第二章一元二次函数方程和不等式检测卷高一上学期数学人教A版

第二章一元二次函数、方程和不等式检测卷20232024学年高中数学人教A版必修第一册注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式的解是（

）A．或 B．或C． D．2．已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．3．已知是正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C．12 D．4．若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．设，则代数式的取值范围是（

）A． B．C． D．6．对于任意的，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（

）A． B．C． D．7．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．8．若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（

）A．，方程有无限组整数解B．，方程有且只有两组整数解C．，方程至少有一组整数解D．，方程至多有有限组整数解二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题为真命题的是（

）.A．若，则 B．若，则C．如果，那么 D．若，则10．已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为11．已知关于x的不等式的解集为，则（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知,，则“,”是“”的条件，“”是“”的条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）13．经观测，某公路段在某时段内的车流量y（单位:千辆/时）与汽车的平均速度v（单位:千米/时）之间有如下关系.在该时段内，当汽车的平均速度为千米/时时车流量最大，最大车流量为千辆/时（精确到0.01）.14．如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是.四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．，求证：．16．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为t，，，求的最小值．17．设函数(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；(2)解关于的不等式：．18．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.19．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.例如，，求证：．证明：原式．阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究.例如，正实数满足，求的最小值．解：由，得，，当且仅当，即时，等号成立．的最小值为．波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.结合阅读材料解答下列问题：(1)已知，求的值；(2)若正实数满足，求的最小值．第二章一元二次函数、方程和不等式检测卷20232024学年高中数学人教A版必修第一册学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．不等式的解是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得方程的解，结合不等式的解法，即可求解.【详解】由方程，即，解得或，不等式，可得，解得，即不等式的解集为.故选：D.2．已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由基本不等式以及作差法即可求解.【详解】由题意，则，即，由基本不等式得，又，即，所以.故选：D.3．已知是正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C．12 D．【答案】B【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】，当且仅当，时等号成立.故选：B4．若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用不等式性质求目标式范围.【详解】由题设，则，又，所以.故选：C5．设，则代数式的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，可得出，利用分式不等式的解法求出的取值范围，即为所求.【详解】令，可得，可得，所以，，即，解得，即代数式的取值范围是.故选：C.6．对于任意的，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据运算法则得到恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案.【详解】由已知得对任意实数恒成立，所以，解得.故选：C.7．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得和为方程的两根且，利用韦达定理得到，，代入不等式，解不等式即可.【详解】因为不等式的解集为，所以和为方程的两根且，，解得，则不等式可化为，因为，所以，解得，所以不等式的解集为：.故选：A8．若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（

）A．，方程有无限组整数解B．，方程有且只有两组整数解C．，方程至少有一组整数解D．，方程至多有有限组整数解【答案】C【分析】由，结合整数的分解形式转化为求解方程组的整数解的情况即可.【详解】选项A，当时，由得，解得，，都是方程的整数解，故，方程有无限组整数解.A项判断正确；选项B，当时，由，由，则，，又，由与，仅有这种整数分解的方法，所以（舍），或；解得或，故方程有且仅有两组整数解，即，方程有且只有两组整数解，故B项判断正确；选项C，当时，由，，，，仅有这种整数分解的方法，又，所以（舍），或（舍），或①，或②；方程组①消得，，，无整数解；方程组②消得，，此方程无解；故当时，方程无整数解，所以选项C判断不正确；选项D，若关于x，y的方程不存在整数解，则满足至多有有限组整数解；若关于x，y的方程存在整数解．由，则，，整数至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为，由，得，消得，，，对于的每一个确定取值，此关于的二次方程最多有个整数解，即方程组至多有组整数解；故，方程至多有组整数解，故D项判断正确.故选：C.二、多选题9．下列命题为真命题的是（

）.A．若，则 B．若，则C．如果，那么 D．若，则【答案】BCD【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立.【详解】对于A，令，，则，故A错误.对于B，因为，所以，故B正确.对于C，由于，同乘以，得，又，所以，故C正确.对于D，若，则，所以，所以，故D正确.故选：BCD.10．已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ABD【分析】利用基本不等式一一判断即可.【详解】对于A：，，，，当且仅当，即，时，等号成立，即的最大值为，故A正确，对于B：，，，，由A可知，，，当且仅当，时，等号成立，即的最小值为，故B正确，对于C：，，，，当且仅当，即，时，等号成立，显然不成立，所以的最大值取不到，故C错误，对于D，，，，，当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为，故D正确，故选：ABD．11．已知关于x的不等式的解集为，则（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为【答案】BC【分析】根据不等式的解集求得的关系式，然后对选项进行分析，结合一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】因为关于x的不等式的解集为，所以，是方程的两根，所以，即，，A错误；不等式可化为，故不等式的解集为，B正确；，C正确；因为，所以，即，且，所以的解集为，D错误．故选：BC三、填空题12．已知,，则“,”是“”的条件，“”是“”的条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要必要不充分【分析】由不等式的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解.【详解】由可得，由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件；由可得，由，得或，所以“”是“”的必要不充分条件.故答案为：充分不必要；必要不充分13．经观测，某公路段在某时段内的车流量y（单位:千辆/时）与汽车的平均速度v（单位:千米/时）之间有如下关系.在该时段内，当汽车的平均速度为千米/时时车流量最大，最大车流量为千辆/时（精确到0.01）.【答案】4011.08【分析】变形后由基本不等式求出答案.【详解】因为，，当且仅当，即时，等号成立，即当汽车的平均速度为40千米/时时车流量最大，最大车流量为千辆/时.故答案为：40，11.0814．如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是.【答案】【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.【详解】不等式的解集为，其中常数，所以是方程的实数根，时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值是故答案为：四、解答题15．，求证：．【答案】证明见解析【分析】作差，分与两种情况讨论，得到，同理得到，，累加即可证明结果.【详解】因为，当时，，又，所以，当时，，又，所以．综合上两式，，同理可得，，累加得，，取等号时，故不等式得证．16．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为t，，，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）原不等式等价于，然后两边平方即可求得解集（2）利用绝对值三角不等式得，然后利用换元法结合基本不等式求最值即可【详解】（1）由，即，即，即，解得，所以不等式的解集为．（2）因为，当且仅当时“=”成立，所以，所以．令，，则，，，，所以，当且仅当，即时“=”成立，所以的最小值为．17．设函数(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；(2)解关于的不等式：．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解.（2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.当时，不等式可化为，不满足题意.当，有，即，解得所以的取值范围是．（2）依题意，等价于，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.当时，不等式化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为；③当时，，不等式的解集为；综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.18．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.【答案】(1)；(2)当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．【分析】（1）根据利润等于售价减成本可求利润的表达式；（2）根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可.【详解】（1）（1）由题意可得，，所以，即.（2）当时，；当时，，对称轴，；当时，由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立，故，综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利