专题06二次函数的图象与性质（1）（5个知识点4种题型1个易错点）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

专题06二次函数的图象与性质（1）（5个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数与的图象及性质知识点2.二次函数的图象及性质（重点）知识点3.二次函数的图象及性质（重点）知识点4.二次函数的图象与性质（重点）知识点5.二次函数的图象与性质（重点）【方法二】实例探索法题型1.判断二次函数图象的开口大小题型2.二次函数与一次函数的综合题型3.画二次函数的图象题型4.二次函数与几何图形的综合【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数的作用【方法四】成果评定法【学习目标】掌握二次函数图象的画法及性质，并了解三个函数之间的关系。掌握二次函数图象的画法及性质，并了解图象之间的关系。能灵活运用二次函数与图象之间的关系解决问题。重点：二次函数图象的画法及性质难点：二次函数性质的应用【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数与的图象及性质二次函数y＝±x2的图象与性质抛物线y＝x2y＝－x2顶点坐标(0，0)(0，0)对称轴y轴y轴开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小最值当x＝0时，有最小值0当x＝0时，有最大值0【例1】已知二次函数y＝x2的图象与直线y＝x＋2的图象如图所示.(1)判断y＝x2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)设直线y＝x＋2与抛物线y＝x2的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；(3)连接OA，OB，求△AOB的面积.[解析](1)抛物线y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0).(2)由题意得x2＝x＋2，解得x＝2或x＝－1，则y＝4或y＝1.∴A点坐标为(2，4)，B点坐标为(－1，1).(3)∵y＝x＋2与y轴交点的坐标为(0，2)，∴△AOB的面积＝12×2×1＋12×2×2＝【变式】已知二次函数y＝x2，当－1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值.小王的解答过程如下：解：当x＝－1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4.小王的解答过程正确吗?如果不正确，写出正确的解答过程.[解析]小王的做法是错误的.正确的做法如下：∵二次函数y＝x2的图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，顶点坐标为(0，0)，∴当x＝0时取得最小值，最小值是0.∵－1≤x≤2，当x＝2时取得最大值，此时y＝4，由上可得，当－1≤x≤2时，函数y的最小值是0，最大值是4.【例2】观察二次函数y＝－x2的图象，请问：(1)什么时候y随x的增大而增大?什么时候y随x的增大而减小?(2)什么时候函数有最大值或最小值?其最大值或最小值是多少?[解析](1)当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.(2)y＝－x2的图象开口向下，∴函数y＝－x2有最大值，且当x＝0时，y有最大值，最大值是0.【变式】函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝x－2交于点(1，b).(1)求a，b的值.(2)x取何值时，y随x的增大而增大?[解析](1)把(1，b)代入y＝x－2可得b＝1－2＝－1，∴交点的坐标为(1，－1).把(1，－1)代入y＝ax2可得a＝－1，∴a＝－1，b＝－1.(2)由(1)可得y＝－x2，∴抛物线开口向下，且对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而增大.知识点2.二次函数的图象及性质（重点）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0要点诠释：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.【例3】．（2023秋•普陀区期末）下列关于抛物线y＝2x2和抛物线y＝﹣2x2的说法中，不正确的是（）A．对称轴都是y轴 B．在y轴左侧的部分都是上升的 C．开口方向相反 D．顶点都是原点【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝2x2和抛物线y＝﹣2x2，∴它们的对称轴都是y轴，故选项A不符合题意；抛物线y＝2x2在y轴左侧的部分是下降的，抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分都是上升的，故选项B符合题意；它们的开口方向相反，故选项C不符合题意；顶点都是原点，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【变式】．（2023秋•琼山区校级期中）已知抛物线y＝（3m﹣1）x2的开口向下，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】由抛物线开口向下，可知二次项系数3m﹣1＜0，求解即可．【解答】解：∵抛物线y＝（3m﹣1）x2的开口向下，∴3m﹣1＜0，解得：m＜，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟知当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口（a为抛物线二次项的系数）是解题关键．知识点3.二次函数的图象及性质（重点）关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，【例4】．（2023秋•日喀则市期末）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项．【解答】解：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误，不符合题意；B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误，不符合题意；C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误，不符合题意；D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键．知识点4.