2022-2023学年湖南省株洲市炎陵县高一下学期6月期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2湖南省株洲市炎陵县2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，而，所以.故选：A.2.向量满足，且向量夹角为，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.3.如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，，，设异面直线与所成的角为，，则，所以.故选：C.4.在空间中给出下列命题：（1）垂直于同一直线的两直线平行．（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行．（3）平行于同一直线的两直线平行．（4）垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的命题个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗（1）中，在空间中，垂直于同一直线的两直线，可能平行、相交或异面，所以不正确；（2）中，两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；（3）中，平行于同一直线的两直线平行，所以是正确的；（4）中，根据直线与平面垂直的性质，可得垂直于同一平面的两直线平行，所以是正确．故选：B.5.若是纯虚数，则（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因为是纯虚数，所以，得.故选：B.6.已知与共线，且向量与向量垂直，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，解得，又因为，所以，解得，所以.故选：B．7.已知函数，则（）A. B.1 C.-1 D.2〖答案〗C〖解析〗由条件可得，则.故选：C.8.若锐角，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为锐角，所以，所以，又因为，所以，所以.故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.设复数，则下列命题中正确的是（）A. B.C.在复平面上对应的点在第一象限 D.的虚部为〖答案〗ABC〖解析〗，知复数的虚部为1，所以选项D错误；对于选项A，，所以选项A正确；对于选项B，，所以选项B正确；对于选项C，复数对应的点为在第一象限，所以选项C正确.故选：ABC.10.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（）A.B.平面C.与平面所成角是D.与所成的角等于与所成的角〖答案〗ABC〖解析〗对于A选项，因为四边形为正方形，则，因为平面，平面，所以，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，A对；对于B选项，因为四边形为正方形，则，又因为平面，平面，所以，平面，B对；对于C选项，因为平面，所以，与平面所成角是，C对；对于D选项，因为，平面，平面，所以，，所以，为锐角，所以，与所成的角为直角，与所成的角为锐角，故与所成的角不等于与所成的角，D错.故选：ABC.11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面面积为B.该圆台的体积为C.该圆台的表面积为D.沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为〖答案〗ABD〖解析〗对于，由，且，可得，高，则圆台轴截面的面积为，故A正确；对于B，圆台的体积为，故B正确；对于C，圆台的侧面积为，又，，所以，故C错误；对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角，设的中点为，连接，可得，则，又点到的距离，所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确．故选：ABD．12.已知函数则（）A.函数的最小正周期为B.函数的图像关于直线对称C.函数为偶函数D.函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为〖答案〗BD〖解析〗对选项A：因为，所以的最小正周期为，错误；对选项B：当时，，所以是的一条对称轴，正确；对选项C：易知函数的定义域为，又，所以函数不是偶函数，错误；对选项D：函数的图像向左平移个单位后得到，由题意，函数的图像关于轴对称，所以，即，当时，，即函数图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为，D正确.故选：BD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在题中的横线上.）13.已知为角α终边上一点，则=______．〖答案〗〖解析〗为角α终边上一点，，则，，.故〖答案〗为：.14.现有一个底面半径为、高为的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为______（损耗忽略不计）．〖答案〗〖解析〗设球的半径为，则，解得，所以该工件的表面积为.故〖答案〗为：.15.函数的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗，其中，所以的最大值为.故〖答案〗为：.16.已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为__________．〖答案〗〖解析〗如图所示：过作于，连接，因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，在直角三角形中，因为，所以，，在直角三角形中，.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角的大小；（2）若，，求．解：（1）因为，所以，又，所以，因为，所以，因为，或.（2）因为，，当时，，因为，则；当时，，因为，则，综上，当时，；当时，.18.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．求证：（1）平面AEC；（2）平面AEC⊥平面PBD．解：（1）设，连接，如图所示：因为O，E分别为，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）连接，如图所示：因为，为的中点，所以，又因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面．19.如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.（1）求直线与平面所成角正弦值；（2）求点到平面的距离.解：（1）平面，平面，，；是圆的直径，，又，平面，平面，即直线与平面所成角，，，，又，，即直线与平面所成角的正弦值为.（2）过作，垂足为，由（1）得：平面，平面，平面平面，又平面平面，平面，，平面，，，根据等面积法知：，，即到平面的距离等于.20.若函数在一个周期内的图象如图所示.（1）写出函数的〖解析〗式；（2）求函数的单调增区间.将函数的图象向右移动个单位后，得到函数的图象，求函数在上的值域.解：（1）由图可知，则，所以，故，又，则，所以，即，又，所以，所以.（2）令，得，所以的增区间为，，由题意，由，得，则，所以函数在上的值域为.21.如图，在平面四边形中，，，．（1）若，求的面积；（2）若，，求．解：（1）因为，，，由余弦定理得，所以，即，解得，所以．