北师大版八年级数学下册举一反三系列7.2期中期末专项复习之一元一次不等式和一元一次不等式组十六大必考点同步练习(学生版+解析)

专题7.2一元一次不等式和一元一次不等式组十六大必考点【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1不等式（组）的概念辨析】 1【考点2不等式的基本性质运用】 2【考点3求含参的不等式的解集】 2【考点4解不等式（组）】 3【考点5方程（组）与不等式的综合运用】 3【考点6不等式（组）中的新定义运算】 4【考点7根据不等式的整数解个数求参数取值范围】 4【考点8根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】 5【考点9根据不等式的整数解求参数范围】 5【考点10根据实际问题列不等式（组)】 5【考点11根据两个不等式的解之间的关系求参数】 6【考点12二元一次方程组与不等式组的综合运用】 7【考点13不等式的应用】 7【考点14根据不等式组的解求参数】 8【考点15分式方程的解与不等式的综合】 9【考点16不等式组的应用】 10【考点1不等式（组）的概念辨析】【例1】（2022·浙江·八年级期中）下列不等式中，一元一次不等式有  ①x2+3>2x②1x④x−1πA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）下列四个选项中是一元一次不等式组的是()A．x+y=1x−y>1 B．C．2x+3>xx+2>3y D．【变式1-2】（2022·甘肃·武威第五中学八年级期中）x+1是不小于−1的负数，则可表示为（

）A．−1<x+1<0 B．−1<x+1≤0 C．−1≤x+1≤0 D．−1≤x+1<0【变式1-3】（2022·江苏·泰兴市宣堡初级中学八年级期末）若关于x的不等式(a−2)xa+2−1<5是一元一次不等式，关于x的不等式9ax+3a−4b<0的解集是x＞49，求【考点2不等式的基本性质运用】【例2】（2022·山西吕梁·八年级期末）三个非零实数a,b,c，满足a<b<c，则下列不等式一定正确的是（

）A．a+c<b+c B．a−b>c−b C．bc>c2 【变式2-1】（2022·湖南衡阳·八年级期末）下列不等式的变形正确的是（）A．若a<b，则ac<bc B．若x>y，则xC．若a>b，则ac2>bc2【变式2-2】（2022·浙江温州·八年级期中）若[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-3.14]=-4．已知[a]=3，[b]=-2，[c]=-1，则[a-2b+c]可以取到的值的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2-3】（2022·河南郑州·八年级期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（

）A．D<B<A<C B．B<D<C<A C．C<B<A<D D．B<C<D<A【考点3求含参的不等式的解集】【例3】（2022·江苏·八年级期末）已知关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<107，则关于x的不等式ax>b−a的解集为（A．x<−3 B．x>−5 C．x<−25 【变式3-1】（2022·江苏南京·八年级期末）关于x的不等式ax+b>c的解集为x<3，则关于x的不等式ax−2+b>c的解集为（A．x<3 B．x>3 C．x<5 D．x<1【变式3-2】（2022·广东·深圳市龙岗区智民实验学校八年级期中）若不等式(2a－b)x＋3a－4b＜0的解集是x＞94，则不等式(a－4b)x＋2a－3b【变式3-3】（2022·江西·铅山县教育局教学研究室八年级期末）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜13，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣mA．x＜﹣12 B．x＞12 C．x＞﹣12 D．【考点4解不等式（组）】【例4】（2022·山东威海·八年级期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话：小明：在求解的过程中要改变不等号的方向；小强：求得不等式的最小整数解为x=根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（）A．2x−73≥x+1 C．2x−73>x+1 【变式4-1】（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期中）解不等式（组）并把它的解集在数轴上表示出来.(1)2x−1(2)2x−3【变式4-2】（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）已知题目：解关于x的不等式组5x+2≤3x−55−x<□，其中“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处不可以是（

