自考00023高等数学（工本）历年真题（01年-12年）

全国2001年10月高等教育自学考试

高等数学（工本）试题

课程代码：00023

第一部分选择题

一、单项选择题（本大题共2（）小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个选项中只有一

个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1.函数y=e"'在定义域内是（）

A.单调增函数B.单调减函数

C.有界函数D.无界函数

2.设limf(x)=A>0,则一定存在X。的一个去心邻域，在此邻域内（）

I/

A./UXOB./(x)>0

C./(x)WOD./(x)=0

.rm/.xfx=a(l-sinr)兀

3.摆线，、上对应于，=-处的点的切线斜率为（）

[y=Q(1—cos/)2

A.aB.1

71.

C.---1D.0

2

4.设Ax)在x=xo可导，则()

A[.f(x0+2h)-f(x0).

A•照-------h--------=小。)

B.limf(Xo)~f(X°~h)=f，(x0)

xh°

C.limf(X|l+h)-f(X,l-h)=f(x0)

/TOh

f(x)-f(x-2h)

D.lim——0-------0------=f(x)

Dhn

5.曲线y=x3(l—x)向上凹的区间是()

/11A、

A.(-oo,己]B.(],+oo)

C.[0,—]D.[0,4-oo)

6.下列函数中在[—1,1]上满足拉格朗日中值定理条件的是()

A.y=1x1B.y=ln(l+x2)

)

00023高等数学（工本）第1页共6页

3-

C.-(2A/2-1)D.永23—1)

8」im依罕暨出=()

x-"+1

B.O

C.00D.l

9.£-Jr2-x2idx=

兀

A.nr2B.-r2

2

10.同时垂直于向量）=｛2,1,1｝和3=｛0,1,1｝的单位向量是（）

A.{0,

B4。，-左左｝

C.呜，*白

11.在三维空间直角坐标系中方程/+z?+2z=o表示的图形是（）

A.圆B.圆柱面

C.抛物线D.抛物柱面

12.设/（x,y）在点（4,%）具有偏导数,且f（x,%）和/（与,y）在点/（%,y0）都取得极值,则

Go，九）一定是f（兀》）的（）

A.极大值点B.极小值点

C.驻点D.连续点

13.设D是方形域:0WxWl,OWyWl,则“孙而=（）

D

A.lB.-

2

cD.-

54

14.设。是一个正方体：OWxWLOWyWLOWzWLfftlJJjX+}?+Zt/v=/,

c3

〕"狂铲力=/2，则()

Qy

A./,<0B./2>100

C./jD.l1>I)

15.设L为椭圆'+£=1的顺时针路径，则，(x+y)dx一(x-y)dy=()

A.-4yiabB.-271ab

C.OD.2nab

16设.L为圆周/+y2=1,£(/+y~+5)ds=

00023高等数学（工本）第2页共6页

A.8乃B.10万

C.12万D.14;r

17.函数/(x)=—1在(一1,1)内x的暴级数展开式为()

1+X

A.1+X2+/+/+...B.—i+x~-%4+/—...

C.-1--_/_---D1-X2+X4-X6+-«-

r2r4v6

18.幕级数1-----1----------1■…在(—8,+8)上的和函数是()

2!4!6!

A.sinxB.cosx

C.ln(l+x2)D.ex

19.微分方程个〃-V=0的通解是()

2

x2

A.y=q+c2eB.y=cxx+c2

xx

C.y=J+c2eD.y=+c2e

20.用待定系数法求微分方程y〃+3y72y=e，'cosx的通解中的特解y*时，应设y=()

A.e~xacosxB.e'x(acosx+hsinx)

C.e~xbsinxD.xe^x(acosx+bsinx)

(其中a,b为待定常数)

第二部分非选择题

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

1

2\A\mxarctg—=。

x

JT

22.®/(x)为可导的偶函数,g(x)=/(cosx),,则或(])=

23.曲线y=上的拐点是。

\nx

24.Jxylx2-2dx-。

n______________

25J：J1-cos2xdx=o

~2

26.直线『=一=”的夹角是.

27.设函数〃（x,y）=），则d〃|（3,4）=。

28.设£为由平面1=0,y=0,z=0,x=l,y=l,z=1所围成立体的表面外侧，则对坐标的

曲面积分JJzdxdy=。

0,-2<x<0

29.设/（x）是周期为4的周期函数，它在［-2,2）上的表达式为心）=（常数k#0）,则

k,0<x<2

f（x）的傅里叶级数的和函数在x=2处的值为

00023高等数学（工本）第3页共6页

30.微分方程y"+3y'+2y=0的通解是。

三、计算题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

2

nnn

31.^lim(l+2+3).

nToo

32.求过点A(0,1,1),B(l,2,0)且与x轴平行的平面方程

33.求积分J(tgx+ctgx)2dx

34.计算二重积分+y2^a2,x^O,y^O(a>0).

