浙江逝加一联盟2024-2025学年高二数学下学期期中试题含解析

PAGE21-浙江省九加一联盟2024-2025学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选，错选均不得分）1.设集合，，则方程表示焦点位于x轴上的椭圆有()A.6个 B.8个 C.12个 D.16个【答案】A【解析】【分析】依据，对A中元素进行分析即可求解.【详解】因为椭圆焦点在x轴上，所以，当时，；当时，；当时，，一共有6个符合要求的椭圆，故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆焦点的位置，属于简单题.2.设，则是成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】依据指数函数的单调性、对数函数的单调性，可得出结论.【详解】因为为R上的减函数，是上的增函数，所以由可得（），由可得（），故是成立的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，必要不充分条件，属于中档题.3.下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据各函数的性质与单调性逐个推断即可.【详解】函数为奇函数,不满意条件．B.函数的定义域为,函数为偶函数,当时,为减函数,不满意条件．C.为增函数,为非奇非偶函数,不满意条件．D.令，定义域为，，该函数为偶函数，当时，为增函数,满意条件,故选：D．【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型.4.用数学归纳法证明“…”时，由到时，不等试左边应添加的项是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别代入，两式作差可得左边应添加项．【详解】由n=k时，左边为，当n=k+1时，左边为所以增加项为两式作差得：，选C.【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，其次步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0起先的全部的正整数都成立，两步缺一不行．5.现某路口对一周内过往人员进行健康码检查支配7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人须要支配在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的支配方法有()A.1440种 B.1400种 C.1320种 D.1200种【答案】D【解析】【分析】依据题意,分2步进行分析:①将甲、乙按要求支配，②将剩下的5人全排列，支配在剩下的5天，由分步计数原理计算可得答案.【详解】依据题意，分2步进行分析:①要求甲、乙支配在相邻两天，且甲不排在周三，先把周一周二、周二周三、、周六周日看作6个位置，任选一个位置，排上甲乙两人，有种方法，其中甲排在周三去掉，则甲乙的支配方法有种,②将剩下的5人全排列，支配在剩下的5天，有种状况；由分步计数乘法原理知，则有种支配方法.故选：D【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题.6.已知函数，则函数的图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据肯定值的性质，可以化简函数的解析式，用导数探讨函数在时的单调性，运用解除法可以选出正确的答案.【详解】，当x＜0时，．令，由，得，当x∈（﹣∞，）时，，当x∈（，0）时，．所以有极大值为．又，所以的最大值小于0．所以函数在（﹣∞，0）上为减函数，这样可以解除A、B、C，故选D.【点睛】本题考查了函数的图象，应用导数探讨函数的单调性是解题的关键.7.设，随机变量的分布列如下：则当在内增大时（）A.减小，减小 B.增大，增大C.增大，减小 D.减小，增大【答案】B【解析】【分析】分别计算和表达式，再推断单调性.【详解】,当在内增大时,增大，当在内增大时,增大故答案选B【点睛】本题考查了和计算，函数的单调性，属于综合题型.8.已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设曲线与在公共点处的切线相同，得出方程组，即可求解，得到答案.【详解】依题意，设曲线与在公共点处的切线相同.因为，则，所以，即，∵，解得，.故选D.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中娴熟导数的运算公式，以及利用导数的几何意义列出相应的方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.9.已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，.分别交y轴于P，Q两点，若的周长为12，则取得最大值时，该双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据轴且过左焦点可得，由题意知的周长为周长的2倍，可得，化简得，转化，利用导数确定取最值时，即可求解.【详解】因为，所以把代入双曲线方程可得：，故，因为，，周长为12，所以的周长为24，即，所以，化简得：，，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，时函数有唯一极大值也是最大值，此时，，所以，故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义、离心率等,还涉及利用导数求详细函数的最值问题，考查学生的逻辑推理实力和运算实力，属中档题.10.下列函数使方程的实根个数最多的为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据，写出详细方程，转化为推断对应的方程有解无解，有解时根的个数问题.【详解】对于A，由可得，即，解得共有2个实数根；对于B，由可得，因为，所以，所以方程无实根；对于C，由可得，在区间上，所以成立，明显时也成立，结合奇函数的性质知，方程只有一解；对于D，由，可解的，所以原方程等价于或，解得，故方程有4个根.故选：D【点睛】本题主要考查了推断方程的根的个数问题，涉及函数与方程思想，分类探讨，属于难题.二、填空题（本大题共7题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.若全集，，，______；______.【答案】(1).(2).或【解析】【分析】依据集合的交集、补集运算，即可求解.【详解】，，，，或，故答案为：；或【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于简单题.12.已知随机变量X，Y满意，，则______；______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用公式，干脆计算即可.