A．172 B．152 C．8【变式4-3】（2022·全国·八年级课时练习）设x为一切数，[x]表示不大于x的最大整数，[x]又表示数x的整数部分．解方程x−2[x]=7【考点5方程（组）与不等式的综合运用】【例5】（2022·安徽安庆·八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组3x+2y=−a−1x−23y=a+53的解满足A．a≥﹣138 B．a≥﹣134 C．a≤﹣92 【变式5-1】（2022·河南驻马店·八年级期末）如果关于x的方程2x+a3=4x+b5的解是非负数．那么【变式5-2】（2022·广西崇左·八年级期中）已知关于x，y的二元一次方程组3x−2y=9−a2x−y=7的解满足x−y>0，则a【变式5-3】（2022·河南周口·八年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组x−y=a+32x+y=5a的解满足x>y，且关于x的不等式组2x+1<2a2x−1≥6无解，那么所有符合条件的整数【考点6不等式（组）中的新定义运算】【例6】（2022·江苏南通·八年级期中）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[-1.21]＝﹣2．以下结论：①当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值是1；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③a﹣1＜[a]≤a；④x＝﹣73是方程3x﹣2[x]+1＝0的唯一解，其中正确的有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式6-1】（2022·河北保定·八年级期末）定义新运算“△”：对于任意实数a，b都有a△b=ab−a−b+2．（1）若3△x的值不大于3，则x的取值范围是________；（2）若−2m△5的值大于3且小于9，则m【变式6-2】（2022·湖北武汉·八年级期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+by2x+y（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a×0+b×12×0+1=b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m【变式6-3】（2022·吉林·八年级期末）对于x、y定义一种新运算“◎”：x◎y=ax−by，其中a、b为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：2◎(1)求a、b的值；(2)求5◎（－3）的值；(3)不等式m+13【考点7根据不等式的整数解个数求参数取值范围】【例7】（2022·湖北武汉·八年级期末）已知关于x的不等式你ax−a+6>0只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（

）A．a≤−3 B．−6<a≤−3 C．−6≤a<−3 D．a>−6【变式7-2】（2022·重庆十八中八年级期中）关于x的不等式2x+a≤1只有3个正整数解，则a的取值范围为（

）A．−7<a<−5 B．−7<a≤−5 C．−7≤a<−5 D．−7≤a≤−5【变式7-3】（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级开学考试）已知关于x的不等式2x+m≤1只有2个正整数解，则A．-5≤m<-3 B．-5<m≤-3 C．【考点8根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】【例8】（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组x−a<0,2x+3>0的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（

A．2 B．3 C．4 D．5【变式8-1】（2022·湖南衡阳·八年级期末）若关于x的不等式组2x+1<36(x−m)≥3+4x只有3个整数解，则m【变式8-2】（2022·陕西榆林·八年级期末）已知关于x的不等式组x−m>02x−n≤0的整数解是－2，－1，0，1，2，3，4，若m，n为整数，则m+n的值是（

A．3 B．4 C．5或6 D．6或7【变式8-3】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级期中）若关于x的不等式组2x+3≥11x−a<0恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（

A．5＜a＜6 B．5＜a≤6 C．5≤a＜6 D．5≤a≤6【考点9根据不等式的整数解求参数范围】【例9】（2022·福建·晋江市第一中学八年级期中）若不等式5x−k≤0的正整数解是1、2、3，则k的取值范围是__________．【变式9-1】（2022·江苏·如东县实验中学八年级期中）若x=3是关于x的不等式2x−m>4的一个整数解，而x=2不是其整数解，则m的取值范围为______．【变式9-2】（2022·河南·南阳市第三中学八年级期中）若实数3是不等式2x−a−2<0的一个解，则a可取的最小正整数为______【变式9-3】（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）已知有关x的方程x+12=1−x−15的解也是不等式2x-3【考点10根据实际问题列不等式（组)】【例10】（2022·全国·八年级）八年级某班部分学生植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵；若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而小于6棵．若设学生人数为x人，则植树棵树为(8x7)人，则下面给出的不等式(组)中，能准确求出学生人数与种植树木数量的是（

）A．8x769(x1) B．8x739(x1)C．8x+7<6+9(x−1)8x+7>3+9(x−1) D．【变式10-1】（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）一次学校智力竞赛中共有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一道题扣2分，得分为75分以上可以获得奖品，小锋在本次竞赛中获得了奖品．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式(

