第3章 概率的进一步认识（4个知识点6种题型2种中考考法与检测卷）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

第3章概率的进一步认识（4个知识点6种题型2种中考考法与检测卷）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.利用树状图或表格求概率（重点）（难点）知识点2判断游戏的公平性（重点）知识点3用频率估计概率（重点）知识点4模拟试验【方法二】实例探索法题型1.卡片中的概率问题题型2.运用概率知识分析游戏问题题型3.与概率有关的综合型问题题型4.用频率估计概率题型5.设计模拟试验解决问题题型6.用计算器模拟试验估计概率【方法三】仿真实战法考法1.求某一事件发生的概率考法2.利用频率估计概率【检测卷】【学习目标】1.会运用画树状图和列表的方法计算简单事件发生的概率，体会概率是反映现实生活中事件发生可能性大小的模型。2.掌握判断游戏的公平性的方法。3.能利用概率解决一些简单的实际问题。4.能用试验频率估计一些随机事件发生的概率，进一步体会概率的意义。5.了解模拟试验，能用模拟试验的方法估计一些随机事件发生的概率。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.利用树状图或表格求概率（重点）（难点）1.树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.2.表格法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格法.表格法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）表格法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）表格法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.【例1】把一副扑克牌中的张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是、、）洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相同时，小王赢；当张牌面数字不相同时，小李赢．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.【答案与解析】（1）P（抽到牌面数字４）=;（2）游戏规则对双方不公平．

理由如下：3453（3，3）（3，4）（3，5）4（4，3）（4，4）（4，5）5（5，3）（5，4）（5，5）P（牌面数字相同）=；P（牌面数字不相同）=.【变式】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为.（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球的概率.【答案】（1）1个；（2）P（两次摸到白球）=.知识点2判断游戏的公平性（重点）【例2】（2023春·广东云浮·九年级校考期末）甲、乙两班进行篮球比赛，裁判员采用同时抛掷两枚完全相同硬币的方法选择比赛场地：若两枚硬币朝上的面相同，则甲班先选择场地；否则乙班先选择场地．为了判断这种方法的公平性，明明画出树状图如图所示，根据树状图，这种选择场地的方法对两个班级．（填“公平”或“不公平”）

【答案】公平【分析】要判断这种方法是否公平，只要看所选取的方法，使这两个队优先选择比赛场地的可能性是否相等即可．【详解】解：根据题意画树状图如下：

由上图可知，甲班优先选择场地的概率，乙班优先选择场地的概率，故这两个队优先选择比赛场地的可能性相等，∴这种选择场地的方法对两个班级公平．故答案为：公平．【点睛】本题主要考查了游戏规则公平性的判断，会画树状图求等概率事件的概率是做出本题的关键．【变式】（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动；将一个材质均匀的转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到4的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘．(1)转盘转到4的倍数的概率是多少？(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】(1)(2)不公平，理由见解析【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断．【详解】（1）解：∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中4的倍数有2个，∴转盘转到4的倍数的概率为；（2）游戏不公平，∴小亮去参加活动的概率为，小芳去参加活动的概率为：，∵，∴游戏不公平．【点睛】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．知识点3用频率估计概率（重点）当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.【例3】某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：(1)计算并完成表格：转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”的次数m68111136345546701落在“铅笔”的频率(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？

(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到1°)

【答案与解析】(1)0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；(2)0.69；(3)由（1）的频率值可以得出P（获得铅笔）=0.69；(4)0.69×360°≈248°.【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．【变式】（2023·河南洛阳·校联考一模）如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，则黑色部分的面积为．【答案】2.4【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为的正方形的面积为，进而可以估计黑色部分的总面积．【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，∴点落入黑色部分的概率为0.6，∵边长为的正方形的面积为，设黑色部分的面积为S，则，解得．∴估计黑色部分的总面积约为．故答案为：2.4．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式，知道点落入黑色部分的概率为0.6．知识点4模拟试验【例4】（2023·河南周口·统考一模）某人在做掷硬币试验，投掷次，正面朝上有次，若正面朝上的频率，随着次数的增加，的值接近．【答案】【分析】频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小，尽管每进行一连串（n次）实验，所得的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的．【详解】解：随着次数的增加，的值接近．故答案为：．【点睛】本题考查了模拟实验，熟练掌握模拟实验的频率与概率的关系是解题关键．【变式1】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条．

【答案】条.【变式2】一个密封不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球400次,其中88次摸到黑球.估计盒中大约有白球().