D

35.问级数£(-1)"-'―--

占ln(n+l)

(1)是否收敛？

(2)若收敛，是条件收敛，还是绝对收敛？

四、应用和证明题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

X

36.设某工厂生产某种产品的日产量为x件，次品率为，若生产一件正品可获利3元,

x+100

而出一件次品需损失1元，问日产量为多少时获利最大？

22

37.计算由椭圆三+彳=1所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。

ab

38.设f(x)在[一〃，上连续，证明

(J(x)dx=£f/(x)+f(-x)]dx

全国2001年10月高等教育自学考试

高等数学(工本)试题

课程代码：00023

一、单项选择题(本大题共2()小题，每小题2分，共40分)

1.D2.B3.B4.B5.C

6.B7.C8.A9.D10.B

11.B12.C13.D14.D15.D

16.C17.D18.B19.B20.B

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

21.022.0

।2

23.(/,,产)24.-(X2-2)2+c

7T

25.226.一

3

4,3,

27.——axH-----ax28.1

2525

kx2x

29.-30.y=cxe~4-c2e~

2

三、计算题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

00023高等数学(工本)第4页共6页

31.解•.•34(1+2"+3")；<3;-3

2

又lim3"，3=3

n-»oo

根据夹逼准则有

2

lim(l+2"+3")；=3

«-»0C

32.解所求型的法向量为

n=~ABxi

iik

11-1{0-1-1)=-{0,1,1)

100

所求平面方程为

y+z-2=0

33.解J(tgx+ctgx)2dx

=J(tg2x+2+ctg2x)dx

=Jsec2xdx+Jesc2xdx

=tgx-ctgx+c

ryla2-x2

34.解JJXMTJMXJRydy

D

=gJ。x(a2-ax)dx

-(—x2

22

11

35.解⑴•/---------->------------(〃=1,2…)

ln(n+1)ln(n+2)

lim-----------=0

“TOOln(n+1)

由莱布尼兹判别法知£（一1尸

收敛

n=lln(«+1)

11，而£8」一发散,

(2)•••---------->——

ln("+1)〃+1〃=1n+1

CC1

.♦.Z(T尸发散

n=lln(n+1)

*1

因此级数—i—条件收敛。

£ln（n+l）

四、应用和证明题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

00023高等数学（工本）第5页共6页

100x2

36.解日获利为y（x）=3x-

x+l()0-x+100

3OOx-x2

U>0)

x+100

>0,0<x<100

(300+x)(100-x)

y'(x)==0,x=100

(x+100)2

<0,x>10()

可见,y（x）在x=100处取得唯一极大值，从而取得最大值。

亦即，日产量为10（）件时获利最大。

37.解体积元素为

dV=^-(a2-x2)dx

a

所求体积为

V=[4与(〃2-x2)dx

J-。a

_b2x3

=兀=92x--)_

a3a

=—mb1

3

raf0pa

38.证JfMdx=\f(x)dx+\fMdx

J-aJ-a*0

CO人rO

[f(x)dx令X=T-f

J-aJa

r<>

=£f(-x)dx

f0

Jf{x}dx=\[/(x)+/(-x)]Jx

J--aJO

浙江省2002年1月高等教育自学考试

高等数学（工本）试题

课程代码：00023

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题

干的括号内。每小题2分，共40分）

1.下列函数相等的是（）

A.Vx7-^（Vx）2B.x与蠹

x4-12,cx2-1匕

C.-与Hx-1D.------与x-1

X2+1X+1

2.数列an有界是该数列有极限的（）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.以上都不对

00023高等数学（工本）第6页共6页

1

sin—,x>0;

3.设f(x)=，x

.1那末lim.f(x)不存在的原因是()

xsin—x<0,x->0

x

A.f(O)无定义B」imf(x)不存在

x-»O-

c」imf(x)不存在limf(x)与limf(x)都存在但不等

x->0+X->0-X-»0+

4.函数f(x)=7^^的连续区间是()

7x2-1

C.[-2,-l)U(l,21D.(q,+OO)