)A．5x+220−x≥75 C．5x−220−x>75 【变式10-2】（2022·浙江·八年级期中）把一些书分给同学，设每个同学分x本．若____；若分给11个同学，则书有剩余．可列不等式8（x+6）＞11x，则横线的信息可以是（）A．分给8个同学，则剩余6本B．分给6个同学，则剩余8本C．如果分给8个同学，则每人可多分6本D．如果分给6个同学，则每人可多分8本【变式10-3】（2022·全国·八年级期中）某企业次定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：A型B型价格（万无/台）1210月污水处理能力（吨/月）200160经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买A型污水处理设备x台，所列不等式组正确的是()A．{12x+10(8−x)⩽89200x+160(8−x)⩾1380 C．{12x+10(8−x)⩾89200x+160(8−x)⩾1380 【考点11根据两个不等式的解之间的关系求参数】【例11】（2022·福建·泉州市城东中学八年级期中）若不等式x+22<x−x−53的解都能使不等式【变式11-1】（2022·河北沧州·八年级期末）若不等式2x+5<1的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式4x+1<x−m成立，则m的取值范围是______．【变式11-2】（2022·内蒙古·包钢第三中学八年级期中）若关于x的不等式x<a的解集中的任意x，都能使不等式x−12<1成立，则【变式11-3】（2022·湖北武汉·八年级期末）若关于x的不等式组x+2m<03x+m<15的解集中的任意x的值，都能使不等式x−3<0成立，则m【考点12二元一次方程组与不等式组的综合运用】【例12】（2022·新疆乌鲁木齐·八年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=3k+12x+3y=−k+2，且−1<x+y<0，则k【变式12-1】（2022·江西景德镇·八年级期中）方程组x+y=3x−2y=a−2的解满足0≤2x−y<3，求a【变式12-2】（2022·山西临汾·八年级期中）若m是整数,且关于x,y的方程组x+y=2m-【变式12-3】（2022·河北·邢台三中八年级期末）对非负实数n“四舍五入”到个位的值记为x，即：当n为非负整数时，如果n−12≤x<n+12，则x=n．反之，当n为非负整数时，如果x=n时，则n−12≤x<n+12，如0A．1.5≤a＜2.5 B．0.5＜a≤1.5 C．1.5＜a≤2.5 D．0.5≤a＜1.5【考点13不等式的应用】【例13】（2022·重庆·巴川初级中学校八年级期末）如图，为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗(注:饭碗的大小形状都一样)摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为21cm．(1)求出一个碗的高度是多少？(2)李老师家的碗柜每格的高度为36cm，求李老师一摞碗最多只能放多少只？【变式13-1】（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校八年级期中）为建设“醉美泸州”，泸州市绿化改造工程正如火如荼进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对蜀泸大道某路段进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元，若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？【变式13-2】（2022·广东·东莞市万江第二中学八年级期中）为了更好地治理水质．保护环境，而治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备，A、B的单价分别为a万元/台和b万元/台，月处理污水分别为240吨/月和200吨/月，经调查，买一台A型设备比买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．(1)求a、b的值；(2)经预算，市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，若每月处理的污水不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的方案．【变式13-3】（2022·福建泉州·八年级期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商店购进“冰墩墩”、“雪容融”两款毛绒玩具进行销售，“冰墩墩”“雪容融”两种商品的进价、售价如表：“冰墩墩”“雪容融”进价（元/个）9060售价（元/个）12080请列方程（组）、不等式解答下列各题；(1)2022年2月份，商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，并且全部售完，问该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了多少钱？(2)2022年3月份，商店又购进了200个“冰墩墩”和100个“雪容融”，3月中旬受疫情影响，在“冰墩墩”售出34，“雪容融”售出12后，店主决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，又全部售完．