专题05二次函数（2个知识点4种题型1个易错点）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

专题05二次函数（2个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数的概念（重点）知识点2.列函数关系式（难点）【方法二】实例探索法题型1.已知一个变量求它的函数值题型2.建立函数模型题型3.二次函数与一次函数的综合题型4.二次函数与动点的关系【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数为零的情况【方法四】成果评定法【学习目标】理解二次函数的概念。掌握二次函数的一般形式。会根据实际问题列出二次函数的表达式。重点：二次函数的概念的理解。难点：根据实际问题列二次函数的表达式。【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数的概念（重点）1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.【例1】．（2023秋•安庆期中）下列函数中，不是二次函数的是A． B． C． D．【分析】根据二次函数的定义：形如，，为常数且，逐一判断即可解答．【解答】解：、，是二次函数，故不符合题意；、，是二次函数，故不符合题意；、，是二次函数，故不符合题意；、，是一次函数，故符合题意；故选：．【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．【变式】．（2023秋•武威期中）已知函数是二次函数，则等于A． B．2 C． D．6【分析】根据二次函数的定义，令且，即可求出的取值范围．【解答】解：是二次函数，且，．故选：．【点评】本题考查了二次函数的定义，要注意二次项系数不能为0．知识点2.列函数关系式（难点）根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【例2】（2022秋•无为市月考）据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝42959.2（1+2x） B．y＝42959.2（1﹣x）2 C．y＝42959.2x2 D．y＝42959.2（1+x）2【分析】利用2023年安徽省生产总值＝2021年安徽省生产总值×（1+平均年增长的百分率）2，即可得出y关于x的函数表达式，此题得解．【解答】解：依题意得y＝42959.2（1+x）2，故选：D．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确找出y关于x的函数表达式是解题的关键．【变式1】（2022秋•杜集区校级月考）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）A．y＝2a（x﹣1） B．y＝2a（1﹣x） C．y＝a（1﹣x2） D．y＝a（1﹣x）2【分析】原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）＝a（1﹣x）2．【解答】解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．则函数解析式是y＝a（1﹣x）2．故选：D．【点评】本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．【变式2】已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况．【答案】，图见解析【分析】首先得出与的关系，进而由图象得出平行四边形的面积随其底边变化情况．【详解】解：平行四边形的高与底边的比是，，则，如图所示：平行四边形的面积随其底边增大而增大．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及函数图象性质，解题的关键是利用数形结合的思想求解．【方法二】实例探索法题型1.已知一个变量求它的函数值1．圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加．（1）写出y与x之间的关系式；（2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？【答案】（1）；（2），，【分析】（1）根据圆的面积公式可得，再整理即可．（2）分别把，，2代入可得的值．【详解】解：（1）由题意得：；（2）当时，；当时，；当时，．【点睛】本题主要考查了函数关系式，解题的关键是掌握圆的面积公式．题型2.建立函数模型2.（2022•大观区校级开学）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）【分析】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出y关于x的函数关系式．【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．依题意可得：y＝x（40﹣2x）．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题列二次函数关系式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．题型3.二次函数与一次函数的综合3．已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）且．【分析】（1）根据一次函数的定义知：二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，即可解决问题；（2）根据二次函数的定义知：二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案，即可解决问题；【详解】（1）由题意得，，解得m=；（2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-.【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念．题型4.二次函数与动点的关系4.（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？【答案】(1)5s(2)【分析】（1）由DF∥AE且DF=AE，得四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD=DF，可得关于t的方程，求解即可；（2）由直角三角形的性质可求DF，BF的长，即可求解．【详解】（1）解：∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C=30°，∴CD=2DF，AC=2AB，∵AC＝30cm，∴AB=15cm，根据题意得：CD=4tcm，AE=2tcm，则AD=（30-4t）cm，∴DF=2tcm，∴DF=AE，∵DF⊥BC，∴DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形，当DF=AD时，四边形AEFD为菱形，即30-4t=2t，解得：t=5；（2）解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm，∴，，由（1）得：四边形AEFD是平行四边形，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E.（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；（2）当PD=PE时，求AP的长；（3）设AP的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求出BP的长，然后求出BE的长；（2）设AP=，则BP=4—，根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD和PE的长，再根据PD=PE列出方程即可.（3）分别用AP表示PD、PE、BE,再根据即可求出.【详解】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，∵点D为AC边的中点,∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D，∴∠EPB=30°，∴EB（2）设AP=，则BP=4—，在两个含有30°的中得出：AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：，∵PD=PE，∴解得即有AP=（3）由（2）知：AP=，【点睛】本题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理，以及二次函数，熟练掌握相关知识是解题的关键.6.如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求：（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当时，求线段PQ的长；（3）当t为何值时，？【答案】（1）；（2）；（3）当t为2或3时，．【分析】（1）由点P点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可；（2）当时，代入（1）中公式可得PC，CQ的长，再由勾股定理即可求出PQ；（3）结合（1）得到的关系式，代入条件，列出方程求解即可．【详解】解：（1）由条件可得：，，∴，∴，；（2）当时，，，∴；（3）由题意可得：，整理得：，解得：，，∴当t为2或3时，．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，方程思想是解决本题的关键．【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数为零的情况7.（2022秋•蜀山区校级月考）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．易错总结：求二次函数中字母参数的值，要根据二次函数定义，在保证二次函数中含自变量的代数式是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0的条件。解此题时，容易忽略二次项次数不为0这个条件，得出错解-5或-1.【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）下列各式中，y是x的二次函数的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义进行判断作答即可．【详解】解：，是一次函数，故A不符合要求；，是一次函数，故B不符合要求；当时，，不是二次函数，故C不符合要求；，是二次函数，故D符合要求；故选：D．2．（2023上·山西大同·九年级校联考阶段练习）如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积．【详解】解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，∴表面积．故选：C．【点睛】本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键．3．（2024下·九年级课时练习）若是关于的二次函数，则的值为（

