内蒙古包头市九原区2024届九年级下学期中考四模数学试卷(含答案)

2024年内蒙古包头市九原区中考数学四模试卷一、选择题。1．（3分）下列各式中，计算结果为m8的是（）A．m2•m4 B．m4+m4 C．m16÷m2 D．（m2）42．（3分）下列方程中方程的解为x＝2的是（）A．2x＝6 B．﹣x＝1 C．2+x＝0 D．2x﹣1＝33．（3分）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）A． B． C． D．4．（3分）对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝﹣，若2⊕（2x﹣1）＝1，则x的值为（）A． B． C． D．﹣5．（3分）某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）已知一次函数y＝kx﹣k经过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（）A．函数值y随x增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与x轴交于点（1，0） D．当x＝a时，y＝2a+27．（3分）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．6 B．9 C．18 D．368．（3分）已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则的值等于（）A． B． C． D．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB＝，BD＝5，则AH的长为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F；下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③AC平分∠DAE，其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③二、填空题。11．（3分）某班35名同学一周课外阅读时间统计如表所示：时间/小时78910人数412136则该班35名同学一周课外阅读时间的众数是小时．12．（3分）化简：（a﹣2）•＝．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为.14．（3分）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．15．（3分）若是方程2x+y＝5的一个解，则代数式a2+b+50的最小值为．16．（3分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝．三、解答题。17．（8分）（1）计算：．（2）解不等式组．并把解集在数轴上表示出来．18．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小凡从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小刚在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．（1）利用树状图或列表法求出由x，y确定的点（x，y）在函数y＝的图象上的概率；（2）小凡和小刚约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy≥6则小凡胜，若x，y满足xy＜6则小刚胜，这个游戏公平吗？公平请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为24.6米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）20．（11分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）21．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且DE是⊙O的切线．（1）求证：∠DEC＝∠BAC；（2）若AC∥DE，且AD＝，CE＝1时，判断△ABC的形状，并说明理由．（请用两种方法解答）22．（12分）在矩形ABCD中，AD＝AB，E为AD上一点，将△AEB沿BE折叠，得到△FEB．（1）如图1，若点F恰好在BC边上，点G在CD上，且DG＝DE，连接EG．求证：EG＝CG．（2）如图2，若点F在矩形ABCD内部，延长EF交BC边于点P，延长BF交CD边于点H，连接DF，且AB＝6，FH＝CH，求证：DF∥EB．23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点．（1）当m＜0，且y1＝y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；（2）当m＞0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题。1．（3分）下列各式中，计算结果为m8的是（）A．m2•m4 B．m4+m4 C．m16÷m2 D．（m2）4答案：D．2．（3分）下列方程中方程的解为x＝2的是（）A．2x＝6 B．﹣x＝1 C．2+x＝0 D．2x﹣1＝3答案：D．3．（3分）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）A． B． C． D．答案：A．4．（3分）对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝﹣，若2⊕（2x﹣1）＝1，则x的值为（）A． B． C． D．﹣答案：A．5．（3分）某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（）A． B． C． D．答案：A．6．（3分）已知一次函数y＝kx﹣k经过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（）A．函数值y随x增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与x轴交于点（1，0） D．当x＝a时，y＝2a+2答案：C．7．（3分）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．6 B．9 C．18 D．36答案：D．8．（3分）已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则的值等于（）A． B． C． D．答案：A．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB＝，BD＝5，则AH的长为（）A． B． C． D．答案：B．10．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F；下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③AC平分∠DAE，其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③答案：A．二、填空题。11．（3分）某班35名同学一周课外阅读时间统计如表所示：时间/小时78910人数412136则该班35名同学一周课外阅读时间的众数是9小时．答案：9．12．（3分）化简：（a﹣2）•＝a+2．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为4﹣π.