二次函数的图象与性质（重点）一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x=-m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例5】．（2023秋•西昌市校级期末）y＝ax+b与y＝a（x+b）2在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝a（x+b）2的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣b＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣b＜0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣b＜0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣b＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查一次函数与二次函数的图象，掌握抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．知识点5.二次函数的图象与性质（重点）二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位．利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x=；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例6】．（2022秋•环江县期末）二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（）A． B． C． D．【分析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．【解答】解：∵a＝2＞0，∴抛物线开口方向向上；∵二次函数解析式为y＝2（x+2）2﹣1，∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x＝﹣2．故选：C．【点评】判断图象的大体位置根据：（1）根据a的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐标或对称轴确定图象位于哪些象限．【变式1】．（2023•长兴县一模）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（）A．（9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．【变式2】．（2023秋•西山区校级月考）在直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2（x+1）2﹣2 B．y＝﹣2（x﹣1）2+2 C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x﹣2）2+1【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+2）2﹣1．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．【方法二】实例探索法题型1.判断二次函数图象的开口大小1.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；（2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？【答案】（1）如图：（2）相同点：开口方向都向上；顶点都是点；对称轴都是轴；不同点：开口大小不同．【解析】（1）略；（2）图像顶点为坐标原点；对称轴为轴；，开口向上，，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数图像的性质．2.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图 像；（2）函数、、的图像与函数、、的图像有何异同？【答案】（1）如图：（2）相同点：相同的开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是轴；不同点：开口方向不同．【解析】（1）略；（2）图像顶点坐标为；对称轴为轴；，开口向上，，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数的性质．题型2.二次函数与一次函数的综合3.已知直线上有两个点A、B，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线也经过点A，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B吗？请说出你的理由．【答案】；抛物线不经过点．【解析】把3和-2分别代入得、，把代入得，∴抛物线的表达式为；把代入得，与B点纵坐标不同，∴抛物线不经过点B．【总结】本题考察利用待定系数法确定函数关系式．4.物线与直线交于点（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．【答案】（1），；（2），顶点坐标为，对称轴为轴；（3）当时，二次函数的值随的增大而增大．【解析】（1）把（1，b）代入得，∴交点坐标为．把代入得，∴；（2）由（1）得抛物线的解析式为，顶点坐标为，对称轴为轴；（3）∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大，即当时，二次函数的值随的增大而增大．【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质．题型3.画二次函数的图象5.（2022秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知二次函数，解答下列问题：(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由．(3)求当时对应的函数图象在第一象限的点的坐标．【答案】(1)见解析；(2)点不在这个函数图像上；(3)【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；（3）代入即可求出坐标．【详解】（1）如图所示，（2）当时，，∴点不在这个函数图象上；（3）当时，，∴，∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．题型4.二次函数与几何图形的综合6.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．【答案与解析】（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a＜0），

