数列导数圆锥曲线综合题含答案

1、设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，对任意的SKIPIF1<0NSKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0为常数，且SKIPIF1<0．（1）求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；（2）设数列SKIPIF1<0的公比，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0NSKIPIF1<0SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．2、已知函数满足且有唯一解。（1）求的表达式；（2）记，且＝，求数列的通项公式。（3）记，数列｛｝的前SKIPIF1<0项和为，求证3、在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（Ⅰ）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（Ⅱ）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；（Ⅲ）证明存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0均成立．4、设数列（1）求数列的通项公式；（2）若存在实数t，使得数列的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0（3）设5、已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数SKIPIF1<0，使得函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象恰有SKIPIF1<0个交点？若存在，请求出实数SKIPIF1<0的取值范围；若不存在，试说明理由．6、已知函数SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；（2）当m=1时，求方程f(x)=g(x)实数根个数；（3）若SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.7、已知函数SKIPIF1<0（Ⅰ）求函数SKIPIF1<0的极值；（Ⅱ）求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（Ⅲ）如果SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．8、设函数(为自然对数的底数)，（）．（1）证明：；（2）当时，比较与的大小，并说明理由；（3）证明：（）．9、已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；（3）设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为坐标原点）的面积分别为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围。10、设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.1、解：（1）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得．………………1分当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．……………2分即SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0为常数，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．………3分∴数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为SKIPIF1<0的等比数列．…………………4分（2）解：由（1）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．……………5分∵SKIPIF1<0，………………6分∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0．……………7分∴SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为1的等差数列．……………8分∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．…………9分（3）解：由（2）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．……………10分所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，①……11分则SKIPIF1<0，②……12分②－①得SKIPIF1<0，………………13分故SKIPIF1<0．……14分2、解：(1)由即有唯一解，又，……4分(2)由…………6分又，数列是以首项为，公差为的等差数列……8分………10分(3)由…………12分=………14分3、（Ⅰ）解法一：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由此可猜想出数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．…………1分以下用数学归纳法证明．（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，等式成立．…………2分（2）假设当SKIPIF1<0时等式成立，即SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．这就是说，当SKIPIF1<0时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式SKIPIF1<0对任何SKIPIF1<0都成立．…………4分解法二：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，…………2分所以SKIPIF1<0为等差数列，其公差为1，首项为0，…………3分故SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．…………4分（Ⅱ）解：设SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0②…………5分当SKIPIF1<0时，①式减去②式，得SKIPIF1<0，…………6分SKIPIF1<0．…………7分这时数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．…………8分当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．这时数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．……9分（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列SKIPIF1<0的第一项SKIPIF1<0最大，下面证明：SKIPIF1<0．③…………10分由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，要使③式成立，只要SKIPIF1<0，…………11分因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0…………12分SKIPIF1<0．…………13分所以③式成立．因此，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0均成立．…………14分4、解：（1）由已知得（2）（3）5、解：(1)SKIPIF1<0…………1分SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是增函数，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，…………2分则必有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.………………4分(2)依题意，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，…………5分∴SKIPIF1<0、令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0……………6分当x变化时，变化情况…………8分∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值是SKIPIF1<0.………………10分(3)函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象恰有SKIPIF1<0个交点，即方程SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个不等实根．…………11分∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是其中一个根，……12分∴方程SKIPIF1<0有两个非零不等实根．∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.………………14分∴存在满足条件的SKIPIF1<0值，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.6、解：（1）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0、切点坐标为SKIPIF1<0，∴切线方程为SKIPIF1<0；………………4分（2）SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0……6分∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数.…………7分又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一个零点、∴方程SKIPIF1<0有且仅有一个实数根；（或说明SKIPIF1<0也可以）；……………8分（3）由题意知，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，`SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，………10分令SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0、则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时递减，…………12分SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.……14分7、解⑴∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．…2分SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋0－SKIPIF1<0↗极大值SKIPIF1<0↘∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极大值SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．…4分⑵SKIPIF1<0,……………5分则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．……………6分当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，……………7分∴SKIPIF1<0＞0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是增函数．……………8分SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0……………9分⑶∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是增函数，在SKIPIF1<0内是减函数．……………10分∴当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不可能在同一单调区间内．∴SKIPIF1<0，……………11分由⑵的结论知SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0＞0，∴SKIPIF1<0．……………12分∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．……………13分又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0……………14分8、（1）证明：设，所以．……………1分当时，，当时，，当时，．即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，………2分因为，所以对任意实数均有．即，所以．………3分（2）解：当时，．……………4分用数学归纳法证明如下：①当时，由（1）知．②假设当（）时，对任意均有，……………5分令，，因为对任意的正实数，，由归纳假设知，．……………6分即在上为增函数，亦即，因为，所以．从而对任意，有．即对任意，有．这就是说，当时，对任意，也有．由①、②知，当时，都有．……8分（3）证明1：先证对任意正整数，．由（2）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．……9分再证对任意正整数，．要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．即要证明对任意正整数，不等式（*）成立．……………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法1（数学归纳法）：①当时，成立，所以不等式（*）成立．②假设当（）时，不等式（*）成立，即．……………………11分则．，…………………………12分所以．………13分这说明当时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数，不等式成立．………………14分方法2（基本不等式法）：因为，……………………11分，……，，将以上个不等式相乘，得．…………………13分所以对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数，不等式成立．……………14分9、（1）解：依题意可得，．……………1分设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，即．所以双曲线的方程为．……………3分（2）证法1：设点（，，）直线斜率为（），则直线的方程为，………………4分联立方程组…………………5分整理，得，解得或．所以．…………6分同理可得，．……………7分所以．……………………8分证法2：设点、（，，）