专题10二次函数与一元二次方程（3个知识点5种题型）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

专题10二次函数与一元二次方程（3个知识点5种题型）【目录】倍速学习三种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数与一元二次方程的关系（重点）知识点2.二次函数与轴交点个数的判断（重点）知识点3.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根（难点）【方法二】实例探索法题型1.用列表法求一元二次方程的近似根题型2.二次函数与一次函数的综合应用题型3.函数与方程关系的综合应用题型4.阅读理解题题型5.探究题【方法三】成果评定法【学习目标】掌握二次函数与一元二次方程的关系。能根据二次函数与一元二次方程的关系确定二次函数与坐标轴的交点坐标。能运用二次函数与一元二次方程之间的关系判断二次函数与轴的交点个数。会利用二次函数的图象确定一元二次方程的根的近似值。重点：二次函数与一元二次方程关系的理解。难点：二次函数与一元二次方程关系的应用。【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数与一元二次方程的关系（重点）求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．【例1】．（2023•泰州）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是.（填一个值即可）【变式】．（2023•杜尔伯特县一模）|x2﹣3|＝a有四个解，则a的取值范围是．知识点2.二次函数与轴交点个数的判断（重点）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．【例2】．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝．【变式】．（2023春•江都区月考）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣2x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣2x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是．知识点3.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根（难点）利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．【例3】（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：x…﹣2﹣1012…y…﹣1232？…关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，函数图象从左到右上升 B．抛物线开口向上 C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间 D．当x＝2时，y＝1【方法二】实例探索法题型1.用列表法求一元二次方程的近似根3．（2022秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…m﹣4.5m﹣2m﹣0.5mm﹣0.5m﹣2m﹣4.5…若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（）A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方 C．对称轴是直线x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3题型2.二次函数与一次函数的综合应用6．（2022秋•确山县期中）某班“数学兴趣小组”对函数；y＝﹣x2+2|x|+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣101234…y…﹣503434m0﹣5…其中，m＝3．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质．（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）题型3.函数与方程关系的综合应用6．（2023•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型4.阅读理解题7．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．题型5.探究题4．（2023·山西大同·校联考三模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接．

(1)求A，B，C三点的坐标；(2)当的面积等于的面积的时，求m的值；(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【方法三】成果评定法一．选择题（共10小题）1．（2022秋•泽州县期末）如图，抛物线与直线相交于，两点，则当时，自变量的取值范围是A． B． C．或 D．或2．（2023秋•南开区期末）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2022秋•上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴正半轴上一点，连结并延长交抛物线于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点．连结．若点的横坐标为1，且，则的长为A． B． C．4 D．4．（2022秋•嘉禾县期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，有下列结论：①；②一元二次方程的正实数根在2和3之间；③；④点，在抛物线上，当实数时，．其中，正确结论的个数是A．4 B．3 C．2 D．15．（2023秋•杜尔伯特县期末）关于二次函数，下列说法正确的是A．图象的对称轴是直线 B．图象与轴有两个交点 C．当时，的值随值的增大而增大 D．当时，取得最大值，且最大值为36．（2023秋•西丰县期末）将抛物线与轴的交点坐标为A．， B．， C．， D．，7．（2023秋•西山区校级月考）关于抛物线，下列说法正确的是A．顶点坐标是 B．对称轴是直线 C．抛物线有最高点 D．抛物线与轴有两个交点8．（2023秋•明光市期中）下表给出了二次函数与自变量的部分对应值：0125652则关于的一元二次方程的解为A．， B．， C．， D．，9．（2023秋•明光市期中）抛物线与轴有两个交点，则的值可能为A． B．1 C．3 D．410．（2023秋•通榆县期末）如图，抛物线的对称轴为，点、点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为A． B． C． D．二．填空题（共8小题）11．（2023秋•吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为．12．（2023秋•西城区校级月考）抛物线与轴交于两点，分别是是，，则的值为．13．（2023秋•西城区校级月考）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为．14．（2023秋•长春期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是．15．（2022秋•抚松县期末）如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解为．16．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中，，．抛物线经过，，三点，直线经过，．当时，的取值范围为．17．（2023•郴州）已知抛物线与轴有且只有一个交点，则．18．（2022秋•泽州县期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则抛物线与轴交点的个数为个．三．解答题（共6小题）19．（2023秋•徐汇区期末）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，顶点为．（1）求此抛物线的表达式及顶点坐标；（2）联结、，求的余弦值．20．（2023秋•日喀则市期末）如图，顶点为的抛物线，与轴交于，两点．（1）求抛物线顶点的坐标．（2）求直线的解析式．21．（2023秋•吉林期末）如图，抛物线与轴交于点、，是抛物线的顶点，的顶点在轴上．（1）求的值；（2）若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．22．（2023秋•杜尔伯特县期末）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题．（1）写出方程的两个根：；（2）写出不等式的解集：；（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围；（4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：．23．（2023秋•杜尔伯特县期末）已知二