2024届河北省承德市高三上学期12月期中数学试题及答案

2023—2024学年度上学期高三年级自我提升中期测试数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(4zizz，则的虚部为（1.已知复数满足）4444iiA.B.C.D.252525ABCDABCD,O的中点，则下列说法错误的是12.已知正方体为下底面ABCD的中心，P为棱1111（）BC1AB1BC与直线所成角为901A.直线与直线所成角为B.直线所成角为C.直线C平面D.直线BC1与底面ABCD3.在中，AC2DC,CB2BE,CAa,CBb，则（）321313131abD.abababA.B.C.2222222b4.当x1时，函数A.1f(x)ax取得最大值2，则f(2)（）x11B.C.D.1225.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，圆锥的高分别为h甲和h，侧面积分乙甲h甲S甲S乙2，则（别为和，若）乙h乙104A.2B.5C.10D.π6πfxsinx0)6.将函数y个单位长度后得到曲线C，若C关于轴对的图像向左平移2称，则的最小值是（）1613523A.B.C.D.，则（D.3是公差为）adSnn等差数列，是其前项和，且11999S20237.设A.d的n0a0SC.0SnS2012B.8.已知函数1axx(a0)，若函数yffxxa恰有两个零点，则的取值范围为fx2第1页/共6页（）1eln21eln2C.D.2,2A.B.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）m,n是两条不重合的直线，,9.已知是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）∥,m，则m,n,m∥,n∥，则A若C.若,,B.若D.若m,∥,n，则mπn，则m∥nπ2fx10.已知函数xsinx，则下列判断正确的是（）2π的图象关于直线对称fxxA.B.6π6的图象关于点fx,0对称2πC.在区间fx,0上单调递增3π2πx,时，fxD.当33ππ2211.已知函数的定义域为,fxfxsinxfxx，且.若fxx，其导函数为，则（f0）0是增函数B.D.是减函数fxfxA.C.有最大值fx没有极值fx1满足，1nN*，则（）a1n1aa2n12.已知数列nn3单调递减an2n1A.数列B.D.n5C.an4an110032三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）5，log273b13.已知3a，则9a3b_____________．第2页/共6页14.河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证．一名身高1.7m的同学假期到河北省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）向塔行走了17m后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为_____________m231.732，结果保留整数）15.已知函数的定义域为R，fxyfxe是偶函数，fxxfx是奇函数，则的最小值xy为_____________．-ABC中，11BABC,ABAA1BC43，若P为空间一动点，且16.如图，在直三棱柱1PB113AACC，则满足条件的所有点P围成的几何体的体积为_____________；若动点P在侧面内11PB113运动，且，则线段BP长的最小值为_____________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列的前nnN*b项和为，数列是等比数列，na3b1，，11aSnnbS10aba3，.2252(1)求数列和的通项公式；abnn2,c{Sn的前项和为c，设数列nn，求2n(2)若.nnn,18.如图，在四棱锥P中，底面ABCD是正方形，O,E,FBD,,BC分别是的中点．第3页/共6页（1）证明：OE//（2）若平面平面；PHF,D,E经过点，且与棱PB交于点H．请作图画出H在棱PB上的位置，并求出的值．Ab19.在中，内角、B、C的对边分别为、、，已知2sinAac2b20．ac2πAa2（1）若（2）求，，求的面积；62Csin2A2的最小值，并求出此时B的大小．2Bfxx1axa0．20已知函数（1）讨论的单调性；fx（2）当a1时，设x,x为两个不相等的正数，且满足fxfx，证明：xxe．12121221.如图，在四棱锥SABCD中，平面SBD平面ABCD，底面ABCD是正方形，且E、F分别是SB、上靠近的三等分点．S（1）求证：ACSB；（2）在SC上是否存在一点，使平面M//平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．