A.28个B.30个C.36个D.42个

【答案】A.【解析】先求出盒子里所有的球数为,

再求盒子里的白球数为36-8=28个.故选A.【总结升华】通过实例让学生体会由频率估计概率的必要性和科学性.强调“同样条件，大量试验”.【方法二】实例探索法题型1.卡片中的概率问题1．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）在一个不透明的袋子中装有4张形状大小质地完全相同的卡片.它们上面分别标有数字：、、0、2，随机抽取一张卡片，记下数字为，放回后再随机抽取一张卡片，记下数字为，则落在第三象限的概率是.【答案】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：列表如下：0202由表知，共有16种等可能结果，其中落在第三象限的有4种结果，所以落在第三象限的概率为，故答案为：．【点睛】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件和不可能事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．2．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）西安有“碳水之都”的美誉，现有4张卡片正面分别写着“碳”“水”“之”“都”，卡片除汉字不同其他别无二致，将卡片正面朝下洗匀，然后同时随机抽取2张，刚好抽到“碳”“水”二字的概率是．【答案】【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到抽到“碳”“水”二字的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可．【详解】解：设用A、B、C、D分别表示“碳”“水”“之”“都”这四个字，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽到“碳”“水”二字（即抽到A和B）的结果数有2种，∴抽到“碳”“水”二字的概率为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出对应的表格或画出树状图是解题的关键．3．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）张相同的卡片上分别写有数字，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的张卡片中任意抽取张，将卡片上的数字记录下来．(1)求第一次抽取的卡片上数字是正数的概率；(2)明明设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．明明设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）．【答案】(1)(2)公平，理由见解析【分析】（1）列举出所有可能，再利用概率公式即可求出概率；（2）利用列表法列举所有可能的结果，再利用概率公式求出甲、乙的获胜概率即可得出答案．【详解】（1）解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有2种，第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是．（2）解：列表如下：−1023−11340−1222−3−213−4−3−1由表可知，共有种等可能结果，其中结果为非负数的有种结果，结果为负数的有种结果，所以甲获胜的概率乙获胜的概率，此游戏公平．【点睛】本题考查了概率及利用列表法求概率判断游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握概率的求法是解题关键，即如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中种结果，那么事件发生的概率是．4．（2022秋·吉林白城·九年级校考阶段练习）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字、、，这些卡片除数字不同外其余均相同，现从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的数字之和为偶数的概率．【答案】【分析】利用列表法或树状法，即可求出概率．【详解】解法一：根据题意，画树状图如下：

由树状图可以看出，所有等可能的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上的数字之和为偶数的有5种，所以（两次抽取的卡片上的数字之和为偶数）．解法二：根据题意，列表如下：第一张和第二张由表可以看出，所有等可能的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上的数字之和为偶数的有5种，所以（两次抽取的卡片上的数字之和为偶数）．【点睛】本题考查了利用列表法或树状法求概率，根据题意选择适合的方法求概率是解题关键．当事件的发生只经过两个步骤时，一般用列表法就能将所有的可能结果列举出来，当经过多个步骤时，表格就不够清晰了，而画树状图法的适用面更广，特别是多个步骤时，层次清楚，一目了然．5．（2023·江苏·统考中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．(1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；(2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）先判断盒子中无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可；（2）根据题意画出所有的组合情况，再计算出对应的运算结果，得到运算结果是无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可．【详解】（1）解：∵，故和均为无理数，故盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是．故答案为：．（2）解：树状图画出所有情况为：即抽签的组合有种，分别为：组合情况运算结果运算结果是否是无理数第一种组合，，乘法否第二种组合，，加法是第三种组合，，乘法是第四种组合，，加法是第五种组合，，乘法否第六种组合，，加法是第七种组合，，乘法是第八种组合，，加法是第九种组合，，乘法是第十种组合，，加法是第十一种组合，，乘法；是第十二种组合，，加法是对应的组合运算结果共个，其中运算结果为无理数的有个，故抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为．【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，无理数的定义等，解题的关键是求所有情况下运算的结果，判断结果是无理数的个数．6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）将分别标有数字，，，的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．(1)随机地抽取一张，则抽到奇数的概率是______；(2)随机抽取两张，请利用列表或画树状图的方法，求这两个数字之和能被整除的概率是多少？【答案】(1)；(2)．【分析】（）先求出这组数中奇数的个数，再利用概率公式解答即可；（）首先根据题意可直接列出所有可能出现的结果，再算出这个两位数能被3整除的概率．【详解】（1）随机抽取张，抽到卡片数字是奇数的概率为；（2）树状图如下：

