专题13 图案设计（解析版）

数学八年级下暑假预习专题训练专题十三图案设计（解析版）【专题导航】目录【考点一利用平移设计图案】......................................1【考点二利用轴对称设计图案】....................................5【考点三利用旋转设计图案】.....................................10【考点四几何图形变换的综合题】.................................14【聚焦考点1】利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩。平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等【典例剖析1】【典例1-1】“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心、吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个”方胜”图案，则点D、B′之间的距离为（）A．1cm B．2cm C． D．【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的概念求出BB′，计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为边长为2cm的正方形，∴BD＝＝2（cm），由平移的性质可知，BB′＝1cm，∴B′D＝（2﹣1）cm，故选：D．【点评】本题考查的是平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出BB′是解题的关键．【典例1-2】把18个边长都为1的等边三角形如图拼接成平行四边形，且其中6个涂上了阴影现在，可以旋转、翻折或平移某一个阴影等边三角形到某一个空白的等边三角形处，使新构成的阴影部分图案是轴对称图形，共可得________种轴对称图形．【答案】【详解】解：∵把六个等边三角形分别经过旋转、翻折或平移可以得到的轴对称图形有：∴共可得到种轴对称图形故答案是：【点评】例题3考查了轴对称图形的定义，判断一个图形是否是轴对称图形就看能否找到对称轴．把六个等边三角形分别经过旋转、翻折或平移，根据轴对称图形的定义进行判断即可得解．针对训练1【变式1-1】下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）A． B． C． D．【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．【解答】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，故不符合题意；B、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，故符合题意；C、能通过其中一个四边形平移得到，故不符合题意；D、能通过其中一个四边形平移得到，故不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键．【变式1-2】如图，请画出一个图形经过两次轴对称变换之后得到的图形，其中图①中的两条对称轴是平行的，图②中的两条对称轴是垂直的．仔细观察上面的两个图形经过两次轴对称变换之后得到的图形．图①中的图形除经过两次轴对称变换得到之外，还可以通过我们学过的________变换得到，图②中的图形还可以通过________变换得到．【答案】

平移

旋转【详解】如图：，图①中的图形除经过两次轴对称变换得到之外，还可以通过我们学过的平移变换得到，图②中的图形还可以通过旋转变换得到，故答案为平移，旋转．【能力提升1】【提升1-1】在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2C2C2；（3）连接C1C2请直接写出C1C2的长为．​【分析】（1）根据平移的性质作图即可；（2）根据中心对称图形的定义可进行求解；（3）根据勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）所作图如下所示；（2）所作△A2B2C2如图所示；（3）C1C2的＝＝．故答案为：．【点评】本题考查作图﹣平移变换，勾股定理，熟练掌握平移性质是解答本题的关键．【提升1-2】如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（4，4）．​（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，写出△A1B1C1三个顶点的坐标；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2（A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；【解答】解：（1）A1（﹣4，3），B1（﹣3，1），C1（﹣1，4）；（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点评】本题考查了旋转变换以及勾股定理，掌握对应点位置是关键．【聚焦考点2】利用轴对称设计图案轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案【典例剖析2】【典例2-1】认真观察图（1）﹣（4）中的四个图案，回答下列问题：（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：（2）请你在图5中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．【答案】（1）都是轴对称图形；都是中心对称图形（2）解：如图所示，【解析】【解答】解：（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形．故答案为：都是轴对称图形；都是中心对称图形；【点评】（1）利用沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形，进而得出即可；（2）根据题意画出图形即可．【典例2-2】如图，在等边三角形网格中，已有两个小等边三角形被涂黑，若再将图中其余小等边三角形涂黑一个，使涂色部分构成一个轴对称图形，则有_______种不同的涂法．【答案】3【详解】如图所示：当将1，2，3涂成黑色可以构成一个轴对称图形，故有种不同3的涂法．故答案为：3．针对训练2【变式2-1】（2022·山西·九年级专题练习）阅读理解，并解答问题：观察发现：如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴．问题解决：用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法．(1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；(2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．【答案】（1）解：（1）参考图案，如图所示：（2）参考图案，如图所示：【变式2-2】如图，它是由哪个基本图形经过怎样的变化得到的？【答案】见解析【解析】是由基本图形向右平移，再向下平移，再向左平移，然后再由基本图形利用轴对称结合平移，得出．【能力提升2】【提升2-1】在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）A． B． C． D．.【答案】D【解析】【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．【详解】解：A.可以通过轴对称变换得到；B.不能通过平移变换得到；C.可以通过旋转得到；D.可以通过平移变换得到，故选D.【点评】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，学生混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选．【提升2-1】如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中心重合，这样得到图②，图③，…（1）观察图形并完成表格：图形名称基本图形的个数菱形的个数图①11图②23图③37图④4________………猜想：在图n中，菱形的个数为________

