专题06二次函数的图象与性质（1）（5个知识点4种题型1个易错点）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

专题06二次函数的图象与性质（1）（5个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数与的图象及性质知识点2.二次函数的图象及性质（重点）知识点3.二次函数的图象及性质（重点）知识点4.二次函数的图象与性质（重点）知识点5.二次函数的图象与性质（重点）【方法二】实例探索法题型1.判断二次函数图象的开口大小题型2.二次函数与一次函数的综合题型3.画二次函数的图象题型4.二次函数与几何图形的综合【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数的作用【方法四】成果评定法【学习目标】掌握二次函数图象的画法及性质，并了解三个函数之间的关系。掌握二次函数图象的画法及性质，并了解图象之间的关系。能灵活运用二次函数与图象之间的关系解决问题。重点：二次函数图象的画法及性质难点：二次函数性质的应用【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数与的图象及性质二次函数y＝±x2的图象与性质抛物线y＝x2y＝－x2顶点坐标(0，0)(0，0)对称轴y轴y轴开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小最值当x＝0时，有最小值0当x＝0时，有最大值0【例1】已知二次函数y＝x2的图象与直线y＝x＋2的图象如图所示.(1)判断y＝x2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)设直线y＝x＋2与抛物线y＝x2的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；(3)连接OA，OB，求△AOB的面积.【变式】已知二次函数y＝x2，当－1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值.小王的解答过程如下：解：当x＝－1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4.小王的解答过程正确吗?如果不正确，写出正确的解答过程.【例2】观察二次函数y＝－x2的图象，请问：(1)什么时候y随x的增大而增大?什么时候y随x的增大而减小?(2)什么时候函数有最大值或最小值?其最大值或最小值是多少?【变式】函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝x－2交于点(1，b).(1)求a，b的值.(2)x取何值时，y随x的增大而增大?知识点2.二次函数的图象及性质（重点）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0要点诠释：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.【例3】．（2023秋•普陀区期末）下列关于抛物线y＝2x2和抛物线y＝﹣2x2的说法中，不正确的是（）A．对称轴都是y轴 B．在y轴左侧的部分都是上升的 C．开口方向相反 D．顶点都是原点【变式】．（2023秋•琼山区校级期中）已知抛物线y＝（3m﹣1）x2的开口向下，则m的取值范围是（）A． B． C． D．知识点3.二次函数的图象及性质（重点）关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，【例4】．（2023秋•日喀则市期末）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（）A． B． C． D．知识点4.二次函数的图象与性质（重点）一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x=-m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例5】．（2023秋•西昌市校级期末）y＝ax+b与y＝a（x+b）2在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．知识点5.二次函数的图象与性质（重点）二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位．利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x=；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例6】．（2022秋•环江县期末）二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（）A． B． C． D．【变式1】．（2023•长兴县一模）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（）A．（9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）【变式2】．（2023秋•西山区校级月考）在直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2（x+1）2﹣2 B．y＝﹣2（x﹣1）2+2 C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x﹣2）2+1【方法二】实例探索法题型1.判断二次函数图象的开口大小1.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；（2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？2.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图 像；（2）函数、、的图像与函数、、的图像有何异同？题型2.二次函数与一次函数的综合3.已知直线上有两个点A、B，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线也经过点A，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B吗？请说出你的理由．4.物线与直线交于点（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．题型3.画二次函数的图象5.（2022秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知二次函数，解答下列问题：(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由．(3)求当时对应的函数图象在第一象限的点的坐标．题型4.二次函数与几何图形的综合6.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数的作用7.抛物线与的形状相同，则a的值为______．【方法四】成果评定法一．选择题（共9小题）1．（2023秋•长春期末）若点在二次函数图象的对称轴上，则点的坐标可能是A． B． C． D．2．（2023秋•新宾县期末）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位3．（2023秋•西城区校级月考）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是A． B． C． D．4．（2023秋•绿园区期末）二次函数的顶点坐标是A． B． C． D．5．（2022秋•上虞区期末）已知二次函数，当时，函数值等于8，则下列关于，的关系式中，正确的是A． B． C． D．6．（2022秋•东阿县期末）已知，点，，都在二次函数的图象上，则A． B． C． D．7．（2022秋•柯城区期末）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为A． B． C． D．8．（2023秋•明光市期中）抛物线的顶点坐标为A． B． C． D．9．（2022秋•抚松县期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为A．0或1 B．0或4 C．1或4 D．0或1或4二．填空题（共8小题）10．（2023秋•日喀则市期末）抛物线的顶点坐标为．11．（2023秋•西城区校级月考）将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是．12．（2023秋•普陀区期末）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点的坐标是．13．（2023秋•普陀区期末）已知点在抛物线上，点与点关于此抛物线的对称轴对称，如果点的横坐标是，那么点的坐标是．14．（2023秋•徐汇区期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是，新抛物线与原抛物线交于点（如图所示），联结、，如果是等边三角形，那么点的坐标是．15．（2023秋•宣化区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是．16．（2022秋•松北区校级期末）二次函数的最大值是．17．（2022秋•凤山县期末）如图，把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共5小题）18．（2022秋•东阿县期末）如图，，，，四点在抛物线上，且轴，与轴的交点分别为，，已知，，，求的值及的长．19．（2023秋•琼山区校级期中）已知如图所示，直线经过点和，它与抛物线在第一象限内交于点，且的面积为4．（1）求直线的表达式；（2）求的值．20．（2023秋•