5.设f'(X。)存在，则]jm「(*h)二f(xQ等于()

hioh

Af(xo)B.-f(-xo)

C.f'(-xo)D.-fz(xo)

6.设f(u)可微，则y=f(sinx)的微分dy=()

Af(sinx)dxB.f'(sinx)cosxdx

C.(f(sinx))'dsinxDf(sinx)sinxdx

7.抛物线y=x2在哪一点处切线的倾角为45°()

A.(0,0)B.(U)C.(〈,2)D.(1,D

244

8.若f(x)是g(x)的一个原函数，则()

A.ff(x)dx=g(x)+cB.fg(x)dx=f(x)+c

C.fgf(x)dx=f(x)+cD.ff'(x)dx=g(x)+C

dcx2

9.设f(x)在G8,+8)内连续，则一|f(t)dt=()

dxlJo

A.f(x2)B.2xf(x2)Cf(x2)D.2x『(x2)

1().fy/a2-x2dx=()

J-a

2

A.—B.—C.naD.O

24

11.平面2x+3y+4z+4=0与2x-3y+4z-4=0的位置关系是()

A.相交且垂直B.相交但不重合

C.平行D.重合

x2+2y2

x+y'(X，丫)*(0,0)；；则fx(O,O)=()

(0,(x,y)=(O,O),

A.OB.lC.2D.不存在

X

13.累次积分f'odxf'-of(x,y)dy交换积分次序后等于()

lx

A.f'odyf'of(x,y)dxB.f[dyfof(x,y)dx

I-ylx

C.f'odyfof(x,y)dxD.fodyf\f(x,y)dx

14.曲线y=j2x-x2与直线y=-L围成的平面图形的面积为(

x)

J3

00023高等数学(工本)第7页共6页

A.2jJcos2°d°B,2J2cos°d°

66

JTK

C.2「sin0d0D.2「sin29d9

JoJo

15.设L是从点(0,())沿折线y=l-lx-ll至点A(2,0)的折线段，则曲线积分1=fL-ydx+xdy等于

()

A.OB.-lC.2D.-2

16.微分方程(x+y)cos?dx+xsin、=0是()

XX

A.可分离变量方程B.齐次方程

C.一阶线性方程D.伯努利方程

17.微切方程y"+y'=2的一个特解y*4具有形式()

A.y*=axB.y=ax2

C.y*=asinxD.y*=(ax+b)x

18.下列级数中绝对收敛的是（）

A-X(-ir'nB.£（」）T

忘n+1

n=l

C.之(-1)11-1~^=InD.Y粤（a为非零常数）

n=lJnrn-

19.若幕级数fa/11在x=-2处收敛，则该级数在*=1处（）

n=l

A.发散B.条件收敛

C.绝对收敛D.敛散性无法确定

20.若正项级数之a”收敛，且Hm/=、，则必有（）

n=lnTooan

A.X=0B.入C.X=1D.A>1

二、填空题（每小题2分，共20分）

1.设f（x）=lnx,则f[f（x）]的定义域.

2

lim(xsin-+-sin-)=--------

x-»0XXJ

3.设y=sinx,贝！Jy(50)=.

4.设f(x)=lnx,贝!j--dx=.

5.1+V3xdx=.

6.设向量与各坐标轴之间的夹角为a,B,丫，且已知a=型，0=三,则丫=.

43

t元

7.曲线x=t-sint,y=l-cost,z=4sin—在t=—处的切线方程为.

22

8.曲线积分晨Pdx+Qdy,当函数P,Q满足条件时积分与路径无关.

X2

9.函数f（x）=T5的马克劳林展开式为.

10.微分方程y"-12y'+36y=0的通解为.

三、计算题（每小题5分，共30分）

00023高等数学（工本）第8页共6页

1.设f（x）=ln（l+2x）,试确定系数a和b的值，使f（x）在x=l处连续且可导.

ax+b,x>1

x34-y3+(x+l)cos九y+9=0,求曳』

2

dx

3求fcos(lnx)dx

22

4计算：乩小?+y?-xy]do,其中D：x+y^l

5求微分方程y〃+y'-2y=e.x的通解

讨论级数之㈠尸

6的收敛性

n=l

四、应用与证明题（每小题5分，共10分）

1.要用铁皮制造一个容积为V的无盖长方体形水箱，问应如何设计尺寸，方使材料最省.

2.设y=f（x）对一切x满足xf"（x）+3x[f'（x）]U-e",且f（x）在x=xo#O处有极值,试论证：f（x（））

是极大值还是极小值.