，一共有种等可能结果，两个数字之和能被整除的有种，∴，答：能被整除的概率是．【点睛】此题考查了用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，熟记概率公式是解决本题的关键．7．（2023·江苏盐城·校考二模）有4张扑克牌，牌面数字分别为2、3、4、4，其余都相同．小明随机从中摸出一张牌，记录牌面数字后放回；洗匀后再从中摸出一张牌，记录牌面数字后又放回．小明摸了100次，结果统计如下：牌面数字2344次数26243020(1)上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是；(2)若小明一次摸出两张牌，求小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接由频率定义和概率公式分别求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是；故答案为：，；（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的结果有4种，∴小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率为．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．题型2.运用概率知识分析游戏问题8.（2023春·山东日照·九年级校考期中）下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．(1)请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率．(2)该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．【答案】(1)(2)不公平，公平的游戏规则见详解【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出小颖获胜的概率即可；（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平；然后设计出公平的游戏规则（答案不唯一）．【详解】（1）解：根据题意，画树状图如下所示：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中指针所指区域内的两数字之和小于10的有6种，∴小颖获胜的概率为；（2）该游戏规则不公平．由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，∴小亮获胜的概率为，而小颖获胜的概率为，故该游戏规则不公平．游戏规则可修改为以下两种：①当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜；②当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和为偶数时，小颖获胜．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了列举法求概率以及概率的应用，理解题意，正确作出树状图或列表是解题关键．9.（2023·陕西咸阳·校考一模）为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某班准备从甲、乙两名热爱诗词的同学中选出一名参加学校组织的“弘扬民族文化，品味诗词精华”活动，他们想通过做游戏的方式来决定谁去参加活动，于是让班长设计了一个游戏，规则如下：现有两个不透明的盒子，其中一个装入分别标有字母A、B、C的三个小球，另一个装入分别标有字母B、C、D的三个小球，这些小球除字母不同外，其余完全相同，从两个盒子中分别摸出一个小球，若所摸出的两个小球上的字母相同，则甲去参加活动，否则就是乙去．(1)用列表或画树状图的方法求出乙去的概率；(2)甲说：“这个规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．【答案】(1)(2)同意甲的说法，见解析【分析】（1）画树状图，共有9种等可能的情况，其中字母不同的有7种情况，再由概率公式求解即可；（2）由（1）可知，，，即可得出结论．【详解】（1）画树状图如下：