【详解】因为，所以，，又，,,故答案为：；【点睛】本题主要考查了二项分布及期望、方差的运算，考查了推理运算实力，属于中档题.13.用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数.（1）可以组成______个不同的偶数；（2）若要求相邻两个数字奇偶性不同，则可以组成______个.（用数字作答）.【答案】(1).312(2).60【解析】【分析】(1)依据尾数为0或尾数2或4分别求解即可；(2)分首位为偶数和奇数分别求解即可.【详解】用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数，（1）末位为0时有：个；末位为2或4时有：个，故共有个偶数.（2）若首位为偶数，则首位不为0，有，若首位为奇数，则有：个；故共有：个.故答案为：312；60【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，分类探讨的思想，计数原理，属于中档题.14.设，则_______.【答案】5【解析】分析：先求出值，再赋值，即可求得所求式子的值.详解：由题易知：令，可得∴＝5故答案为5点睛：本题考查了二项式定理的有关学问，关键是依据目标的结构合理赋值，属于中档题.15.已知定义在R上的奇函数满意，当时，则使得成立的x的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】构造函数设函数，利用导数得到在是减函数，再依据为奇函数，（1），画稀奇函数图象的大致形态，数形结合即可解得的解集．【详解】设函数，当时，，当时，，，函数在上单调递减，又为定义在上的奇函数，为奇函数，可得在上单调递减．再由，得（1）．作出函数图象的大致形态如图，由图可知，当，，时，，则．又为定义在上的奇函数，．综上，使得成立的的取值范围是，．故答案为：，．【点睛】本题主要考查利用导数探讨函数的单调性，正确构造函数是关键，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.已知椭圆，为y轴上一动点.若存在以点P为圆心圆P与椭圆C有四个不同的公共点，则m的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】设圆P的方程，联立椭圆方程，可得关于y的二次方程，利用判别式为0,以及圆P经过点(0,-2)，可得圆与椭圆有3个交点时，同理可得圆过且与椭圆有3个交点时，，数形结合可求出的取值范围.【详解】由题意，设圆P的方程为，联立椭圆可得：，由可得：①，由圆P过点，可得：②，由①②可得，同理，由圆P过点时可得，如图，结合图形可知，当时，以P为圆心的圆与椭圆C有四个不同的公共点，故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算实力、推理实力，属于中档题.17.若函数不存在零点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】函数不存在零点，转化为方程无实根，等价于无解，求出的取值范围，即可求解.【详解】函数要有意义，则需，解得，所以，又，所以，函数定义域为，因函数不存在零点，所以方程无实根，平方可得：无实根，，，因为方程无实根，所以或，解得或，故答案为：【点睛】本题主要考查了函数零点，方程的根的判定，转化思想，属于难题.三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.一个袋子里装有7个球，其中有红球4个.白球3个.这些球除颜色外全相同.（1）若一次从袋中取出3个球，取出的球颜色不完全相同的概率；（2）若一次从袋中取出3个球.其中若取到红球得0分，取到白球得1分，记随机变量为取出的三个小球得分之和，求的分布列，并求其数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）依据组合学问可知一次从袋中取出3个球的基本领件总数为，分类可知取出的球颜色不完全相同的取法总数，利用古典概型求解即可；（2）的可能取值为0,1,2,3，利用古典概型分别计算其概率，列出分布列，求期望即可.【详解】（1）一次从袋中取出3个球的基本领件总数为种.设“取出的球颜色不完全相同”为事务A，共有两大类，两红一白：，两白一红：，.（2）3个红球得0分：；2红1白得1分：；1红2白得2分：；3个白球得3分：；0123.【点睛】本题主要考查了组合的应用，古典概型，随机变量的分布列，期望，属于中档题.19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为PB的中点.（1）证明：平面平面PBC；（2）求直线PD与平面AEC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）可先证明，，从而平面PBC，由此能证明平面平面PBC；（2）推导出,以C为原点，在平面ABCD中过C作CD的垂线为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法直线PD与平面AEC所成角的正弦值【详解】（1）证明：由平面ABCD，故.又，，，所以.故，又，所以平面PBC，又平面所以平面平面PBC.（2）平面ABCD，故.又，.如图建立坐标系，，，，，，.∴，，.设平面ACE的一个法量为，由，得，取，则故，设直线PD与平面AEC所成角为，则.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等，属于中档题.20.已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值.（1）求实数a的取值范围；（2）若方程好有两个不同的根求的解析式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求函数导数，由题意知，且处取得极大值，即可求出的范围；（2）依据（1）可求出函数在时的微小值，只需当时，方程恰好有两个不同的根，即可求解.【详解】（1），，，，∴，由或，因为当时取得极大值，所以所以的取值范围是.（2）由表：100递增极大值递减微小值递增依题意得：，解得：，所以函数的解析式是：.【点睛】本题主要考查了利用导数探讨函数的单调性和极值问题，考查学生的分析实力和运算实力，属于中档题.21.如图，过点作直线l交抛物线C：于A，B两点（点A在P，B之间），设点A，B的纵坐标分别为，，过点A作x轴的垂线交直线于点D.（1）求证：；（2）求的面积S的最大值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设直线的方程为，联立方程组，运用韦达定理，化简即可得到证明；（2）由，求得的范围，点A在P、B之间，可得，求得D的坐标，运用三角形的面积公式和导数，得出函数的单调性和最值，即可求解面积的最大值．【详解】（1）由题意，设直线的方程为，联立方程组，可得，所以，则所以．（2）由（1）可得，解得，因为点在P，B之间，所以，所以，由已知可设点，由点D在直线：上可得，所以的面积，因为，所以，因为，可得时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当，即时，