浙江省2002年1月高等教育自学考试

高等数学（工本）试题参考答案

课程代码：00023

一、单项选择题（每小题2分，共40分）

1.C2.B3.C4.A5.D

6.B7.B8.B9.B10.A

11.B12.B13.C14.A15.D

16.B17.A18.D19.C20.B

二、填空题（每小题2分，共20分）

1.X>1

3.-sinx

4.x+c

,冗-2兀

6.一或一

33

X<-1)y_1_z_2V2

■1

sdPdQ

dydx

9,n包=G8Vx<+8)

白2nn!

6x

l().y=(C|+c2x)e

三、计算题(每小题5分，共30分)

Uimf(x)=ln3,]imf(x)=a+b，由f(x)的连续性知

X->1-XT1+

a+b=ln3

00023高等数学（工本）第9页共6页

“、[.f(x)-f(l)[.In(l+2x)-ln32

f(D=lim=hm----j--------=7

x->rA1x->rA1°

vf(x)-f(l)].ax+b-(a-b)

F+(D=Iimori—=lim——i-------=a

Xfl+A_1X->1+A-1

2

由f(x)的可导性知a=—

,,7

从而b=ln3--

3

2.当x=・l时y=-2

方程两边对x求导

3x2+3y2—+cosny-n(x+l)sinny=0

dx

代入x=-l,y=-2得分^=--

dx3

3.利用分部积分法

Scos(lnx)dx=xcos(lnx)+fsin(lnx)dx

=xcos(lnx)+xsin(lnx)-fcos(lnx)dx

■x

移项得fcos(lnx)dx=—(cos(lnx)+sin(lnx))+c

2

22,3

4.原式=/'"d0f[Jdr-/,odf()rsin。cos。dr

27c11.2A2兀2兀

=-------------sin=—

342103

或利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性有

原式二JL也2+y2d0-0

=/2"od。/[Fdru—

3

5.对应齐次方程的通解为彘Gex+cz/x

设方程的一个特解为y*=Ae"

代入方程可得A=-1

2

x2xx

故方程的通解为y=cie+c2e--1e-

6.由p级数的收敛性知该级数

当pWO时级数发散

当0<pW；时级数条件收敛

当p>g时级数绝对收敛

四、应用及证明题(每小题5分，共10分)

1.设水箱的长为x,宽为y,高为z,则其表面积

S=xy+2z(x+y)(x>0,y>0,z>0)

且x、y、z满足V=xyz

消去z,有S=xy+2V(-+-)(x>(),y>0)

xy

00023高等数学(工本)第10页共6页

Iexxz

jas2V八

3yy2

解得

x=y=N2V

判别得当x=y=V2V,z=1V2V时用料最省

2.由于f(x)在x0处取极值,故f'(x())=0

从而有f"(Xo)=UN

X。

又当x>0时，l-e-x>0

当xvO时，l-ex<0

故有^―-—>0(xWO)

x

从而知f(Xo)是极小值

浙江省2002年4月高等教育自学考试

高等数学(工、本)试题

课程代码：00023

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题干的括号内。

每小题2分，共40分)

1.lim包单(m为常数)等于()

x-0x2

A.0B.1C.m2D.

X2-3X+2C

2.设f(x)=丁工-'X”为连续函数，则a等于()

a,x=2

A.0B.1C.2D.任意值

3.f(x)=ln(l+x2),g(x)=x2,当x-0时，()

A.f(x)是g(x)的高阶无穷小

B.f(x)是g(x)的低阶无穷小

C.f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小

D.f(x)与g(x)是等价无穷小

4.设f(x)在x=x°可导，且f'(x0)=2,则等于()

hfOh

A.lB.2C.--D.-2

22

5.下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是()

A.f(x)=-,x6(0,1)B.f(x)=(x-4)2,xE(-2,4)

X

00023高等数学(工本)第11页共6页

C.f(x)=sinx,xe)D.f(x)=lxl,xe(-1,1)

22

6.设f(x)=jintdt,则f([、(]))等于()

A.-1B.1C.-coslD.1-cosl

7.定积分「喀Sdx等于()

J-K1+X

A.0B.-1C.1D.2

8.设x=x()为y=f(x)的驻点，贝ij()

A.(xo,f(x。))为曲线y=f(x)的拐点B.f(xo)=O

z

C.f(x)在x=x0点取极值D.f(xo)=O

9.f(x)x)dx

设为可导函数，则且「(为()

dxJ

A.f(x)B.f(x)+cC.ff(x)D.f'(x)+c

10.设曲线y2=4-x与y轴所围部分的面积为()