由图可知共有9种情况，其中字母不同的有7种情况，．（2）同意甲的说法．理由：，，，这个规则不公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．（2022春·九年级单元测试）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？【答案】(1)(2)甲【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率；（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论．【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为．（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．题型3.与概率有关的综合型问题11．（2022·江苏·九年级专题练习）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买个这样的电子产品，可能会出现1个次品．【答案】4【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可．【详解】解：∵产品的抽样合格率为，∴产品的抽样不合格率为∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品故答案为：4．【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提．12．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：方案一：是直接获得20元的礼金卷；方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．指针指向两红一红一蓝两蓝礼金券（元）27927(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．【答案】(1)(2)方案一比较实惠【分析】（1）根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可；（2）先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案．【详解】（1）解：列表格如下：蓝蓝红蓝（蓝，蓝）（蓝，蓝）（蓝，红）红（红，蓝）（红，蓝）（红，红）红（红，蓝）（红，蓝）（红，红）∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种，∴两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．（2）解：∵，∴如果选择方案二，获得礼金券的平均值为：（元），∵，∴选择方案一比较实惠．【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图，熟练掌握概率的基本公式．13．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：转动转盘的次数落在“手工”区域的次数落在“手工”区域的频率(1)求出的值；(2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到）【答案】(1)，(2)，【分析】(1)根据频率频数总数求解即可；(2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“手工”的概率．【详解】（1）解：∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为，∴，∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为，∴，（2）解：∵根据表格信息可知：落在“手工”区域的频率的平均数大约为：,∴当n很大时，频率将会接近，∴假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是．故答案为：，．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键．14．（2023·安徽·模拟预测）综合与实践【问题再现】(1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．【类比设计】(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．【拓展运用】(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．【答案】(1)P（蓝色区域），P（橙色区域）(2)见解析(3)29元【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；（2）将转盘均分成份，根据概率求出各种颜色所占份数，即可得解；（3）利用对准红、黄、绿的概率乘以各自对应的钱数，即可得解．【详解】（1）解：根据几何概率的意义可知，P（蓝色区域），P（橙色区域）．（2）解：根据题意，将转盘均分成份，则：红色占：份；白色占：份；黄色占：份；如图所示：（答案不唯一）；（3）解：由题意，得：转动1次的平均数为（元）；答：转动1次所获购物券的平均数是29元．【点睛】本题考查概率的应用，以及计算加权平均数．熟练掌握概率公式，以及加权平均数的计算方法，是解题的关键．15．（2023·河北·模拟预测）为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3．甲78798182x889395乙7580808385909295（1）求x的值；

（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．【答案】（1）x=84；（2）从统计的角度考虑，派甲参赛比较合适，理由见解析；从概率的角度考虑，派乙参赛比较合适，理由见解析．【分析】（1）根据众数、中位数的计算方法分别计算即可；（2）解法1：从平均数、方差以及数据的变化趋势分析．解法2：从概率的角度以及数据的变化趋势分析．【详解】解：（1）依题意，可知甲的中位数为，乙的众数为80，∴，解得x=84．（2）解法一：派甲参赛比较合适．理由如下：，，，，因为，，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．解法二：派乙参赛比较合适．理由如下：从概率的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率，乙获得85分以上（含85分）的概率，因为P1＜P2，所以派乙参赛比较合适．【点睛】考查平均数、众数和中位数的意义，方差，概率等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．16．（2023·河北·模拟预测）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项．（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．【答案】（1）；（2）建议小新在第二题使用“求助卡”，理由见解析【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，然后根据概率公式计算；（2）如果小新在第二题使用“求助卡”，画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，利用概率公式计算出小新顺利通过第一关的概率，然后比较两个概率的大小可判断小新在第几题使用“求助卡“．【详解】解:（1）列树状图如下:共有种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有个，所以小新顺利通过第一关的概率为（2）建议小明在第二题使用“求助卡”，若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下:此时小新顺利通过第一关的概率为因为，所以建议小新在第二题使用“求助卡”【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．17．（2023·安徽·模拟预测）某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）．成绩频数频率20.040.16200.40160.324合计501请你根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）求出,的值并补全频数分布直方图．（2）将此次比赛成绩分为三组：；；若按照这样的分组方式绘制扇形统计图，则其中组所在扇形的圆心角的度数是多少？（3）学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛，求都取得了95分的小欣和小怡同时被选上的概率．【答案】（1）a=8，b=0.08；补图见解析；（2）144°；（3）．【分析】（1）根据题中可得总人数为50人，则中人数所占频率即可求出a的值，则中出现的频数即可求得b的值；（2）根据圆心角的度数为所占百分比乘以360°即可求解；（3）根据概率初步中树状图的作图方法作图求解即可．【详解】（1），．补全频数分布直方图如下：（2）．故C组所在扇形的圆心角的度数为．（3）由题意知，不低于90分的学生共有4人，设这四名学生分别为，,,，其中小欣和小怡分别用,表示，根据题意，画树状图如下．由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小欣和小怡同时被选上的结果有2种，故小欣和小怡同时被选上的概率是．【点睛】本题以实际生活为背景考查统计与概率，解题的关键是掌握圆心角度数的求法以及概率中树状图的作法．18．（2023·全国·九年级专题练习）有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）(1)用列表法求；(2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由．【答案】(1)(2)张亮的想法是错的，见解析(3)【分析】（1）用列表法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；（2）求出的所有取值的众数和平均数，比较得出答案；（3）根据的所有取值，是否存在三个值的和为即可．【详解】（1）由题得，列表为：第1个第2个1331130211043124所以，共有12种等可能结果，其中和的绝对值为1的有4种，；（2）由（1）得：，，，，，∴的所有取值的众数为，而的所有取值的平均数为：，∵，所以张亮的想法是错的．（3）∵，∴（答案不唯一）【点睛】本题考查列表法或树状图法，众数、平均数，列举出所有等可能出现的结果是计算概率的前提，掌握众数、平均数的计算方法是解决问题的关键．题型4.用频率估计概率19．（2023春·福建福州·九年级校考期中）不透明袋子中装有15个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在，则绿球的个数约是．【答案】35【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在，列出方程求解即可．【详解】解：设绿球的个数有x个，根据题意，得：，解得：，经检验：是分式方程的解，∴绿球的个数约有35个．故答案为：35．【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．20．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）党的二十大报告中的“深入实施种业振兴行动”将为“中国种”的选育和发展打下一针强心剂．山西农业大学（省农科院）玉米研究所育种的“晋糯20号”已在全国26个省市推广种植，大获丰收．下面是科研小组在相同的实验条件下，对该粮食种子发芽率进行研究时所得到的部分数据：种子数307513021048085612502300发芽287212520045781411872185依据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是．（结果精确到0.01）【答案】【分析】利用频率估计概率求解即可．【详解】解：由题意知，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是，故答案为：．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．21．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，平整的地面上有一个不规则图案图的阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了如下方法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了图所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为．

