专题12垂径定理、圆周角和圆心角的关系（6个知识8种题型）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

专题12垂径定理、圆周角和圆心角的关系（6个知识8种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.垂径定理（重点）知识点2.垂径定理的推论（难点）知识点3.圆周角（重点）知识点4.圆周角定理（重点）知识点5.圆周角定理的推论（难点）知识点6.圆内接四边形的概念与性质（重点）【方法二】实例探索法题型1.最短距离问题题型2.辅助线的添加方法题型3.方程思想题型4.垂径定理的实际应用题型5.圆中角度的计算题型6.圆内接四边形与圆周角定理的综合应用题型7.动点问题题型8.圆周角定理与其他几何知识的综合【方法三】成果评定法【学习目标】掌握垂径定理，并会运用垂径定理进行简单的计算。掌握与垂径定理有关的推论，并能运用这一推论解决相关问题。3.认识圆周角，掌握圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。4.能运用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.垂径定理（重点）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．【例1】．（2022秋•锡山区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，AB＝16，则OC的长为．【解答】解：如图，连接OA．∵OC⊥AB，∴AC＝CB＝AB＝8，∵OA＝10，∠ACO＝90°，∴OC＝＝＝6，故答案为：6．【变式】．（2022秋·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（）①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】已知直径AB垂直于弦CD，那么可根据垂径定理来判断所给出的结论是否正确．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，∴CE=DE，；故①③正确；∴∠CAB=∠DAB；故④正确由于没有条件能够证明BE=OE，故②不一定成立；所以一定正确的结论是①③④；故选：B．【点睛】此题主要考查的是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，掌握垂径定理是解题的关键．知识点2.垂径定理的推论（难点）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【例2】．（2022秋·九年级统考期中）如图，的弦，M是的中点，且，则的半径等于（

）A．7 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】连接，根据M是的中点，得到，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵的弦，M是的中点，∴，，连接，在中，，即：的半径等于5；故选C．【点睛】本题考查垂径定理的推论．熟练掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，是解题的关键．【变式】．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（

）．A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到答案．【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图，它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心．故选：B．【点睛】本题主要查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，理解并掌握圆心为弦垂直平分线的交点是解决此题的关键．知识点3.圆周角（重点）1.圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆心角与圆周角的区别与联系【例3】观察下图中角的顶点与两边有何特征?指出哪些角是圆周角?【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．知识点4.圆周角定理（重点）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【例4】如图，，点C在上，且点C不与A、B重合，则的度数为（）A．B．或C．D．或【答案】D；【解析】当点C在优弧AB上时，∠ACB=50°；当点C在劣弧AB上时，∠ACB=130°，故选D.【点评】考查分类讨论思想.【变式】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是.【答案】40°或140°.知识点5.圆周角定理的推论（难点）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）【例5】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，A、B是上的两点，若，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵是的直径，∴，∵∴．∵，∴．【变式】如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD的度数是．【答案】30°【详解】连接CD.由题意得∠COD=90°，∴CD是⊙A的直径.∵D（0，1），C（，0），∴OD=1，OC=，∴CD==2，∴∠OCD=30°，∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等）知识点6.圆内接四边形的概念与性质（重点）（1）定义:圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．【例6】（2022秋•靖江市期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝180°．【解答】证明：如图，连接OB、OD，由圆周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，∵∠2+∠1＝360°，∴∠A+∠C＝180°．【变式】如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝70°，∴∠ADC＝110°，故答案为：110°．【方法二】实例探索法题型1.最短距离问题1．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，交x轴于，两点，交y轴于C，两点，点S是上一动点，N是的中点，则线段的最小值是．【答案】【分析】在y轴上截取，连接，根据，，求出点M的坐标为，根据，，得出，当取最小值时，才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，才能取得最小值，求出，得出，即可得出答案．【详解】解：在y轴上截取，连接，如图所示：∵，，∴圆心M在的垂直平分线上，∴M点的横坐标为1，设M点的纵坐标为n，∴，∵，∴，解得：，，∴，∵，，∴，∴当取最小值时，才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，才能取得最小值，如图所示：∵，，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，中位线定理，作出相应的辅助线，求出点M的坐标，解题的关键是找出当取最小值时，才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，才能取得最小值．题型2.辅助线的添加方法2．（2021秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B． C． D．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.题型3.方程思想3.（2022秋•江宁区校级月考）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为m．【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，又CD＝4则有：CM＝CD＝2m，设圆的半径是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圆的半径长是m．故答案为：．题型4.垂径定理的实际应用4.（2022秋•如皋市校级月考）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为m．【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，∴OD＝＝6，∴CD＝10﹣6＝4（m）．故答案是4．5.（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米 B．2米 C．米 D．米【解答】解：连接OC，OC交AB于D，由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°，∴OD＝＝＝（米），∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米，即点C到弦AB所在直线的距离是（3﹣）米，故选：C．6.（2022秋•泰州月考）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？【解答】解：（1）连接OA，由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）连接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）．∴A′B′＝32（米）．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．题型5.圆中角度的计算7．（2022秋•鼓楼区期末）如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证∠A＝∠D；（2）若的度数为108°，求∠E的度数．【解答】（1）证明：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴即AD⊥BC，又AC＝CD，∴AB＝BD，∴∠A＝∠D；（2）解：∵的度数为108°，∴∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，∴，∴∠E＝∠A＝27°．题型6.圆内接四边形与圆周角定理的综合应用8．（2022秋•宿城区期末）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．9．（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．求证：BD＝BC．【解答】证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠EAD+∠BAD＝180°，∴∠BCD＝∠EAD，∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BAC，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BDC，∴BD＝BC．题型7.动点问题10．（2023·江苏泰州·统考中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．

