国·高三专题练习）若，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以取，则，，显然，故可排除选项A和B；又，故可排除选项C.故选：D.例17．（2023·全国·高三对口高考）若，且，当时，则一定有（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令A,C选项错误;,D选项错误;,,,,B选项正确.故选:B.例18．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，令，，则满足，但，故A错误；对于B，若使，则需满足，但题中，故B错误；对于C，同样令，，则满足，但，故C错误；对于D，已知，由不等式的可加性可得，故D正确.故选：D.变式21．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，（），则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】若，则，∴，，，故A错．若，则，∴，，故B错．对于C，由得：，即.同理由得：，所以，故C正确；对于D，同上得：,故D错误.故选：C．变式22．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数m，n，t满足，，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】令，，在上单调递减，时，，∴，即，∴，∴，即，∴，排除AB.时，，，，，显然，，所以，选C，时可得相同结论，时取“”.故选：C.变式23．（2023·全国·校联考模拟预测）设为正数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于选项A，设，所以此时，所以该选项错误；对于选项B，设，所以，所以该选项错误；对于选项C，设，所以，所以该选项错误；由题得，因为函数单调递增，所以．故选：D变式24．（多选题）（2023·海南·统考模拟预测）已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】由，故，当时，A错；由在定义域上递减，而，故，B错；由，而在定义域上递增，故，C对；因为，则，仅当，即时等号成立，所以，只需，而，仅当时等号成立，综上，，仅当时等号成立，D对.故选：CD命题方向七：放缩法例19．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知，，，则p，q，r的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得：，因为，即，所以，即，又因为，所以.故选：D.例20．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考期中）设，，，则a，b、c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，，，又，，所以，即，，即，∴.故选：A.例21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为A． B．C． D．【答案】D【解析】先由题，易知，而，再将b，c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.因为，故所以，即故选D变式25．（2023·广东湛江·高三校联考阶段练习）已知，，且，则（

）A． B． C． D．，大小关系无法确定【答案】C【解析】易知，设，则，设，则，所以单调递减，所以，即，单调递减，因为，所以.故选：C.变式26．（2023·全国·高三专题练习）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意化简得，能得出，化为指数根据当或时，判定，将两边同时取底数为4的指数，通过放缩比较的进而得出答案.因为，，所以，对于，令，则故当或时，，所以，即所以，将两边同时取底数为4的指数得因为所以故选：B.变式27．（2023·全国·高三专题练习）实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，，，则，因为，所以，所以，设，则，当时，，所以在上单调递减，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，故选：B变式28．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，，，，，故选：．变式29．（2023·全国·高三专题练习）实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解析：由已知得，，，则，因为，所以有，所以设，，当时，，所以在上单调递减，因此，即，所以，所以，所以，所以，又，所以，综上可知故选：．命题方向八：不定方程例22．（2023·全国·长郡中学校联考二模）设实数，满足，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．无法比较【答案】C【解析】假设，则，，由得，因函数在上单调递减，又，则，所以；由得，因函数在上单调递减，又，则，所以；即有与假设矛盾，所以，故选：C例23．（黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2023学年高三下学期清北班阶段性测试（开学考试）数学试卷）已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，a、b、c是正实数，所以，因为，所以，对于A，若，则，满足题意；对于B，若，则，满足题意；对于C，若，则，满足题意；对于D，若，则，不满足题意．故选：D．例24．已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是A． B． C． D．【答案】【解析】先比较与2的大小，因为，所以，所以，即，故排除，，再比较与2的大小，易得，当时，由，得与矛盾，舍去，故，则有，得，令，，令，则，故，故，从而．故选：．命题方向九：泰勒展开例25．已知，则（

）【答案】A【解析】设，则，，，计算得，故选A．例26．（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）设，，，这三个数的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，∵，而在上单调递增，∴且时，，以下是证明过程：令，，，令，故，令，故，令，则，令，故，令，故在上恒成立，故在上单调递增，所以，故在上单调递增，所以，故在上单调递增，所以，故在上单调递增，所以，故在上单调递增，∴，∴，∴.故选：C．例27．设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）【答案】【解析】，由函数切线放缩得，因此．故答案为：变式30．设，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选命题方向十：同构法例28．已知，，且满足，则A． B． C． D．【答案】【解析】，，，，令，则，在上单调递减，在上单调递增，，，，，又，，，，．故选：．例29．已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是A． B． C． D．【答案】【解析】由已知，因为，所以原式可变形为，令，，函数与均为上的增函数，且，且（1）（1），当时，，，，当时，，，，要比较与的大小，只需比较与的大小，，设，则，故在上单调递减，又（1），（2），则存在使得，所以当时，，当，时，，又因为（1），（1），（4），所以当时，，当时，正负不确定，故当，时，，所以（1），故，当，时，正负不定，所以与的正负不定，所以，，均有可能，即选项，，均有可能，选项不可能．故选：．例30．若，则A． B． C． D．【答案】【解析】因为；因为，所以，令，由指对数函数的单调性可得在内单调递增；且（a）；故选：．【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高三对口高考）已知，并且m、n是方程的两根，则实数a、b、m、n的大小关系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，又，分别画出这两个函数的图象，其中的图象可看成是由的图象向上平移1个单位得到，如图，

由图可知：．故选：A．2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以构造函数，因为，由有：，由有：，所以在上单调递减，因为，，,因为，所以，故A，B，D错误.故选：C.3．（2023·河南安阳·统考三模）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，，，故选：B.4．（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可得：，则，且，即.故选：B5．（2023·云南·校联考模拟预测）定义方程的实数根叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数，得，由题意可得，，即.设，，因为，所以，易得在上单调递减且，，故.由，，由题意得：，易知，所以，因为，所以.故选:D.6．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，可得，设，可得，所以单调递减，则，即，所以；又由，设函数，可得，当时，，单调递增，所以，即，所以，所以.故选：C.7．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则a、b、c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，，∵，且在R上为增函数，∴，即