【答案】7【分析】首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，进而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．【详解】解：假设不规则图案面积为，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：.由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为，综上有：，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了概率的计算，用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．22．（2023·全国·九年级专题练习）某批足球的质量检测结果如下：抽取足球数1002004006008001000合格的数量93192384564759950合格的频率0.930.960.960.94

(1)填写表中的空格（结果保留0.01）．(2)画出合格的频率的折线统计图．(3)从这批足球中任意抽取一个足球是合格品的概率估计值是多少？并说明理由．(4)若某工厂计划生产10000个足球，试估计生产出的足球中合格的数量有________个．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)0.95；理由见解析(4)9500【分析】（1）根据频率频数总数计算可得；（2）由表格中数据在坐标系内用点描出来，再用线段依次相连即可得；（3）根据频率估计概率，频率都在0.95左右波动，所以任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值是0.95；（4）根据概率进行估算即可．【详解】（1）解：，，完成表格如下：抽取足球数n1002004006008001000合格的频数m93192384564759950合格的频率0.930.960.960.940.950.95（2）解：如图所示：

（3）解：从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值0.95，因为从折线统计图中可知，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定到常数0.95附近，所以从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值0.95．（4）解：（个），答：估计生产出的足球中合格的数量有9500个．故答案为：9500．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了频率分布折线图．23．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：抽取的公仔数n10100100020003000优等品的频数m99696219202880优等品的频率0.90.96a0.96b(1)________；________．(2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是________．（精确到0.01）(3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？【答案】(1)0.962；0.96(2)0.96(3)9600只【分析】（1）用频数除以总数即可；（2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96．（3）用总数量乘以优等品的概率即可【详解】（1）解：，，故答案为：0.962，0.96；（2）从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96．（3）这批公仔中优等品大约有只【点睛】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．24．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）从一副张（没有大王、小王）的扑克牌中，每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在试验中得到下表中部分数据：试验次数出现方块的次数出现方块的频率(1)上表中，；(2)从上表中可以估计出现方块的概率是．（精确到）．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据频率的计算公式即可求解；（2）根据频率与概率的关系即可求解．【详解】（1）解：根据题意得，，解得，，，故答案为：，．（2）解：根据题意，当试验次数无限增大时，事件发生的频率会逐渐稳定于概率附件，∴出现方块的概率是，故答案为：．【点睛】本题主要考查频率的计算方法，频率与概率的关系，掌握以上知识是解题的关键．25．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1002003005008001000摸到黑球的次数m摸到黑球的频率(1)填空：______；当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近______(精确到)；(2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可；（2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1），当很大时，摸到黑球的频率将会趋近，故答案为：；（2）列表如下：黑白白白黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为【点睛】本题考查了频率估计概率，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．26．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字．小明做了60次投掷试验，结果统计如下：