知识回顾(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．①求的度数；②若的半径为5，，求的长；逆向思考(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．【答案】(1)①；②；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．【详解】（1）解：①，，，．②连接，过作，垂足为，

，，是等腰直角三角形，且，，，是等腰直角三角形，，在直角三角形中，，．（2）证明：延长交圆于点，则，

，，，，，，，为该圆的圆心．（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是直径，，，，，，，，必有一个点的位置始终不变，点即为所求．【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键．题型8.圆周角定理与其他几何知识的综合11．（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．（1）求证：CD＝BF．（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．（3）连结GO，OF，如图2，求证：．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，∴，∵，∴，∴，即，∴BF＝CD；（2）解：如图所示：连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，∴∠FBC＝∠BCD，∴BG＝CG，∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，∴，设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，解得：，∴GE的长为；（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，∵，∴，在△OCG和△OBG中，，∴△OCG≌△OBG（SSS），∴∠COG＝∠BOG，∴∠IOB＝2∠EOG，∵OF＝OB，OC为半径，∴OC⊥BF，∴∠OIB＝90°，∵∠IOB+∠IBO＝90°，∴．【方法三】成果评定法一．选择题（共6小题）1．（2023秋•惠山区校级期中）如图，是的直径，弦于点，，，则的长为A． B． C． D．【分析】根据勾股定理求出，根据勾股定理计算即可．【解答】解：弦，，在中，，，故选：．【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．2．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是A． B． C． D．【分析】连接、、，如图，先利用勾股定理计算出，再利用四边形为矩形得到，则，即，所以当的值最小时，的值最小，由于（当且仅当、、共线时取等号），所以的最小值为，从而得到的最小值．【解答】解：连接、、，如图，四边形为正方形，为半圆的直径，，，，，，，四边形为矩形，，，即，当的值最小时，的值最小，（当且仅当、、共线时取等号），的最小值为，即的最小值为．故选：．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和正方形的性质．3．（2023秋•滨湖区校级期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，尺寸），则圆的直径长度是A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸【分析】连接，设的半径是寸，由垂径定理得到寸，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的直径长．【解答】解：连接，设的半径是寸，弦，垂足为点，寸，寸，寸，，，，直径的长度为寸．故选：．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程．4．（2023秋•铜山区校级月考）如图，点、、在上，，则的度数是A． B． C． D．【分析】利用圆周角定理求解即可．【解答】解：，，，故选：．【点评】本题考查圆周角定理，三角形面积和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．5．（2023•苏州）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，连接，，，过点作，交的延长线于点．设的面积为，的面积为，若，则的值为A． B． C． D．【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案．【解答】解：如图，过作于，，，，即，，，，，即，设，则，，，，，，；故选．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．6．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为A． B． C． D．【分析】求出的度数，根据圆内接四边形的对角互补得出，求出，根据圆周角定理得出，再求出答案即可．【解答】解：，，四边形内接于，，，，故选：．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的性质和圆周角定理是解此题的关键．二．填空题（共6小题）7．（2023秋•滨海县期中）如图，点，，，在上，，，则．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出，进而得出答案．【解答】解：，，，．故答案为：．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出度数是解题关键．8．（2023秋•镇江期中）如图，某圆弧形拱桥的跨度，拱高，则该拱桥的半径为8.9．【分析】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，设圆心是，半径为，连接．根据垂径定理得，再由勾股定理求解即可．【解答】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，设圆心是，半径是，连接．根据垂径定理，得：，在中，根据勾股定理，得，解得：，即该拱桥的半径为，故答案为：8.9．【点评】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．9．（2023秋•高新区校级期中）如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面，则水的最大深度是2．【分析】连接，，则有，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图所示，连接，，则有，，在中，，．故答案为：2．【点评】本题考查了垂径定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．10．（2023秋•丰县期中）如图，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为．【分析】首先作关于的对称点，连接，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．【解答】解：作关于的对称点，连接，，交于，此时，根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，连接，，点是半圆上的一个三等分点，．弧中点，，，．的半径是2，，，即的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查的是圆周角定理，轴对称最短路线问题，解答此题的关键是找到点的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．11．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，已知的半径为7，是的弦，点在弦上．若，，则的长为5．【分析】过作于，连接，求出，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可．【解答】解：过作于，连接，则，，，，，过圆心，，，，，．故答案为：5．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．12．（2023秋•建湖县期中）如图，点、、在上，，连接并延长，交于点，连接、．若，则的大小为54．【分析】利用平行线的性质求出，再利用圆周角定理求出，利用平行线的性质可得，再证明可得结论．【解答】解：，，，，，是的直径，，，故答案为：54．【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三．解答题（共6小题）13．（2023秋•仪征市期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点、．（1）求证；（2）若，大圆和小圆的半径分别为6和4，则的长度是．【分析】（1）作于，如图，根据垂径定理得到，，利用等量减等量差相等可得到结论；（2）连接，如图，设，利用勾股定理得到，，则，然后解方程求出即可得到的长．【解答】（1）证明：作于，如图，，，，，；（2）解：连接，如图，设，在中，，在中，，，解得，．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．14．（2023秋•广陵区期中）如图，四边形内接于，为的直径，．（1）若，求的度数；（2）求证：．【分析】（1）根据，可得，根据三角形的内角和定理得出，根据平行线的性质求出，根据圆内接四边形的性质求出的度数即可；（2）连接，根据，可得，根据平行线的性质可得，从而证得结论．【解答】（1）解：，，，，，，四边形是的内接四边形，，；（2）证明：连接，，，，，，，．【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关定理并灵活运用．15．（2023秋•句容市期中）已知：