x222.已知函数fx1x.2第4页/共6页xfxx与的大小；（1）当时，比较ax2fb21gafegb1ab0（2）若函数gxx，且2，证明：.2第5页/共6页2023—2024学年度上学期高三年级自我提升中期测试数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(4zizz，则的虚部为（1.已知复数满足）4444iiA.B.C.D.252525【答案】A【解析】【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.i4444i34(4zizi，【详解】因为，所以25254z所以的虚部为.25故选：A.ABCDABCD,O的中点，则下列说法错误的是12.已知正方体为下底面ABCD的中心，P为棱1111（）BCAB所成角为BC与直线所成角为90A.直线与直线B.直线D.直线111C.直线C平面BC与底面ABCD所成角为1【答案】C【解析】【分析】在正方体中，利用空间线、面的平行或垂直的判定与性质，结合正方体中已知的位置关系逐一对选项判断即可，注意题目要求的是错误的选项.【详解】第1页/共23页对于选项A：因为BC//AD，直线BC1与直线AB1所成角即为直线AD1AB与直线所成角，因为1111AD1AB所成角为，A正确；1是正三角形，故直线与直线对于选项B：因为OP//BD，又BCBCDC1B，面DCBC，故，而111111111DCBCC,DC,BC1DBC1DBCBDBC，故与直线1平面，故面，所以直线111111111111所成角为90，正确；对于选项C：同选项A结合正方体的性质可知直线BBC1与AC不垂直，故C不正确；对于选项D：由1D正确.平面可知直线BC1与底面CBCB，故所成角为，＝ABCDABCD故选：C.3.在中，AC2DC,CB2BE,CAa,CBb，则（）13213ab13ab13abD.abA.B.C.2222222【答案】A【解析】132【分析】先结合图形表示出CECB，CDCA；再根据向量的减法运算即可解答.2【详解】因为AC2DC,CB2BE,CAa,CBb，132CB，CDCA所以CE.23123212CECDCBCAba所以.2故选：Abxf(x)axf(2)（4.当x1时，函数取得最大值2，则）11A.1B.C.D.122【答案】B第2页/共23页【解析】f)=-2，f1fx，再根据即可解出．0a,b【分析】根据题意可知即可解得axb【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，2fxf)=-2f10fxx22所以bab0，即ab2，所以fx，因此函数在上递增，在fxxx2112上递减，x1时取最大值，满足题意，即有．f212故选：B5.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，圆锥的高分别为h甲和h，侧面积分乙甲h甲S甲S乙2，则（别为和，若）乙h乙104A.2B.5C.10D.【答案】D【解析】【分析】设出母线长、圆心角及底面半径后计算即可得.【详解】设甲、乙两个圆锥的母线长都为l，底面半径分别为r1r，2、侧面展开图的圆心角分别为、，则2π，1ll22甲乙212，故2，则24π2π即有，，33l221lr1l，即，2π3l122lr2l，同理，即2π3第3页/共23页222ll22lhll22r22358104甲1故.h乙r12l3故选：D.π6πfxsinx0)6.将函数y个单位长度后得到曲线C，若C关于轴对的图像向左平移2称，则的最小值是（）161352A.B.C.D.33【答案】C【解析】【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.πππ6【详解】的图像向左平移个单位长度后为fxysinx，22πππy关于轴对称，即有0πkZ，由C262223解得，又，故的最小值为.2kkZ03故选：C.是公差为的等差数列，是其前项和，且，则（）adSnn11999S20237.设A.dn0a0S0SnS2012B.C.D.【答案】C【解析】S1999S2023可得a2011a20120a01a0，依次对选项判断即可.【分析】由，结合知S1999S2023【详解】因为，S1999aaaa1231999则，S2023aaaa20002023，1231999a202324aa20002001200220230，2000两式相减可得：2a20002023201120120，即第4页/共23页a01a0，所以，故A，B错误；d0又因为，所以20124022a40224022aS4022120110，故C正确；22因为，所以，所以a0SS2011SnS，故D错误.n故选：C.8.