朝下数字1234出现的次数13172010(1)计算上述试验中“3朝下”的频率是_________;(2)根据试验结果，“投掷一次正四面体，出现4朝下的概率是．”的说法正确吗？为什么？(3)随机投掷正四面体两次，请用列表法，求两次朝下的数字之和不小于4的概率．【答案】(1)(2)不正确，理由见解析(3)【分析】（1）由频率频数试验次数算出频率；（2）只有当试验的总次数很大时，事件发生的频率才会稳定在相应的事件发生的概率附近．据此进行解答即可；（3）列表列举出所有的可能的结果，然后利用概率公式解答即可．【详解】（1）“3朝下”的频率：．故答案为：；（2）这种说法不正确．在60次试验中，“4朝下”的频率为，并不能说明“4朝下”这一事件发生的概率为．只有当试验的总次数很大时，事件发生的频率才会稳定在相应的事件发生的概率附近．（3）随机投掷正四面体两次，所有可能出现的结果如下：12341234总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次朝下数字之和不小于4的结果有种．∴．即两次朝下的数字之和不小于4的概率为．【点睛】本题考查了列表法求概率、频率、频率与概率的关系等知识，解题的关键是正确列出表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即．题型5.设计模拟试验解决问题27．（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（

）

A．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”【答案】C【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．【详解】解：A、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故A选项不符合题意；B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项不符合题意．C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故C选项符合题意；D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故D选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．28．（2023秋·广东惠州·九年级校考开学考试）在一个不透明的盒子中装有个黑、白两种颜色的球，小明又放入了个红球，这些球大小都相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得摸到红球的概率为，据此利用概率计算公式列出方程求解即可．【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，∴摸到红球的概率为，∴，解得，检验，当时，，故选A．【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．题型6.用计算器模拟试验估计概率29．（2023·重庆·九年级统考学业考试）为了解我区某条斑马线上机动车驾驶员“礼让行人”的情况，下表是某志愿者小组6周累计调查的数据，由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率（精确到）为（

