专题12 中心对称（解析版）

数学八年级下暑假预习专题训练专题十二中心对称（解析版）【专题导航】目录【考点一中心对称、中心对称图形】.................................1【考点二中心对称的性质】..........................................5【考点三关于原点对称的点的坐标】.................................13【聚焦考点1】中心对称、中心对称图形中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别（1）是针对两个图形而言的.（2）是指两个图形的（位置）关系.（3）对称点在两个图形上.（4）对称中心在两个图形之间.（1）是针对一个图形而言的.（2）是指具有某种性质的一个图形.（3）对称点在一个图形上.（4）对称中心在图形上.联系（1）都是通过把图形旋转180°重合来定义的.（2）两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称【典例剖析1】【典例1-1】下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正方形【答案】D【解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故答案为：D．【点评】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可。【典例1-2】如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．（1）图中哪两个图形成中心对称？（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．【答案】（1）解：图中△ADC和三角形EDB成中心对称。（2）解：∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8。【点评】（1）根据中心对称的定义易知：图中△ADC和△EDB成中心对称。

（2）由（1）知△ADC和△EDB成中心对称，所以=，又因为D为BC的中点，即AD为△ABC的中线，把△ABC分成面积相等的两部分，所以=，最后求得。【典例1-3】图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【完整解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．故答案为：C．

【点评】根据把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案。掌握中心对称图形定义是解题关键.针对训练1【变式1-1】下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A. B. C. D.【答案】D【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故选：D.【点评】根据把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案。掌握中心对称图形定义是解题关键.【变式1-2】国产越野车“BJ40”中，哪个数字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形()A．B．C．4D．0【答案】D【解析】选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；选项B不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；选项C不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；选项D是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确，故选D．【点评】掌握轴对称图形中心对称图形的定义是解题关键。【能力提升1】【提升1-1】抛物线y＝2x2－4x＋5绕它的坐标原点O旋转180°后的二次函数表达式为________．【答案】y【解析】详解：y＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3，顶点坐标是(1，3)，二次项系数是2，绕原点旋转180°后的二次函数的顶点是(－1，－3)，二次项系数是－2，所以表示式为y＝－2(x＋1)2－3.故答案为y＝－2(x＋1)2－3.【点评】根据把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案。掌握中心对称图形定义是解题关键.【提升1-2】如图，是4×4正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是．【答案】9【完整解答】如图，把标有数字9的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故答案为9．【点评】观察图形可知，只要把9涂黑即可得到中心对称图形，即可得答案.【提升1-3】如图，抛物线与x轴正半轴交于点A,点B的坐标为（0，-3），线段AB绕点P旋转180°，A,B的对应点C,D均落在抛物线上，则点P的坐标为【答案】(,)【完整解答】解：令中的y=0，得x=0或4，

∴A（4，0）.

∵线段AB绕点P旋转180°后得到CD，B（0，-3），

设P（a，b），则C（2a-4，2b），D（2a，b+3）.

∵C、D在抛物线上，

∴2b=−12(2a−4)2+2(2a−4)b+3=−12×(2a)+2×(2a)