（2）设，在中，由正弦定理得，所以①，在中，，，则，即②，由①②得：，即，∴，整理得，所以．22.已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．（1）若，求函数的“平衡”数对；（2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；（3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．解：（1）根据题意可知，对于任意实数，，即，即对于任意实数恒成立，只有，，故函数的“平衡”数对为.（2）若，则，，要使得为“可平衡”函数，需使对于任意实数均成立，只有，此时，，故存在，所以是“可平衡”函数.（3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有则，，，均为函数的“平衡”数对，，，，函数单调递增，即的取范围为.湖南省株洲市炎陵县2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，而，所以.故选：A.2.向量满足，且向量夹角为，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.3.如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，，，设异面直线与所成的角为，，则，所以.故选：C.4.在空间中给出下列命题：（1）垂直于同一直线的两直线平行．（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行．（3）平行于同一直线的两直线平行．（4）垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的命题个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗（1）中，在空间中，垂直于同一直线的两直线，可能平行、相交或异面，所以不正确；（2）中，两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；（3）中，平行于同一直线的两直线平行，所以是正确的；（4）中，根据直线与平面垂直的性质，可得垂直于同一平面的两直线平行，所以是正确．故选：B.5.若是纯虚数，则（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因为是纯虚数，所以，得.故选：B.6.已知与共线，且向量与向量垂直，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，解得，又因为，所以，解得，所以.故选：B．7.已知函数，则（）A. B.1 C.-1 D.2〖答案〗C〖解析〗由条件可得，则.故选：C.8.若锐角，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为锐角，所以，所以，又因为，所以，所以.故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.设复数，则下列命题中正确的是（）A. B.C.在复平面上对应的点在第一象限 D.的虚部为〖答案〗ABC〖解析〗，知复数的虚部为1，所以选项D错误；对于选项A，，所以选项A正确；对于选项B，，所以选项B正确；对于选项C，复数对应的点为在第一象限，所以选项C正确.故选：ABC.10.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（）A.B.平面C.与平面所成角是D.与所成的角等于与所成的角〖答案〗ABC〖解析〗对于A选项，因为四边形为正方形，则，因为平面，平面，所以，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，A对；对于B选项，因为四边形为正方形，则，又因为平面，平面，所以，平面，B对；对于C选项，因为平面，所以，与平面所成角是，C对；对于D选项，因为，平面，平面，所以，，所以，为锐角，所以，与所成的角为直角，与所成的角为锐角，故与所成的角不等于与所成的角，D错.故选：ABC.11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面面积为B.该圆台的体积为C.该圆台的表面积为D.沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为〖答案〗ABD〖解析〗对于，由，且，可得，高，则圆台轴截面的面积为，故A正确；对于B，圆台的体积为，故B正确；对于C，圆台的侧面积为，又，，所以，故C错误；对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角，设的中点为，连接，可得，则，又点到的距离，所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确．故选：ABD．12.已知函数则（）A.函数的最小正周期为B.函数的图像关于直线对称C.函数为偶函数D.函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为〖答案〗BD〖解析〗对选项A：因为，所以的最小正周期为，错误；对选项B：当时，，所以是的一条对称轴，正确；对选项C：易知函数的定义域为，又，所以函数不是偶函数，错误；对选项D：函数的图像向左平移个单位后得到，由题意，函数的图像关于轴对称，所以，即，当时，，即函数图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为，D正确.故选：BD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在题中的横线上.）13.已知为角α终边上一点，则=______．〖答案〗〖解析〗为角α终边上一点，，则，，.故〖答案〗为：.14.现有一个底面半径为、高为的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为______（损耗忽略不计）．〖答案〗〖解析〗设球的半径为，则，解得，所以该工件的表面积为.故〖答案〗为：.15.函数的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗，其中，所以的最大值为.故〖答案〗为：.16.已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为__________．〖答案〗〖解析〗如图所示：过作于，连接，因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，在直角三角形中，因为，所以，，在直角三角形中，.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角的大小；（2）若，，求．解：（1）因为，所以，又，所以，因为，所以，因为，或.（2）因为，，当时，，因为，则；当时，，因为，则，综上，当时，；当时，.18.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．求证：（1）平面AEC；（2）平面AEC⊥平面PBD．解：（1）设，连接，如图所示：因为O，E分别为，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）连接，如图所示：因为，为的中点，所以，又因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面．19.如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.（1）求直线与平面所成角正弦值；（2）求点到平面的距离.解：（1）平面，平