2024届青海省西宁市大通县高考四模数学试卷（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3青海省西宁市大通县2024届高考四模数学试卷（理）第I卷一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，则.故选：B.2.复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因为，则.故选：C.3.已知椭圆的离心率为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由椭圆，可得，，则，所以，解得.故选：B.4.某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日这6天员工的出勤率的折线图如图所示，则下列判断正确的是（）A.这6天员工的出勤率呈递增趋势B.这6天员工的出勤率呈递减趋势C.这6天员工的出勤率的极差大于0.15D.这6天员工的出勤率的中位数小于0.85〖答案〗D〖解析〗A：由图可知，这6天员工的出勤率有增也有减，故A错误；B：由图可知，这6天员工的出勤率有增也有减，故B错误；C：这6天员工的出勤率按照从小到大的顺序排列为0.776，0.8077，0.8333，0.86，0.895，0.92，所以这6天员工的出勤率的极差为，故C错误；D：中位数为，故D正确.故选：D5.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设，则，所以为奇函数，设，可知为偶函数，所以为奇函数，则B，C错误，易知，所以A正确，D错误．故选：A.6.记等差数列的前项和为.若，，则（）A.140 B.70 C.160 D.80〖答案〗D〖解析〗因为是等差数列，所以，故.故选：D.7.在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则，则，故，因为轴平面，则可取平面的法向量为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选：B.8.展开式中系数为有理数的项共有（）A.2项 B.3项 C.4项 D.5项〖答案〗D〖解析〗展开式的通项公式为（），所以展开式中的第1项、第3项、第5项、第7项、第9项的系数均为有理数，共5项.故选：D9.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，解得或（舍去），所以．故选：B.10.设，是双曲线：的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为.当时，则，即，，即，所以.当时，，即，，即，所以.综上，双曲线的离心率的平方为.故选：C.11.在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则四棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，，其中为定值，则点A到的距离为，，，要使得四棱锥的体积最大，则，此时四棱锥的体积，则，在上单调递减，且当时，.令，，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，即四棱锥体积的最大值为.故选：C12.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故.令，则.当时，，单调递减，则，即.故.故选：A.第II卷二、填空题13.已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是_________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以.因为，所以，所以，则.故〖答案〗为：14.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为______，______.〖答案〗〖解析〗由题意知，，则的最小正周期，.故〖答案〗为：；15.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则______.〖答案〗〖解析〗设函数的最小正周期为，则.因为是定义在上的偶函数，所以，所以.故〖答案〗为：16.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为______.〖答案〗〖解析〗设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.又，，所以，，则，所以，所以是首项和公差均为的等差数列，所以，所以，所以.故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题17.在中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为边的中点，求的长.解：（1）因为，根据正弦定理，得，化简得，因为，所以，因，所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，解得．因为为的中线，所以，所以，因为，所以，解得.18.现统计了甲次投篮训练的投篮次数和乙次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：甲乙已知甲次投篮次数的平均数，乙次投篮次数的平均数.（1）求这次投篮次数的平均数与方差.（2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了三次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望.解：（1）这次投篮次数的平均数；甲次投篮次数的方差，乙次投篮次数的方差，这次投篮次数的方差.（2）所有可能的取值为，；；；的分布列为：的期望.19.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，M为侧棱PD上的点，平面.（1）证明：.（2）若，求二面角的大小.（3）在（2）的前提下，在侧棱PC上是否存在一点N，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：记，连接OP，由四边形是正方形，得О是AC的中点，由，得，又，平面，，则平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知，，由，得，即两两垂直，以О为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，设，则，，由平面，得是平面的一个法向量，显然是平面的一个法向量，设二面角为θ，由图知θ为锐角，则，解得，所以二面角的大小为.（3）解：假设在侧棱PC上存在一点N，使得平面，且（），由（2）知，，，则，，平面的一个法向量是，由平面，得，即，则，解得，即，则，所以在侧棱PC上存在一点N，使得平面，此时.20.已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于，（，异于点）两点，且以为直径的圆过点.（1）求的方程；（2）已知，，是上的三点，若为正三角形，为的中心，求直线斜率的最大值.解：（1）设，，，联立方程得，则，.因为以为直径的圆过点，所以，则，即，解得，所以，解得，所以的方程为.（2）设，，.不妨设，，按逆时针顺序排列.①当有一边斜率不存在时，另一顶点为，不妨设，则，.与抛物线的方程联立得，，中心.②当三边的斜率都存在时，，.又，所以，化简可得，同理可得，，三式相加得.因为，，是上的三点，所以，又，所以.设，则，，代入上式得.又①也满足，所以的轨迹方程为.当，直线的斜率为，当且仅当时，直线的斜率取得最大值.当时，直线的斜率.综上，直线斜率的最大值为.21.已知函数（1）当时，求的零点；（2）若恰有两个极值点，求的取值范围.解：（1）当时，等价于.令，则，所以上单调递增.因为，所以有且仅有一个零点.（2）由，得.令，则.若，则在上恒成立，故在上单调递增，最多只有一个零点，则最多只有一个极值点，不符合题意；若，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则.令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，从而.显然，当时，，则，.令，则，设，则，由，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，故单调递增.