）抽查车辆数200400800150024004000礼让行人的驾驶员人数169332689127220473404礼让行人的频率0.8450.8300.8610.8480.8530.851A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.86【答案】C【分析】由表格数据知，随着抽查车辆数的增加，“礼让行人”的频率逐渐稳定在0.85附近，从而得出答案．【详解】由表格数据知，随着抽查车辆数的增加，“礼让行人”的频率逐渐稳定在0.85附近，所以由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率为0.85，故选：C．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【方法三】仿真实战法考法1.求某一事件发生的概率30．（2023•镇江）如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（）A．1 B． C． D．【分析】用列举法列举出所有等可能的结果，从中找出2张正面朝上的结果数，利用概率公式求出即可．【解答】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，∴P＝，故选：B．【点评】本题考查列举法求等可能事件的概率，掌握等可能事件的概率公式是解题的关键．31．（2023•镇江）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出2次都摸到红球的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：画树状图如下：一共有6种等可能的结果，其中2次都摸到红球有2种可能的结果，∴P（2次都摸到红球）＝．【点评】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．32．（2023•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③1；④乘法；⑤加法．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是；（2）先从盒子A中任意抽出2支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．【分析】（1）由概率公式可得答案；（2）用画树状图法求出所有情况数，再用概率公式列式计算．【解答】解：（1）在①；②；③1中，无理数有两个，∴从盒子A中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是；故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的有：①②⑤，①③④，①③⑤，②①⑤，②③④，②③⑤，③①④，③①⑤，③②④，③②⑤共10种，∴抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法求概念，解题的关键是能用列表法与树状图法求出所有的可能情况数．33．（2023•南通）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于；（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵有同型号的a，b，c三把钥匙，∴从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于，故答案为：；（2）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即Aa、Bb，∴取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回试验还是不放回试验；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．34．（2023•宿迁）某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手．（1）若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是；（2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）．【分析】（1）共有5名学生，随机选取1名，每个人被选中的可能性是均等的，根据概率的定义即可求出答案；（2）用树状图法列举出等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【解答】解：（1）共有5名学生，随机选取1名，每个人被选中的可能性是均等的，所以女生D被选中的概率为，故答案为：；（2）用树状图法列举出等可能出现的结果如下：共有20种等可能出现的结果，其中选择的两人1男1女有12种，所以选2名选手恰有1名男生和1名女生的概率为＝．【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提，理解概率的定义是正确解答的关键．35．（2023•泰州）某校组织学生去敬老院表演节目，表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌3种类型．小明、小丽2人积极报名参加，从3种类型中随机挑选一种类型．求小明、小丽选择不同类型的概率．【分析】用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【解答】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：共有9种等可能出现的结果，其中小明、小丽选择不同类型的有6种，所以小明、小丽选择不同类型的概率为．【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．36．（2023•无锡）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．（1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是．（2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）画出树状图，得出总的结果数，和恰好抽到景区A和景区B门票的情况即可，再由概率公式计算．【解答】解：（1）一共有4种情况，恰好抽到景区A门票的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：∴一共有16种等可能得情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．37．（2023•徐州）甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？【分析】画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲，乙、丙三人选择相同景点的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把纪念塔、纪念馆这两个景点分别记为A、B，画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲，乙、丙三人选择相同景点的结果有2种，∴甲，乙、丙三人选择相同景点的概率为＝．【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．38．（2023•扬州）扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．（1）甲选择A景点的概率为；（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．【分析】（1）由概率公式直接可得答案；（2）先画出树状图，共有9种等可能的情况，再根据概率公式，计算即可得出结果．【解答】解：（1）甲选择A景点的概率为，故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：∵共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的情况有5种，∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是．【点评】本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．39．（2023•苏州）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵一共有4个编号的小球，编号为2的有一个，∴P（任意摸出1个球，这个球的编号是2）＝；（2）画树状图如下：一共有在16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1出现了3次，∴P（第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1）＝．【点评】本题考查概率公式，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．40．（2023•连云港）如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率：（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率．【分析】（1）直接根据概率公式计算；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为；故答案为：；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数为7，所以两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．考法2.利用频率估计概率41．（2023•扬州）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：每批粒数n2510501005001000150020003000发芽的频数m2494492463928139618662794发芽的频率（精确到0.001）1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931这种绿豆发芽的概率的估计值为（精确到0.01）．【分析】当试验次数足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于某一个值，这个值作为概率的估计值．【解答】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.93．故答案为：0.93．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．【检测卷】一、单选题1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，∴这两名工人恰好都是男工人的概率为，故选：C．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．2．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）向上抛掷两枚相同的硬币，落地后出现一正面、一反面的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出符合出现一正面、一反面的情况，最后根据概率公式计算即可．【详解】解：根据题意可列表如下，第二次

第一次正反正正，正反，正反正，反反，反由表格可知共有4种等可能得情况，其中出现一正面、一反面的情况有2种，∴落地后出现一正面、一反面的概率是．故选：C．【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况是解题关键．3．（2023春·山东泰安·九年级校考期中）用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列举法得到所有的三位数，再找出是偶数的三位数，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：用2、3、4三个数字排成一个三位数有、、、、、，共6种等可能的结果，其中排出的数是偶数有4种，故排出的数是偶数的概率为，故选：A．【点睛】本题考查列举法求概率，正确列出所有的三位数是解答的关键．4．（2023春·河南新乡·九年级校联考开学考试）某校初三8班准备举行班干部竞选活动，张林和王亮准备从“纪律委员”“学习委员”“卫生委员”三个职务中随机竞选一个，则两人恰好选择同一个职务的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：把“纪律委员”“学习委员”“卫生委员”分别记为A、B、C，画树状图如下：