[用含有n（n≥3）的代数式表示]；（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（x1，1），则x1=________；第2017个基本图形的中心O2017的坐标为________【答案】（1）11；4n﹣5（2）3；（20173，1）【分析】（1）由题意可知，图③中菱形的个数7=3+4×（3﹣2），图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）=11，∵当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，∴图（n）中，菱形的个数为3+4（n﹣2）=4n﹣5，故答案为：11，4n﹣5；⑵过点O1作O1A⊥y轴，O1B⊥x轴，则OA=1，由菱形的性质知∠BAO1=30°，∴AO1=BO1tan30°=1即x1=3，中心O2的坐标为（23，1）、O3的坐标为（33，1）…，O2017的坐标为（20173，1），故答案为：3，（20173，1）．【点评】（1）由题意可知，图③中菱形的个数7=3+4×（3﹣2），图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）=11，当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，得到规律，菱形的个数为3+4（n﹣2）=4n﹣5；（2）根据菱形的性质得出O1的坐标，依次得到O2、O3……的坐标，得出结论.【聚焦考点3】旋转变换旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。【典例剖析3】【典例3-1】如果，那么_______．【答案】.【详解】解：由题意可知，先旋转了，上半部分再作轴对称变换，可得图形：【点评】掌握图形的旋转、轴对称变换是解题的关键。【典例3-2】如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是________对称图形，都不是________对称图形．（2）请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同．【完整解答】（1）中心；轴（2）解：如图所示：【点评】（1）观察三个图形，利用中心对称和轴对称的性质即可解答（2）根据中心对称的性质设计图案即可．【典例3-3】如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）.若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有（

）A.

2种

B.

3种

C.

4种

D.

5种【答案】C【解析】解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．故答案为：C．针对训练3【变式3-1】如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】先将图沿着它自己的右边缘翻折，得到，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形为．故选：A在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（

）A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移C．平移和旋转 D．旋转和轴对称【答案】D【详解】解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称．里外各一个顺时针旋转8次，得旋转．故选：D．【能力提升3】【提升3-1】综合实践活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形座垫，座垫的图案如右图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与右图拼接符合原来的图案模式().A． B． C． D．【答案】C【详解】图形是由小三角形顺时针旋转90°形成的．故选C．【提升3-2】某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说：花坛应该有圆有方；老李说：花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看（将你设计的方案画在下面的矩形方框中）．【完整解答】解：如图所示：【点评】根据题目要求画出图形，注意花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案．【提升3-3】图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出一个以AB为一边面积为5的等腰RtABC，且点C在小正方形顶点上；（2）在图2中画出一个以AB为一边面积为4的平行四边形ABDE，且点D和点E均在小正方形的顶点上；并直接写出所画四边形周长.【完整解答】（1）解：如图1所示：三角形ABC即为所求，；（2）解：如图2所示：四边形ABDE即为所求．四边形ABDE的周长为：2(10【点评】（1）利用方格纸的特点，根据勾股定理算出AB=10，画出一个以AB为一边面积为5的等腰RtABC，可以以AB为等腰直角三角形的腰，然后以点A为旋转中心将AB逆时针旋转90°即可得出点C的位置，连接AC,BC△ABC就是所求的三角形；（2）根据割补法，面积为4的平行四边形的面积等于面积是是8的矩形的面积减去两个面积是12，两个面积是3【聚焦考点4】【典例剖析4】【典例4-1】如图1，在△ABC中，AE⊥BC于，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD、AC．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，仍然有DE⊥EC，DE=CE，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变：

①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；

②你能求出BD与AC所成的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由．【详解】解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由是：延长BD交AC于F，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD＋∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＋∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°−90°＝90°，∴BD⊥AC；（2）不发生变化，理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE＋∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE＋∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°−90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）能，理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°−（∠BDE＋∠EDC＋∠DCF）＝180°−（∠ACE＋∠EDC＋∠DCF）＝180°−（60°＋60°）＝60°，即BD与AC所成的角的度数为60°．【典例4-2】已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE＝CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．【详解】（1）证明：①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE＝CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，∵M、N分别是BE，CD的中点，∴BM＝CN，在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN．∴AM＝AN，即△AMN为等腰三角形．（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．理由：①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴BE＝CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，∵M、N分别是BE，CD的中点，∴BM＝CN，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN．∴AM＝AN，即△AMN为等腰三角形．（3）证明：由（1）同理可证△ABM≌△ACN，∴∠CAN＝∠BAM，∴∠BAC＝∠MAN．又∵∠BAC＝∠DAE，∴∠MAN＝∠DAE＝∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∵∠PBD＝∠ABC，∠PDB＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠ABC，∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD＝∠AMN，∠PDB＝∠ANM，∴△PBD∽△AMN．针对训练4【变式4-1】已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．【变式4-2】【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．（1）如图①，当α＝60°时，线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角．【运用拓广】运用所形成的结论解决问题：（3）如图③，四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD＝，求AD的长．【答案】（1）60°；（2）互补，理由见解析；【形成结论】相等或互补；（3）【详解】解：（1）如图1，延长交于，交于，，，线段绕点顺时针旋转得线段，，，，，，，，，故答案为：；（2）直线与直线所夹锐角角与旋转角互补，理由如下：如图2，延长，交于点，线段绕点顺时针旋转得线段，，，，，，，，，，直线与直线所夹锐角角与旋转角互补．形成结论由（1）（2）（3）可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补．故答案为：相等或互补．运用拓广（3）如图3，将绕点顺时针旋转，得到，连接，延长，交于点，旋转角，，，，，，，又，，是等边三角形，，在中，．【能力提升4】【提升4-1】探究问题：(1)方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴

∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵

∠EAF＝45°∴

∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵

∠1＝