已知函数1axx(a0)yffxx，若函数恰有两个零点，则的取值范围为fx2a（）1eln21eln2D.2,2A.B.C.【答案】A【解析】【分析】根据题意可得函数F(x)f(f(xx有两个解，即x2af(x)21ax，问题可以转化为f(x)xxa2恰有两个解，构造g(x)，对g(x)求导，分析单调性，值域，进而可得结论．xx【详解】因为函数F(x)f(f(xx2af(x)f(x)x2af(x)2ax，F(x)0F(x)af(x)axa0，又，因此，即2af(x)2ax，即f(x)x所以函数恰有两个零点，即有两个解，x即ax2x恰有两个解，即a2恰有两个解，xxx1xg(x)g(x)记函数，则，x2xe，解得，0xeg(x)0，令g(x)0令，解得g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，所以1故极大值也是最大值为geg(x)，=ee作出的大致图象如下：第5页/共23页x1a21所以a2故选：A恰有两个解，则，故a)，xeeln2x即a2象，利用数形结合的思想即可得到答案.恰有两个解，再设新函数研究右边的极值和图x二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）m,n是两条不重合的直线，,9.已知是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）∥,m，则m,n,m∥,n∥，则m,∥,nA.若B.若D.若C.若,,，则mn，则m∥n【答案】AD【解析】【分析】利用空间线、面平行或垂直的判定与性质，对每个选项逐一判断，正确的加以证明，不正确的举出反例.交平面于l，如下图，因为，所以m//l，而mm，所以【详解】对于选项A：过m作平面l，而l，故，选项A正确；第6页/共23页对于选项B：举反例如下图，设l，当时，m,n,m∥,n∥，符合题目m//n//l条件，但不成立，故选项B不正确；对于选项C：举反例如上图，,,，但此时m//n，选项C不正确；m,∥,n对于选项D：若故选：AD，由线面平行的性质定理可得m∥n，D正确；π2π210.已知函数fxxsinx，则下列判断正确的是（）π的图象关于直线对称fxxA.B.6π6的图象关于点fx,0对称2π3C.在区间fx,0上单调递增π2π33x,fxD.当时，【答案】BC【解析】π6ππfx2sinx【分析】ABxx和66πππ26ππ5πx,x,fx2.，得到C选项，求出，从而得到C正确；D选项，求出6666π2π2π【详解】A选项，fxxsinx3sinxx2sinx，6ππ6ππ66πxf2sin3fxx的图象不关于直线当时，，故对称，A错误；66ππ666πππ,0xf2sin0fx，故的图象关于点B选项，当时，对称，B正确；66第7页/共23页2πx,0πππ26ππysinzz,在x,C选项，时，，因为上单调递增，36262π3故在区间fx,0上单调递增，C正确；π2πx,ππ5π666π6x,fx2sinx2，D错误.D选项，时，，故33故选：BCππ2211.已知函数的定义域为,fxfxsinxfxx，且.若fxx，其导函数为，则（f0）0是增函数B.D.是减函数fxfxA.C.有最大值没有极值fxfx【答案】AD【解析】gxfxcosxg(x)0f(x)的正负得f(x)的单调性，从而判断各选项．【详解】因为fxcosxfxsinxxsinx，所以，设fxxxfxsinxππ，因为，则，所以gxxsinx0恒成立，所以gxfxcosxgxxsinxx,22ππ,π2ygxf00，所以g0f0cos00x,0，所以当在上单调递增，又因为22π2gxxgxsinxgx时，gx0xgx0时，，fx，当，当x2xπ2恒成立；当πx,0gxgx，，x0，sinx0，故¢00f(x)>0x时，时，2ππfx上恒成，，x0，sinx0，故¢恒成立所以在,gx0gx0f(x)>00.22ππ22yfx在,立，故上单调递增.第8页/共23页故选：AD.1满足，1nN*，则（）a1n1aa2n12.已知数列nn3单调递减an2n1A.数列B.D.n5C.an4an110032【答案】ABD【解析】a0nan0，即可得到；对B：作差构造不等式计算即可得；，则有n1【分析】对A：通过计算得到a2a找出反例即可得；对D：通过递推公式变形，再构造放缩可得.3对C：通过计算、12a11aa2na0,1，则2an1【详解】对A选项：由，，n33依次类推可得当n2时，有an0,1，1单调递减，即正确；aAnan1aa2n0故，故数列n31an1aa2n对B选项：由，n3222a34382n1aaa2n则由n，nn33a11n2an0,1，当时，，22233432343故2n1na030，n88a2a即，故B正确；nn11142756aaa22，则a2243，2，对C选项：32327即24a，故C错误；313111an1aa2n对D选项：由，故，nn1a3an3n3nn11113即，n1n3n