）A． B．0 C．2 D．【答案】C【详解】根据二次函数的定义：形如（是常数，且）的函数叫做二次函数．据此可列出关于参数的方程与不等式，求解即可．令，解得或，又，故当时，这个函数是关于的二次函数，故选C．【易错点分析】明确二次函数的定义是解题的关键，尤其需要注意的是二次项的系数应不等于零，忽略关于二次项系数取值范围的限制，容易导致错选D．4．（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了列二次函数关系式，正方体有6个面，每个面的面积为据此可求解．【详解】解：由题意得，，故选：C．5．（2023上·九年级课时练习）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（）A． B．C． D．以上答案都不对【答案】D【分析】当销售价为元件时，每件利润为元，销售量为，根据利润每件利润销售量列出函数关系式即可．【详解】解：由题意得，故选：D．【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键．6．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】第二季度总值为，第三季度为，得解；【详解】解：第三季度总值为；故选：C【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键．7．（2023上·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式．【详解】解：根据题意得，，即，故选：A．【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键．8．（2023上·河南周口·九年级统考期中）正方形的边长为3，若边长增加，则面积增加，与的关系式为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先表示出原边长为3的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y列出方程即可．【详解】解：原边长为3的正方形面积为：，边长增加后边长变为：，则面积为：，．故选：A．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出正方形的面积．9．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）函数的图象是抛物线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．且【答案】C【分析】直接根据二次函数的定义即可得到，计算即可得到答案．【详解】解：函数的图象是抛物线，，，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数叫做二次函数，是解此题的关键．10．（2023上·北京·九年级北京八中校考期中）如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（）A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值【答案】A【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值．【详解】解：是等腰直角三角形，，，，，和是等腰直角三角形，四边形是矩形，，，，即，y与x满足一次函数关系，，最大值为1，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值．故选：A．二、填空题11．（2011上·湖南长沙·九年级统考期末）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是．【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①为一次函数；②为二次函数；③自变量次数为3，不是二次函数；④为二次函数；⑤函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．12．（2023上·甘肃定西·九年级校考阶段练习）已知二次函数，则．【答案】【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：形如，这样的函数叫做二次函数，得到，，进行求解即可．解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．【详解】解：∵函数是二次函数，∴，，∴．故答案为：．13．（2022上·北京朝阳·九年级统考期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y与x之间的函数关系是．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得，∴y与x之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y与x之间的函数关系式是解题的关键．14．（2023上·四川南充·九年级校联考阶段练习）二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是．【答案】5【分析】根据二次函数的定义判断即可。【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是，故答案为：①，②，③，【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．15．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）用长为30米的栅栏围成一个矩形花坛，其中一边长为x米，面积为y平方米，则y与x的函数关系为（不要求写自变量取值范围）．【答案】或【分析】由篱笆的总长及一边长度，可得出花圃另一边长为米，再利用矩形的面积公式，即可得出关于的函数解析式．【详解】解：篱笆的总长为30米，花圃一边长为米，花圃另一边长为米．根据题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数解析式是解题的关键．16．（2023上·辽宁·九年级统考期中）某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是．【答案】【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数，掌握二次变化的关系式是解决本题的关键．两年后的产值=本年度的产值增长率，把相关数值代入即可．【详解】解：第一年度的产值为，∴第二年度的产值为，∴．故答案为：17．（2023上·山西太原·九年级山西实验中学校考阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为．【答案】【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可．【详解】解：根据题意，得展开得：整理得：根据题意，得解得：．∴y与x之间的函数关系式为，故答案为：18．（2023上·广东广州·九年级广州四十七中校考阶段练习）正方形边长，若边长增加，增加后正方形的面积为，与的函数关系式为．【答案】/【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据正方形面积等于边长的平方，即可求解．【详解】解：依题意，，故答案为：．三、解答题19．（2023上·陕西西安·九年级统考阶段练习）当为何值时，函数是二次函数．【答案】【分析】根据二次函数的定义，可得，且，即可求解．【详解】解：是二次函数，，解得，又．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．20．（2023上·山东枣庄·九年级滕州育才中学校考阶段练习）已知函数．(1)当函数是二次函数时，求的值：(2)当函数是一次函数时，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义，一次函数的定义是解题的关键．（1）由题意知，，计算求出满足要求的解即可；（2）由题意知，，计算求出满足要求的解即可．【详解】（1）解：∵函数是二次函数，∴，解得，，，，，∴；（2）解：∵函数是一次函数，∴，解得，，，，∴．21．（2023上·北京石景山·九年级校考阶段练习）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．

(1)若，求的长；(2)设，，写出y关于x的函数关系式．【答案】(1)(2)【分析】（1）如图，先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得．（2）由，可得，结合，，，，可得，则，从而可得答案．【详解】（1）解：如图，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，，，∴，∴，解得，经检验符合题意．（2）∵，∴，∵，，，，∴，∴∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．22．（2023上·山东日照·九年级统考期中）已知方程（m为常数）．(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)，是原方程的两根，且，求m的值．(3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点