2023-2024学年辽宁省本溪市县级重点高中协作体高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列中，，则（）A.8 B.11 C.18 D.19〖答案〗D〖解析〗由，得.故选：D2.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以时，此木块在水平方向的瞬时速度为.故选：A3.已知数列满足，则（）A.2 B. C.5 D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，所以数列是以2为周期的周期数列，故.故选：D4.定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A，，，无法判断单调性，故A错误；对于B，，，无法判断单调性，故B错误；对于C，恒成立，则义在上是增函数，故C正确；对于D，，，无法判断单调性，故D错误.故选：C.5.已知函数的部分图象如图所示，为的导函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由导数的意义可知，和分别表示图像上点切线的斜率，所以由图像可知，，而表示过点直线的斜率，由图像可知，，故选：D.6.已知等差数列的前项和为，则（）A.14 B.26 C.28 D.32〖答案〗B〖解析〗设等差数列的公差为，则，则，所以.故选：B.7.若过点可以作曲线的两条切线，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗在曲线上任取一点，，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知，点在直线上，可得，令函数，则.当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.设，所以，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，所以，所以，当时，，所以，当时，，所以，的图象如图：由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.故选：B8.已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗设等比数列的公比为，由，得，则，即，因，所以，解得，所以，所以，当为奇数时，，所以，当为偶数时，，所以，所以.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗BD〖解析〗因为，所以错误；因为，所以正确；因为，所以错误；因为，所以D正确.故选：BD10.已知，函数的大致图象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A，当时，，，为定义在上的奇函数，图象关于原点对称；当时，，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，由对称性知：在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒成立，又，A正确；对于B，当时，，，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；当时，，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，由对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，又，B正确；对于C，当时，，，，的定义域为，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；当时，，，在上单调递减，且当时，恒成立；由对称性知：在上单调递增，且当时，恒成立，C正确；对于D，由图象可知：，即在处有意义，则；又图象关于轴对称，为偶函数，，此时图象应为B中图象，D错误.故选：ABC.11.已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（）A.B.C.恒成立D.若，关于不等式恰有两个解，则的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗当时，，即，所以.当时，，所以，即.因为，所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故A正确；由，得，则，所以数列为常数列，所以，即，故B错误；故.当时，，令，可得，令，可得，所以，则当或时，取得最大值，故C正确；，因为关于的不等式恰有两个解，所以的取值范围为，故D正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.12.若函数的导函数为，则__________.〖答案〗〖解析〗由题意得，令，得，则，所以.故〖答案〗为：.13.已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗设等比数列的公比为，由题意知且，则，解得，则，所以.易知当时，，当时，，故的最小值为.故〖答案〗为：14.以表示数集中最小的数，表示数集中最大的数，则__________，__________.〖答案〗①②〖解析〗构造函数，则.，当时，，则在上单调递减，而，故，所以.又，，所以，故.故〖答案〗为：；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.（1）求的表达式；（2）若自变量从变到，求的平均变化率；（3）若，求在处的瞬时变化率.解：（1）因为四边形的周长为12，所以，所以，因为，所以，所以.（2）若自变量从变到，则的平均变化率为.（3）由，得.，则，所以在处的瞬时变化率为-30.16.已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项.（1）证明：.（2）已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求.解：（1）设数列的公差为，因为是和的等差中项，是和的等差中项，所以，，所以，解得，得证.（2）因为，所以..为奇数，为偶数，故数列和没有相同的项.因为，，所以的前100项中，含有7个，所以.17已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有个零点，求的取值范围.解：（1），当时，恒成立，所以在上单调递增.当时，令，解得或，所以在和上单调递增，上单调递减.当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减.（2）当时，，令，解得或，不符合题意，故，由（1）可知，又有3个零点，所以，.由，所以，因，所以，可得或或，即的取值范围为.18.已知数列满足.（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.解：（1）由题可知，当时，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，当为偶数时，，当为奇数时，，故.（2）由（1）可得，所以，记，①则，②①②得，所以，则，所以当为偶数时，，当为奇数时，.故.19.已知函数（1）若求曲线在点处的切线方程．（2）若证明：在上单调递增．