11131113111，Ln2，故有，，nn1an1an2213第9页/共23页11111233n2n1nn2，，an累加有，即，故n13n33110034a，即有100a3，故1002341111111n3n33n1，n2又a3n1n21111n3时，1，故当nn13n1111，L111111，，n1n23n132331112111又，21321111111，n3，n1累加有n13323n11111110011321110013349639即即故，10033236152a，故100a，10040521003，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用递推关系合理构造及放缩法的巧妙运用.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）5，log273b，则9a3b_____________．13.已知3a259【答案】【解析】53log35aablog3【分析】由指对互化得出，根据对数运算得出，则可代入9a3b中计算得出答案.5a，3【详解】由3a5可知53ab53log353log3533则，333333第10页/共23页253253535259log32log3则9a3b9333，3259故答案为：.14.河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证．一名身高1.7m的同学假期到河北省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）向塔行走了17m后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为_____________m231.732，结果保留整数）【答案】42【解析】【分析】作出图形，求出角度，利用正弦定理结合的正弦值，求出答案.AB17CAD45,CBD60ACB15【详解】如图，，因为，所以，111111111BCB1ABC1在中，由正弦定理得，11sinCBsinCA1D11ABsinCAD17sin所以CB11111，sinACBsin1511321262其中sin15sin60sin604560sin，22224第11页/共23页2217634217sinsin153422173，故CB16262626241733174.732CD140.2，又CDCB1sin60，且31.732，所以212又该同学身高1.7m40.21.741.9m42m.，所以塔高约为故答案为：42.15.已知函数的定义域为R，为_____________．【答案】22yfxe是偶函数，fxxfx是奇函数，则的最小值fxxy【解析】【分析】由题意可得x2ex，再结合基本不等式即可得答案.fxexexfxex，yfxexf【详解】解：因为函数为偶函数，则即eexx，①fxfxyfxf为奇函数，则xx3exfxx，又因为函数即x3ex，②fxfx联立①②可得x2ex，fxe由基本不等式可得fxex2ex2e2exx22，12ex时，即当x2时，等号成立，当且仅当ex2故函数的最小值为22．fx故答案为：22-ABC中，11BABC,ABAA1BC43，若P为空间一动点，且16.如图，在直三棱柱1PB113AACC，则满足条件的所有点P围成的几何体的体积为_____________；若动点P在侧面内11PB113运动，且，则线段BP长的最小值为_____________．第12页/共23页5213π【答案】【解析】①.②.2131可求解空2.PB113B【详解】由可得点P的轨迹为以为圆心，以13为半径的球面，145213π3所以围成的球的体积为π13，33过B作，ABBC443BE23由BABC,ABAA1BC43，则由等面积法可得2,AC4243-ABCAA1ABC,ABC,AABE故,1由于在直三棱柱中，平面平面111AAAC,A,ACAACCAACC由于平面，故BE平面，111111AACCBEEP由于平面，故,11所以BPEB2EP212EP2,BAACCAACC的距离相等，均为23，由于到平面的距离和点B到平面11111PB113BAACC为半径的球与侧面的截面圆，该截面圆11又，所以点P的轨迹为以为圆心，以13121,圆心为F,且满足//，1的半径为r13BE2因此点EP的最小距离为4r3，BP12EP212921，故第13页/共23页5213π故答案为：，213四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列的前nnN*b项和为，数列是等比数列，na3b1，，11aSnnbS10aba3，.2252(1)求数列和的通项公式；abnn2,c{Sn的前项和为cnn，求2n(2)若，设数列.nnn,122n11a2n1b2n1【答案】（1），2）.nn32n1【解析】1）设等差数列的公差为，等比数列bn的公比为q根据题意列出表达式，and,2）根据第一问得到前n项和，1cnn1,为奇数数列2,分组求和即可.n2n1,为偶数解析：(1)设等差数列的公差为，等比数列bn的公比为q，andq33d10a3b1bSaba∵∴，，，，∴，112252334d2q32dd2q2，a2n1n，b2n1.