解得a=138b=−5764，

∴P（【聚焦考点2】中心对称的性质：1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；2.中心对称的两个图形是全等图形.找对称中心的方法和步骤：方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.【典例剖析2】【典例2-1】如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，求证：四边形ADCF是矩形．【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再由对角线相等证明四边形ADCF是矩形．【解答】解：∵AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE＝BC，AE＝AC，∵AC＝BC，∴AE＝DE，∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴△ADE≌△CFE，∴AE＝CE，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AE＝CE，DE＝EF，AE＝DE，∴AE＝CD＝DE＝EF，∴AC＝DF，∴四边形ADCF是矩形．【点评】本题考查矩形的判断，熟练掌握中心对称图形的性质，矩形的判定方法是解的关键．【典例2-2】如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，点P在AD上，且AP＝2，若直线l经过点P，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点Q，则线段PQ的长度为．【分析】连接AC，BD交于O，过C作CM⊥AD于M，由四边形ABC是平行四边形，得AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，又PQ将平行四边形的面积平分，可知CQ＝AP＝2，DP＝BQ＝1，由含30°角的直角三角形性质可得DM＝CD＝1，CM＝DM＝，故M，P重合，再根据勾股定理可得答案．【解答】解：连接AC，BD交于O，过C作CM⊥AD于M，如图：∵四边形ABC是平行四边形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∵PQ将平行四边形的面积平分，∴O在PQ上，由平行四边形的中心对称性可知CQ＝AP＝2，∴DP＝BQ＝1，∵∠MDC＝∠ABC＝60°，∴∠MCD＝30°，∴DM＝CD＝1，CM＝DM＝，∴DM＝DP，∴M，P重合，∴CP＝，∠PCQ＝∠DPC＝90°，∴PQ＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查平行四边形的性质，涉及勾股定理及应用，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．【典例2-3】数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．（1）求证：BE+CF＞EF；（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．【分析】（1）可按阅读理解中的方法构造全等，把CF和BE转移到一个三角形中求解；（2）由（1）中的全等得到∠C＝∠CBG．∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠EBG＝90°，可得三边之间存在勾股定理关系．【解答】（1）证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），∴CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（2）解：BE2+CF2＝EF2．证明如下：∵∠A＝90°，∴∠EBC+∠FCB＝90°，由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，∴BE2+CF2＝EF2．【点评】本题主要考查了条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运用类比方法构造相应的全等三角形，难度适中．针对训练2【变式2-1】如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2【答案】A【解析】由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=×40=20cm2，故选A．【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，（1）在图中标出点E，且点E的坐标为；（2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为，C2的坐标为；（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为．【答案】解：（1）如图，线段BB1的中点即为点E，∵B（1，1），B1（﹣1，﹣3）∴E（0，﹣1）；（2）如图，∵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），又∵A（3，2），C（4，0），∴A2（﹣3，4），C2（﹣2，2）；（3）∵对应顶点A1A2与B1B2的连线交于点（﹣3，0），∴F（﹣3，0）．​【点评】（1）根据中心对称的性质，任何一对对应点连线的中点即为对称中心E；（2）将△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到△A2B2C2，根据平移的规律，可分别写出点A2和C2的坐标；（3）根据位似三角形的定义求出点F的坐标．【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线的交点，AB=7，过点O的直线分别交AB和CD于点F、E，折叠平行四边形后，点A落在点A'处，点D落在点D'处，若AF=3，则DE的长为（

）A．5 B．4.5 C．4 D．3.5【答案】C【分析】根据平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，则AF=EC，再根据平行线四边形的性质，可知CD=AB=7，继而即可求得DE【详解】∵平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，根据题意，则则点E和点F关于O中心对称∴AF=EC=3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7，DE=DC−EC=7−3=4，故选C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，中心对称图形的性质，理解中心对称图形的性质是解题的关键．中心对称图形性质：①对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分②成中心对称的两个图形全等．【能力提升2】【提升2-1】如图所示，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD=60°，∠ADO=90°，BD=12，点P是AO上一动点，点Q是OC上一动点（P，Q不与端点重合），且AP=OQ，连接BQ，【答案】12【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，得到A,O,C共线与B,O,D共线，再利用30°与直角三角形的性质得到BD=OA=OC=12,证明PQ=OA=12,作DK∥AC，使得DK=PQ=12，连接BK交AC于Q，则四边形DPQK为平行四边形，得到DP+BQ=KQ+BQ=BK的值最小，再证明△BDK是等边三角形，从而可得答案．【详解】解：如图，∵△AOD和△COB关于点O中心对称，∴OD=OB,OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOD=60°，∴∠DAO=30°,∴OD=1同理：OB=1∴BD=OD+OB=1∵AP=OQ∴AP+PO=PO+OQ,∴PQ=OA=12，作DK∥AC，使得DK=PQ=12，连接BK交AC于Q，则四边形DPQK为平行四边形，∴DP=QK,此时DP+BQ=KQ+BQ=BK的值最小，∵DK//∴∠KDB=∠AOD=60°,∵DK=BD=12,∴△BDK是等边三角形，∴BK=BD=12,

∴DP+BQ的最小值为12．故答案为：12．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，中心对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．【提升2-1】如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB=3,AC=2,∠CAB=90°，则AE的长是________．【答案】5【分析】根据中心对称的性质以及勾股定理即可求解AE的长．【详解】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称∴点A,C,D在同一直线上，∵∠CAB=90°∴∠D=90°∴AC=CD,AB=DE∵AB=3,AC=2∴AD=2AC=2×2=4∴AE=D故答案为：5．【点评】本题主要考查中心对称的性质以及勾股定理，熟练掌握成中心对称的图形对应边相等，对应角相等的性质以及勾股定理是解决本题的关键．【聚焦考点3】关于原点对称的点的坐标规律两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)【典例剖析3】【典例3-1】点P（3，-4）与点Q（-3，4）关于________对称.【答案】原点；【分析】根据：如果两点关于y轴对称，则两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；如果两点关于x轴对称，则两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；如果两点关于原点对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.【详解】因为，点P（3，-4）与点Q（-3，4）两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.所以，两点关于原点对称.故答案为原点【点评】本题考核知识点：点的坐标和中心对称.解题关键点：理解点的坐标和中心对称关系.【典例3-2】如图，平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为O0,0，A−2，3，