共有9种等可能的结果，张林和王亮恰好选择同一个职务有3种结果，则张林和王亮恰好选择同一个职务的概率为：．故选：B．【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．5．（2023春·河南信阳·九年级校考阶段练习）红旗渠是纪念碑，它记载了林县人不认命、不服输、敢于战天斗地的英雄气概．红旗渠精神主要是指自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献．某学校为了弘扬红旗渠精神，决定开展教育宣讲活动．准备从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和乙的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意画树状图表示出所有等可能的情况，再找到符合题意的情况，最后利用概率公式计算即可．【详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，恰好选中甲、乙两名同学的概率为，故选：A．【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，正确的列出表格或画出树状图是解题关键．6．（2023·安徽六安·统考模拟预测）甲、乙、丙三个同学并排走在一起，则甲乙恰好相邻的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】用树状图表示出所有情况，再根据概率公式求解可得．【详解】解：用树状图分析如下：

一共有种情况，甲、乙两人恰好相邻有种情况，甲、乙两人相邻的概率是．故选：D．【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．7．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，点C、D在线段上，且．以点A为圆心，分别以线段为半径画同心圆，记以为半径的圆为区域Ⅰ，所在的圆环为区域Ⅱ，所在的圆环为区域Ⅲ．现在此图形中随机撒一把豆子，统计落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则（

）

A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同【答案】A【分析】计算出三个区域的面积，面积最小的概率最小，进而即可得到答案．【详解】解：，设，则，，，，Ⅰ区域的面积为：，Ⅱ区域的面积为：，Ⅲ区域的面积为：，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积比为：，豆子落在区域Ⅰ的概率最小．故选A．【点睛】本题考查几何概率，解题的关键是掌握概率公式，理解面积比等于概率比．8．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）将分别标有“最”、“美”、“宜”、“昌”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的结果有种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的结果有种，两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率为，故选：A．【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．9．（2022秋·云南楚雄·九年级校考阶段练习）小明和小芳做一个“配色”的游戏，下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其它情况下，则小明、小芳不分胜负，那么小明获胜的概率为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用列表法，求出概率即可．【详解】解：列表如下：红黄蓝红红，红红，黄红，蓝黄黄，红黄，黄黄，蓝红红，红红，黄红，蓝蓝蓝，红蓝，黄蓝，蓝共有12种等可能的情况，其中出现蓝色和黄色的情况共有2种，∴．故选D．【点睛】本题考查列表法求概率．正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键．10．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．【详解】解：树状图如图所示，一共有12种等可能性，其中王明选中的卡片中有偶数的可能性有10种可能性，故王明选中的卡片中有偶数的概率为：，故选：A．【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．二、填空题11．（2023·山西运城·校联考模拟预测）年月日起至年月日止，“印象长治诗画太行”主题摄影展进行征稿，作品内容包括“产业发展”“城市建设”“自然人文”“民生福祉”四部分，展览按照四部分分类展出，现小文和小乐两人各随机从中选择一类展览先进行观看，则两人选择先观看的展览作品内容恰好是同一类别的概率为．【答案】/0.25【分析】用、、、分别表示“产业发展”“城市建设”“自然人文”“民生福祉”四部分，画树状图展示所有种等可能的结果，再找出两人选择先观看的展览作品内容恰好是同一类别的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：用、、、分别表示“产业发展”“城市建设”“自然人文”“民生福祉”四部分．画树状图为：共有种等可能的结果，其中两人选择先观看的展览作品内容恰好是同一类别的结果数为，所以两人选择先观看的展览作品内容恰好是同一类别的概率．故答案为：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．12．（2022秋·江西吉安·九年级校考期中）从、、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率．【答案】【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率．【详解】解：列表得：0__________0____所有等可能的情