，∴n1cnn21,为奇数n32n1(2)由(1)知，Snnn2，∴，n22n1,为偶数第14页/共23页111335112n1121...22n1T1...212325∴.2n2n12n132n118.如图，在四棱锥P中，底面ABCD是正方形，O,E,F分别是BD,,BC的中点．（1）证明：OE//（2）若平面平面；PHF,D,E经过点，且与棱PB交于点H．请作图画出H在棱PB上的位置，并求出的值．【答案】（1）证明见解析PH2（2）图见解析，【解析】1）根据中位线可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证，（2）根据平行线可得共面，即可根据相似求解.【小问1详解】连接AC，则O为AC的中点，因为E为的中点，所以OE∥PC．又平面PBC,PCÌ平面，所以OE//平面【小问2详解】．如图，过P作直线l与BC平行，则l∥AD，故l,AD共面．延长与l交于点G，连接，与PB的交点即为点H．ABCDFBC是的中点，因为底面是正方形，∥AD2FB，所以，且因为E是的中点，所以PGAD，第15页/共23页PH则PG2FB，所以2．A19.在中，内角、B、Cac的对边分别为、b、，已知2sinAac2b20．2πAa2（1）若（2）求，，求的面积；62Csin2A2的最小值，并求出此时B的大小．2B【答案】19.32Csin2A22πB的最小值是5，此时20.2B3【解析】1）结合余弦定理与面积公式即可得；（2）结合三角恒等变换与三角形内角和，将原式中多变量换成单变量，再结合基本不等式即可得.【小问1详解】a2c2b2由题意得sinA0，2aca2c2b2因为cosB，2ac所以sinAcosB0，故cosBsinA，π12AB又，所以．6因为B、C是的内角，所以B为钝角，2ππB，所以C所以所以，36ac2是等腰三角形，则，1213所以△sinB223．22第16页/共23页【小问2详解】由（1）可知，在cosBsinA03π中，，，πBA即B为钝角，则，2ABCπ，CπAB2B因为所以22Csin2A222Bsin2B2，2B2B22Bsin2B2设fB，2B2412B31sin2B2则fBsin2B4Bsin2B992B19，2BsinB2由sinB，299故fB16sin2B2195，192Bsin2Bsin2B93当且仅当2B，即sinB，sin2B22πB结合B为钝角，即当时等号成立，32Csin2A22πB所以的最小值是5，此时．2B3fxx1axa0．20.已知函数（1）讨论的单调性；fx（2）当a1时，设x,x为两个不相等的正数，且满足fxfx，证明：xxe．121212【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】1）利用导数的正负判断函数单调性，求出ax1a0的根，当fx时，fxa0fxf(x)>0x0单调减；当a0时，单调增；分别求出与f的解即可；第17页/共23页xfxfex，x0,1（2）构造函数，利用导数研究x单调性进一步得到x0,1,x0，故xfxfex0fxfx得到12，由111，再由在上单调递减得证．fxfexfx21【小问1详解】，fxx1ax,x所以fxax1a，令1a．fx0，得xeaaaa0当时，x(0,efx0；x(e,fx0；aaaa所以在上单调递增，在fx(0,ea)(ea,上单调递减．)aa当0时，x(0,efx0；x(e,fx0；aaaa所以在上单调递减，在fx(0,ea)(ea,上单调递增．)【小问2详解】当a1时，由（1）知在fx上单调递增，在上单调递减，当时，fxx0f1fexf(x)0．xx011x．2不妨设，则12xfxfex,x，令则xxex，hxxex,x0,1令，则hxe2x0，所以在上单调递增．hx因为h0h1e11，x0,1，使得h01，所以存在0xx,hxxx,1,hx10且，0xx,xxx,1,x0，所以00第18页/共23页x所以在0上单调递增，在0上单调递减，x1f1fe10，x0时,当x0,1,x0所以对任意，xfxfex0，所以111fxfx因为，所以fx2fex10，12fxfex，所以21x1,ex1fx在上单调递减，因为所以，且21xexxxe得证．12，所以2121.如图，在四棱锥SABCD中，平面SBD平面ABCD，底面ABCD是正方形，且E、F分别是SB、上靠近的三等分点．S（1）求证：ACSB；（2）在明理由．【答案】（1）证明见解析SC上是否存在一点，使平面M//平面？若存在，求出的值；若不存在，请说32（2）＝，理由