∵点A（-4，0）或B（4，0）在抛物线上，

∴0=a•（-4）2+6，

16a+6=0，16a=-6，

．

故抛物线的函数关系式为.（2）过点P作PQ⊥AB于Q，连接PB，则PQ=4.5m．

将y=4.5代入，得x=±2．

∴P（-2，4.5），Q（-2，0），

于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，

从而|PB|=

所以照明灯与点B的距离为7.5m．【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A（-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m，即y=4.5时，求x的值，再根据P点坐标，勾股定理求PB的值.【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数的作用7.抛物线与的形状相同，则a的值为______．【答案】．【解析】∵抛物线与的形状相同，∴，得．【总结】本题考察二次函数的性质．【方法四】成果评定法一．选择题（共9小题）1．（2023秋•长春期末）若点在二次函数图象的对称轴上，则点的坐标可能是A． B． C． D．【分析】根据函数解析式可确定对称轴为，点在对称轴上，因此的横坐标为5，进而可得答案．【解答】解：二次函数图象的对称轴为，点在二次函数图象的对称轴上，点的横坐标为5，故选：．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是正确确定抛物线的对称轴．2．（2023秋•新宾县期末）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位【分析】先通过抛物线解析式得到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到抛物线．故选：．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．3．（2023秋•西城区校级月考）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是A． B． C． D．【分析】先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据三点到对称轴的距离判断即可，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小解题即可．【解答】解：，，对称轴为直线，抛物线开口向下，，，，，，故选：．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据三点到对称轴的距离判断即可，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小是解此题的关键．4．（2023秋•绿园区期末）二次函数的顶点坐标是A． B． C． D．【分析】由抛物线顶点解析式可求得答案．【解答】解：，顶点坐标为，故选：．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．5．（2022秋•上虞区期末）已知二次函数，当时，函数值等于8，则下列关于，的关系式中，正确的是A． B． C． D．【分析】把，代入计算即可．【解答】解：由题意得：把，代入得：，等号两边同除以2得：，故选：．【点评】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于，的关系式是解决本题的关键．6．（2022秋•东阿县期末）已知，点，，都在二次函数的图象上，则A． B． C． D．【分析】根据二次函数的增减性，进行求解即可．【解答】解：，，，，当时，随值的增大而减少，．故选：．【点评】本题考查二次函数的增减性，在解题时要考虑点是否在对称轴同一侧的图象上，然后再利用增减性进行解题．7．（2022秋•柯城区期末）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为A． B． C． D．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【解答】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为：．故选：．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．8．（2023秋•明光市期中）抛物线的顶点坐标为A． B． C． D．【分析】抛物线的解析式为顶点式，根据抛物线的顶点式即可得出结论．【解答】解：抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为．故选：．【点评】本题主要考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握二次函数的顶点式，是解决问题的关键．9．（2022秋•抚松县期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为A．0或1 B．0或4 C．1或4 D．0或1或4【分析】根据二次函数的性质和分类讨论的方法，可以求得的值．【解答】解：二次函数，当时，该函数取得最小值1，当时，的最小值为，当时，时取得最小值，此时，该方程无解；当时，时取得最小值，此时，得；当时，当时取得最小值，此时，得；故选：．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．二．填空题（共8小题）10．（2023秋•日喀则市期末）抛物线的顶点坐标为．【分析】利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：抛物线的顶点坐标为．故答案为：．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．11．（2023秋•西城区校级月考）将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是y＝2（x+1）2﹣5．【分析】根据函数图象平移的法则解答即可．【解答】解：二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是y＝2（x+1）2﹣5．故答案为：y＝2（x+1）2﹣5．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．12．（2023秋•普陀区期末）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点的坐标是．【分析】依据题意，设，由抛物线，求出顶点，再在求得，进而可以判断得解．【解答】解：如图，由题意，设．由抛物线，．，．．在中，．．．．．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．13．（2023秋•普陀区期末）已知点在抛物线上，点与点关于此抛物线的对称轴对称，如果点的横坐标是，那么点的坐标是．【分析】根据抛物线，可以计算出点的纵坐标，写出抛物线的对称轴，再根据点与点关于此抛物线的对称轴对称，即可得到点的坐标．【解答】解：点在抛物线上，点的横坐标是，点的纵坐标为：，该抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，点与点关于此抛物线的对称轴对称，点的坐标是，故答案为：．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14．（2023秋•徐汇区期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是，新抛物线与原抛物线交于点（如图所示），联结、，如果是等边三角形，那么点的坐标是，．【分析】由题意设点的坐标为，然后根据等边三角形的性质得到，，解得，从而求得，．【解答】解：点抛物线上，设点的坐标为，是等边三角形，，，或（舍去），，，故答案为：，．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键．15．（2023秋•宣化区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是．【分析】二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的的值即可解决问题．【解答】解：正方形的顶点、、的坐标分别为、、．，当抛物线经过点时，则，当抛物线经过时，，观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．16．（2022秋•松北区校级期末）二次函数的最大值是5．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是，由可知：当时，函数有最大值是5．【解答】解：中，，此函数的顶点坐标是，有最大值5，即当时，函数有最大值5．故答案为：5．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．17．（2022秋•凤山县期末）如图，把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为16．【分析】连接，，先求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，以及点的坐标，再利用二次函数的性质、三角形的面积公式即可得．【解答】解：如图，连接，，由题意得：平移后的抛物线的解析式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为，对于函数，当时，，即，根据抛物线的对称性知：，所以，故答案为：16．【点评】本题考查了二次函数图象的平移，以及性质，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．三．解答题（共5小题）18．（2022秋•东阿县期末）如图，，，，四点在抛物线上，且轴，与轴的交点分别为，，已知，，，求的值及的长．【分析】由题意可设点，，然后可列二元一次方程组求