A.[(4-y2)dyB.[(4-y2)dyC.「「4-xdx

J-2JoJo

11.若z=f(x,y)在点(x(),yo)处可微，则下列结论错误的是()

A.f(x,y)正点(xo,y())处连续B.fx(x,y),fy(x,y)在点(x(),yo)处连续

C.fx(x(),yo),fy(xo,yo)存在D.曲面z=f(x,y)在点(xo,yo,f(x(),yo))处有切平面

+y2

12.设f(x,y)=<x+y'-则fy(O,O)等于()

0,(x,y)=(0,0)

A.不存在B.0C.1D.2

13.曲线x=t,y=—,z=t2在对应t=l处点的切线是()

x-1y-2z-1x-1_y-2_z-1

----==B.

1----2------1

x-1_y-2_z-1x-1y+1z-2

----=-----=-----

~~r~i121

14.交换二次积分j)dy[；f(x,y)dx的积分次序，它等于()

A.£dx，f(x,y)dyB.£dx[7(x,y)dy

C.工dxjf(x,y)dyD.[dxj；f(x,y)dy

则曲线积分上历ds的值等于(

15.曲线L为从原点到点(1,1)的直线段,)

A.e^-lB.e亚C.e-1D.e

16.在点(xo,yo)处下列陈述正确的是()

A.偏导数存在=连续B.可微=偏导数存在

C.可微=连续D.可微=偏导数连续

17.当Ixlv4时，级数'+二:+」：+—+二一+…的和函数是()

42-423-43n-4n

xx

A.-/n(4-x)B.-41n(4-x)C.-/n(l——)D./n(l+—)

44

00023高等数学(工本)第12页共6页

18.下列级数中条件收敛的级数是()

n-1

A.£(T)B.Z(T)n

n=lnn=lJ2n2+1

8n—]ocn-1

C.X(T)(Vn+1-Vn)D.Z(T)ln"2

n=ln=l

19.记Sn=£uj,则limSn=s存在是级数£un收敛的()

i=inT8口川

A.充要条件B,充分条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件

20.微电方程y"+y'-2y=x的一个特解y*应具章形式()

A.y*=B()xB.y+=B()x+B|

C.y=x(Box+Bi)D.y=Box

二、填空题(每小题2分，共20分)

1.若函数f(x)=l'，x<°在x=0处连续，贝Ija=_____

[2+x,x>0

2.设f(x)可导，且f(0)=0,则x=0是4>(x)=3的第类间断点。

X

3.函数y=x-lnx的单调增加区间是=

.f1x2

4.---7dx=_______o

J。1+X2

5.设z=f(sinx)•sin1f(y)),其中f(x)可微，则座+£=____________。

dxdy

6,与云=3i-2j+4k^b=i+j-2k均垂直的单位向量己=。

7.点(1,-1)是函数f(x,y)=2(x-y)-x?-y2的(极大值，极小值)_____点。

8.设L是从点A(l,2)沿曲线/=4x到点B(l,-2)的弧段，则曲线积分［yds=

基级数£与

9.的收敛半径为R=.

n=ln~

1().方程xy"+y'=()的通解为一

三、计算题(每小题4分，共24分)

1.求lim(---)o

XTOsinxx

2.设z=(l+x2siny)y,求：—»

dx8y

3.已知函数f(x)=「(泡-区)出在x=2处有极值，求常数k的值，并讨论是极大值还是极小值。

Jit2t6

4,区域D由曲线x=12y-y2,y=-x,y=x+2所围成,求：jjydxdyo

D

5.计算曲线积分(my-ydx,其中1为从点A(a,O)到点B(O,b)的直线段。

6.求曲线y=y(x)的表达式，使其满足：

(l)y"-4y'+3y=0;

(2)在点(0,2)与直线x-y+2=0相切。

四、应用及证明题(每小题8分，共16分)

1.要设计一扇由半圆与矩形拼成的拱形窗户

00023高等数学(工本)

（如图）问当周边长给定为1米时，如何设计尺寸，

使窗户的采光面积最大。

2.由圆柱面x?+y2=2ax围成的空间区域被球面x?+y2+z2=4a2所截，计算截下部分的体积。

浙江省2002年4月高等教育自学考试

高等数学（工、本）试题参考答案

课程代码：00023

一、单项选择题（每小题2分，共40分）

1.C2.B3.D4.B5.C

6.D7.A8.D