当时，，即，则.因为，所以，.当时，，当时，，则的单调递增区间为和，单调递减区间为，则恰有两个极值点.故当恰有两个极值点时，的取值范围为.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知直线：（为参数），曲线：.（1）求的普通方程和曲线的参数方程；（2）将直线向下平移个单位长度得到直线，是曲线上的一个动点，若点到直线的距离的最小值为，求的值.解：（1）由直线：（为参数），消去参数，可得的普通方程为.由曲线：，可得曲线的参数方程为（为参数）；（2）的方程为，即.设点的坐标为，则点到直线的距离.因为，所以当时，d取得最小值，即，解得.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，，当时，化为，解得，则；当时，化为，解得，则；当时，可化为，解得，则，所以不等式的解集为.（2）当时，化为，即，整理得，则，依题意，当时，不等式恒成立，而，因此，所以实数的取值范围为.青海省西宁市大通县2024届高考四模数学试卷（理）第I卷一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，则.故选：B.2.复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因为，则.故选：C.3.已知椭圆的离心率为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由椭圆，可得，，则，所以，解得.故选：B.4.某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日这6天员工的出勤率的折线图如图所示，则下列判断正确的是（）A.这6天员工的出勤率呈递增趋势B.这6天员工的出勤率呈递减趋势C.这6天员工的出勤率的极差大于0.15D.这6天员工的出勤率的中位数小于0.85〖答案〗D〖解析〗A：由图可知，这6天员工的出勤率有增也有减，故A错误；B：由图可知，这6天员工的出勤率有增也有减，故B错误；C：这6天员工的出勤率按照从小到大的顺序排列为0.776，0.8077，0.8333，0.86，0.895，0.92，所以这6天员工的出勤率的极差为，故C错误；D：中位数为，故D正确.故选：D5.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设，则，所以为奇函数，设，可知为偶函数，所以为奇函数，则B，C错误，易知，所以A正确，D错误．故选：A.6.记等差数列的前项和为.若，，则（）A.140 B.70 C.160 D.80〖答案〗D〖解析〗因为是等差数列，所以，故.故选：D.7.在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则，则，故，因为轴平面，则可取平面的法向量为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选：B.8.展开式中系数为有理数的项共有（）A.2项 B.3项 C.4项 D.5项〖答案〗D〖解析〗展开式的通项公式为（），所以展开式中的第1项、第3项、第5项、第7项、第9项的系数均为有理数，共5项.故选：D9.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，解得或（舍去），所以．故选：B.10.设，是双曲线：的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为.当时，则，即，，即，所以.当时，，即，，即，所以.综上，双曲线的离心率的平方为.故选：C.11.在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则四棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，，其中为定值，则点A到的距离为，，，要使得四棱锥的体积最大，则，此时四棱锥的体积，则，在上单调递减，且当时，.令，，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，即四棱锥体积的最大值为.故选：C12.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故.令，则.当时，，单调递减，则，即.故.故选：A.第II卷二、填空题13.已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是_________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以.因为，所以，所以，则.故〖答案〗为：14.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为______，______.〖答案〗〖解析〗由题意知，，则的最小正周期，.故〖答案〗为：；15.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则______.〖答案〗〖解析〗设函数的最小正周期为，则.因为是定义在上的偶函数，所以，所以.故〖答案〗为：16.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为______.〖答案〗〖解析〗设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.又，，所以，，则，所以，所以是首项和公差均为的等差数列，所以，所以，所以.故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题17.在中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为边的中点，求的长.解：（1）因为，根据正弦定理，得，化简得，因为，所以，因，所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，解得．因为为的中线，所以，所以，因为，所以，解得.18.现统计了甲次投篮训练的投篮次数和乙次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：甲乙已知甲次投篮次数的平均数，乙次投篮次数的平均数.（1）求这次投篮次数的平均数与方差.（2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了三次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望.解：（1）这次投篮次数的平均数；甲次投篮次数的方差，乙次投篮次数的方差，这次投篮次数的方差.（2）所有可能的取值为，；；；的分布列为：的期望.19.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，M为侧棱PD上的点，平面.（1）证明：.（2）若，求二面角的大小.（3）在（2）的前提下，在侧棱PC上是否存在一点N，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：记，连接OP，由四边形是正方形，得О是AC的中点，由，得，又，平面，，则平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知，，由，得，即两两垂直，以О为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，设，则，，由平面，得是平面的一个法向量，显然是平面的一个法向量，设二面角为θ，由图知θ为锐角，则，解得，所以二面角的大小为.（3）解：假设在侧棱PC上存在一点N，使得平面，且（），由（2）知，，，则，，平面的一个法向量是，由平面，得，即，则，解得，即，则，所以在侧棱PC上存在一点N，使得平面，此时.20.已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于，（，异于点）两点，且以为直径的圆过点.（1）求的方程；（2）已知，，是上的三点，若为正三角形，为的中心，求直线斜率的最大值.解：（1）设，，，联立方程得，则，.因为以为直径的圆过点，所以，则，即，解得，所以，解得，所以的方程为.（2）设，，.不妨设，，按逆时针顺序排列.①当有一边斜率不存在时，另一顶点为，不妨设，则，.与抛物线的方程联立得，，中心.②当三边的斜率都存在时，，.又，所以，化简可得，同理可得，，三式相加得.因为，，是上的三点，所以，又，所以.设，则，，代入上