答案：4﹣π．14．（3分）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4．答案：x＜﹣1或x＞4．15．（3分）若是方程2x+y＝5的一个解，则代数式a2+b+50的最小值为36．答案：36．16．（3分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝．答案：．三、解答题。17．（8分）（1）计算：．（2）解不等式组．并把解集在数轴上表示出来．解：（1）＝＝＝；（2），解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤1，不等式组的解集为﹣2＜x≤1，这个不等式组的解集在数轴上表示为：18．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小凡从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小刚在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．（1）利用树状图或列表法求出由x，y确定的点（x，y）在函数y＝的图象上的概率；（2）小凡和小刚约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy≥6则小凡胜，若x，y满足xy＜6则小刚胜，这个游戏公平吗？公平请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．解析：（1）树状图如图所示，由x，y确定的点（x，y）有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）其中在y＝的图象上有（1，3）（3，1）所以P＝（2）∵使得xy≥6的有（2，3）（2，4）（3，2）（3，4）（4，2）（4，3）∴P（小凡胜）＝又∵使得xy＜6的有，∵使得xy≥6的有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（3，1）（4，1）P（小刚胜）＝∴P（小凡胜）＝P（小刚胜）所以公平所以游戏是公平的．19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为24.6米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）解析：过点E，F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M，N，∴∠EMB＝∠EMA＝∠ANF＝∠BNF＝90°，∵EC和FD分别垂直地面于点C和D，∴∠ECB＝∠FDB＝90°，∵无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，∴∠ABD＝90°，∴四边形ECBM和四边形NBDF均为矩形，∵点B为CD的中点，∴CB＝DB＝EM＝FN，由题意得，EC＝24.6，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，AB＝60，∴AM＝AB﹣MB＝60﹣24.6＝35.4，∵tan∠AEM＝，∴，∴，∴AN＝tan40°×15≈12.6，∴FD＝NB＝AB﹣AN＝47.4．答：2号楼的高度约为47.4米．20．（11分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）解析：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，则解得：∴z＝﹣x+19，∴z关于x的函数解析式为z＝（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；②当12＜x≤20时，w＝（﹣x+19﹣10）（5x+40）＝﹣x2+35x+360＝﹣（x﹣14）2+605，因为﹣＜0，∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．21．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且DE是⊙O的切线．（1）求证：∠DEC＝∠BAC；（2）若AC∥DE，且AD＝，CE＝1时，判断△ABC的形状，并说明理由．（请用两种方法解答）解析：（1）证明：连接BD，则∠BDC＝∠BAC，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝∠ECD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥BD，∴∠BDC+∠CDE＝∠BDE＝90°，∴∠BDC＝∠DEC，∴∠DEC＝∠BAC．（2）解：△ABC是等边三角形，证明方法一：∵AC∥DE，∴∠DEC＝∠ACB，由（1）得∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴CB＝AB，＝，∴BD垂直平分AC，∴＝，∴CD＝AD＝，∵∠ECD＝90°，CE＝1，∴tan∠DEC＝＝，∴∠DEC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．证明方法二：设AC交BD于点F，∵AC∥DE，∴∠BFC＝∠BDE＝90°，∵BD是⊙O的直径，且BD⊥AC，∴＝，＝，∴CB＝AB，CD＝AD＝，∵∠ECD＝90°，CE＝1，∴tan∠DEC＝＝，∴∠ACB＝∠DEC＝60°，∴△ABC是等边三角形．22．（12分）在矩形ABCD中，AD＝AB，E为AD上一点，将△AEB沿BE折叠，得到△FEB．（1）如图1，若点F恰好在BC边上，点G在CD上，且DG＝DE，连接EG．求证：EG＝CG．（2）如图2，若点F在矩形ABCD内部，延长EF交BC边于点P，延长BF交CD边于点H，连接DF，且AB＝6，FH＝CH，求证：DF∥EB．解析：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，由折叠可得：∠ABE＝∠ABC＝45°，∠AEB＝∠BEF＝45°，设AB＝AE＝a，则DG＝DE＝AD﹣AE＝a﹣a＝（﹣1）a，在Rt△DEG中，EG＝DE＝（2﹣）a，∵CG＝CD﹣DG＝a﹣（﹣1）a＝（2﹣）a，∴EG＝CG；（2）连接AF，如图：根据折叠的性质得∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBP，∴∠FEB＝∠EBP，∴BP＝EP，设FH＝HC＝x，在Rt△BCH中，BC2+CH2＝BH2，∴（6）2+x2＝（6+x）2，解得x＝3，∴HC＝3＝FH，∴DH＝DC﹣HC＝6﹣3＝3，BH＝BF+FH＝9，∵∠BFP＝∠BCH＝90°，∠HBC＝∠PBF，∴△BFP∽△BCH，∴＝＝，即＝＝，∴BP＝，FP＝，∴EP＝BP＝，∴EF＝EP﹣FP＝﹣＝3，∴AE＝EF＝3，∴DE＝AD﹣AE＝6﹣3＝3，∴AE＝EF＝DE＝3，∴∠EAF＝∠EFA，∠EFD＝∠EDF，∴∠EAF+∠EDF＝∠EFA+∠EFD＝90°，∴AF⊥DF．由折叠可知AF⊥BE，∴DF∥BE．23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点．（1）当m＜0，且y1＝y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；（2）当m＞0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）证明：当y＝