(1)请在图中作出与△AOB关于原点O对称的图形△A(2)点A′的坐标是________；点B【答案】(1)见解析(2)2,−3，4,−2【分析】（1）先作出点A和点B关于原点的对称点，再依次连接即可得到△A（2）根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答．【详解】（1）解：如图所示：△A

（2）解：∵A−2，3，B∴A′2,−3，故答案为：2,−3，4,−2．【点评】本题主要考查了关于作原点对称的图形，以及关于原点对称点的点坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数．【典例3-3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A−1,4，B−4,2，(1)平移△ABC得到△A1B1C1，若(2)若△A2B2C2和(3)△ABC的面积为_______________；(4)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A【答案】(1)−1,0(2)3,−5(3)7(4)见解析【分析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)直接利用关于点对称的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)利用面积分割法，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解；(4)连接OA，OB，OC，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后，分别得到OA3，OB3，OC3，连接【详解】（1）解：∵A−1,4，A1的坐标为∴A1是由A对B进行同样操作，即可得B1的坐标为B1即B1−1,0故答案为：−1,0．（2）解：△A2B2C2和△ABC关于原点∵C−3,5∴C23,−5故答案为：3,−5．（3）解：利用分割法，由于每个方格长度为1，所以△ABC的面积为：3×3−=9−1−=72故答案为：72（4）解：如下图所示，连接OA，OB，OC，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后，分别得到OA3，OB3，OC3，其中A3−4,−1，C3−5,−3，【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转变换，分割法求三角形面积，正确得出对应点位置是解题关键．针对训练3【变式3-1】已知P1(a，−2A．−1 B．1 C．−52021 【答案】A【解析】【解答】解：∵P1(a∴a=−3，∴(a+b故答案为：A．

【点评】根据关于原点对称的点坐标的特征可得a=−3，【变式3-2】在平面直角坐标系xOy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（）A．x<12 B．−3<x<12 【答案】B【分析】根据关于原点对称的点：横纵坐标均互为相反数，可得点P关于原点成中心对称的点的坐标为（-2x+1，-x-3），然后结合第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负列出关于x的不等式组，求解即可.【解析】【解答】解：点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标为（－2x+1，－x－3）∵对称点在第四象限∴－2x+1>0解得−3<x<1故答案为：B.【变式3-3】风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转．现有一长条矩形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．正确的粘合方法是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，A、是中心对称图形，并且不是轴对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；故选A．【点评】抓住一点：风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，结合选项进行判断即可【能力提升3】【提升3-1】点关于轴对称的点的坐标是________，点关于轴对称的的坐标是________，点关于原点对称的点的坐标是________．【答案】(-2,-3),(2,3),(2,-3)【详解】点A（-2，3）关于x轴对称的点的坐标是（-2，-3），关于y轴对称的点的坐标是（2，3），关于原点对称的点是（2，-3）．故答案为（-2，-3），（2，3），（2，-3）．【点评】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都为互为相反数．【提升3-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、.(1)画出关于点成中心对称的△；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的△；(2)△和△关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为．【答案】(1)画图见解析；（2）（2，-1）.【解析】试题解析：(1)、△A1B1C如图所示，△A2B2C2如图所示；(2)、如图，对称中心为（2，﹣1）．【提升3-3】如图1，点为平面直角坐标系的原点，点在轴上，是边长为的等边三角形．

(1)求点的坐标；(2)若将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是______；(3)将沿着轴向右平移到处，如图，连接，交于点．判断的形状，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）作高线，根据等边三角形的性质和勾股定理求和的长，写出点的坐标，注意象限的符号问题；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征即可求解；（3）根据平移可得，证明，得出，等角对等边，即可得出结论【详解】（1）解：如图1，过作于，

∵是等边三角形，且，，∴，∴（2）解：若将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是，故答案为