（3）当时，恒成立，求的取值范围．解：（1）因为所以则又所以曲线在点处的切线方程为即（2）因为所以则令则当时，单调递增，故当时，单调递增，当时，单调递减，故．从而在上恒成立，则在上单调递增.（3）在上恒成立等价于在上恒成立．若则，则显然恒成立．若则在上恒成立，令由（1）可知在上恒成立，故由得则即．令则当时，单调递减，当时，单调递增，则则．综上所述，的取值范围为辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列中，，则（）A.8 B.11 C.18 D.19〖答案〗D〖解析〗由，得.故选：D2.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以时，此木块在水平方向的瞬时速度为.故选：A3.已知数列满足，则（）A.2 B. C.5 D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，所以数列是以2为周期的周期数列，故.故选：D4.定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A，，，无法判断单调性，故A错误；对于B，，，无法判断单调性，故B错误；对于C，恒成立，则义在上是增函数，故C正确；对于D，，，无法判断单调性，故D错误.故选：C.5.已知函数的部分图象如图所示，为的导函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由导数的意义可知，和分别表示图像上点切线的斜率，所以由图像可知，，而表示过点直线的斜率，由图像可知，，故选：D.6.已知等差数列的前项和为，则（）A.14 B.26 C.28 D.32〖答案〗B〖解析〗设等差数列的公差为，则，则，所以.故选：B.7.若过点可以作曲线的两条切线，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗在曲线上任取一点，，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知，点在直线上，可得，令函数，则.当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.设，所以，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，所以，所以，当时，，所以，当时，，所以，的图象如图：由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.故选：B8.已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗设等比数列的公比为，由，得，则，即，因，所以，解得，所以，所以，当为奇数时，，所以，当为偶数时，，所以，所以.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗BD〖解析〗因为，所以错误；因为，所以正确；因为，所以错误；因为，所以D正确.故选：BD10.已知，函数的大致图象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A，当时，，，为定义在上的奇函数，图象关于原点对称；当时，，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，由对称性知：在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒成立，又，A正确；对于B，当时，，，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；当时，，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，由对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，又，B正确；对于C，当时，，，，的定义域为，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；当时，，，在上单调递减，且当时，恒成立；由对称性知：在上单调递增，且当时，恒成立，C正确；对于D，由图象可知：，即在处有意义，则；又图象关于轴对称，为偶函数，，此时图象应为B中图象，D错误.故选：ABC.11.已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（）A.B.C.恒成立D.若，关于不等式恰有两个解，则的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗当时，，即，所以.当时，，所以，即.因为，所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故A正确；由，得，则，所以数列为常数列，所以，即，故B错误；故.当时，，令，可得，令，可得，所以，则当或时，取得最大值，故C正确；，因为关于的不等式恰有两个解，所以的取值范围为，故D正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.12.若函数的导函数为，则__________.〖答案〗〖解析〗由题意得，令，得，则，所以.故〖答案〗为：.13.已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗设等比数列的公比为，由题意知且，则，解得，则，所以.易知当时，，当时，，故的最小值为.故〖答案〗为：14.以表示数集中最小的数，表示数集中最大的数，则__________，__________.〖答案〗①②〖解析〗构造函数，则.，当时，，则在上单调递减，而，故，所以.又，，所以，故.故〖答案〗为：；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.（1）求的表达式；（2）若自变量从变到，求的平均变化率；（3）若，求在处的瞬时变化率.解：（1）因为四边形的周长为12，所以，所以，因为，所以，所以.（2）若自变量从变到，则的平均变化率为.（3）由，得.，则，所以在处的瞬时变化率为-30.16.已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项.（1）证明：.（2）已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求.解：（1）设数列的公差为，因为是和的等差中项，是和的等差中项，所以，，所以，解得，得证.（2）因为，所以..为奇数，为偶数，故数列和没有相同的项.因为，，所以的前100项中，含有7个，所以.17已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有个零点，求的取值范围.解：（1），当时，恒成立，所以在上单调递增.当时，令，解得或，所以在和上单调递增，上单调递减.当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减.（2）当时，，令，解得或，不符合题意，故，由（1）可知，又有3个零点，所以，.由，所以，因，所以，可得或或，即的取值范围为.18.已知数列满足.（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.解：（1）由题可知，当时，，所以数列是以