如果要保证本月销售总额为30000元，求(3)2022年4月份，由于受疫情影响，生产厂家减产，限制该商店本月只能采购两款毛绒玩具共200个，商店在不打折、不降价且全部售完的情况下，“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的45【考点14根据不等式组的解求参数】【例14】（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）若不等式组x≥ax＜2有解，则aA．a＞2 B．a＜2 C．a≤2 D．a≥2【变式14-1】（2022·湖北孝感·八年级期末）已知不等式x+a>12x+b<2的解集为−2<x<3，则(a+b)2022的值为（A．−1 B．2021 C．1 D．−2021【变式14-2】（2022·山东菏泽·八年级期中）若数a使关于x的方程2−a=4x−1的解为正数，且使关于y的不等式组y+23−y2A．10 B．12 C．14 D．16【变式14-3】（2022·广东·深圳市宝安区沙井上南学校八年级期中）如果不等式组−4x+1<−8−xx>m的解集是x＞m，那么mA．m≥3 B．m≤3 C．m＝3 D．m＜3【考点15分式方程的解与不等式的综合】【例15】（2022·江苏淮安·八年级期末）若关于x的分式方程m2x−4=1−x2−x−2A．m>−4，且m≠0 B．m<10且，m≠2C．m<0，且m≠−4 D．m<6且，m≠2【变式15-1】（2022·重庆铜梁·一模）关于x的不等式组x>m−2−2x+1≥4m−3有解，且使关于x的分式方程1x−2−m−x2−xA．-1 B．2 C．-6 D．0【变式15-2】（2022·重庆南开中学八年级期末）若关于x的方程3−x2−x+ax−2=3有非负整数解，且关于y的不等式组{A．－1 B．4 C．5 D．7【变式15-3】（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）若整数a使关于x的分式方程1x−3专题7.2一元一次不等式和一元一次不等式组十六大必考点【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1不等式（组）的概念辨析】 1【考点2不等式的基本性质运用】 3【考点3求含参的不等式的解集】 5【考点4解不等式（组）】 8【考点5方程（组）与不等式的综合运用】 11【考点6不等式（组）中的新定义运算】 13【考点7根据不等式的整数解个数求参数取值范围】 18【考点8根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】 20【考点9根据不等式的整数解求参数范围】 22【考点10根据实际问题列不等式（组)】 24【考点11根据两个不等式的解之间的关系求参数】 26【考点12二元一次方程组与不等式组的综合运用】 29【考点13不等式的应用】 31【考点14根据不等式组的解求参数】 36【考点15分式方程的解与不等式的综合】 38【考点16不等式组的应用】 41【考点1不等式（组）的概念辨析】【例1】（2022·浙江·八年级期中）下列不等式中，一元一次不等式有  ①x2+3>2x②1x④x−1πA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】分析：根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可．详解：①不是，因为最高次数是2；②不是，因为是分式；③不是，因为有两个未知数；④是；⑤是.综上，只有2个是一元一次不等式.故选B．点睛：本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义.熟记不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键.【变式1-1】（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）下列四个选项中是一元一次不等式组的是()A．x+y=1x−y>1 B．C．2x+3>xx+2>3y D．【答案】D【分析】根据一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组可得答案．【详解】A、不是一元一次不等式组，故此选项错误；B、不是一元一次不等式组，故此选项错误；C、不是一元一次不等式组，故此选项错误；D、是一元一次不等式组，故此选项正确；故选D．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的定义，关键是熟练掌握定义．【变式1-2】（2022·甘肃·武威第五中学八年级期中）x+1是不小于−1的负数，则可表示为（

）A．−1<x+1<0 B．−1<x+1≤0 C．−1≤x+1≤0 D．−1≤x+1<0【答案】D【分析】直接用不等式表示题意,即可.【详解】x+1是不小于−1的负数，则可表示为−1≤x+1<0.故选D【点睛】本题考核知识点：用不等式表示数量关系.解题关键点：理解题意，并用不等式表示.【变式1-3】（2022·江苏·泰兴市宣堡初级中学八年级期末）若关于x的不等式(a−2)xa+2−1<5是一元一次不等式，关于x的不等式9ax+3a−4b<0的解集是x＞49，求【答案】D=-1，b=-74【分析】根据一元一次不等式定义可得a的值，将a的值代入9ax+3a-4b＜0，解不等式后根据其解集可得关于b的方程，解方程可得b．【详解】∵x的不等式（a-2）xa+2-1＜5是一元一次不等式，∴a+2=1，解得：a=-1，当a=-1时，不等式9ax+3a-4b＜0可化为-9x-3-4b＜0，解得：x＞−3−4b9∵不等式解集为x＞49∴−3−4b9=4解得：b=-74【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义、解一元一次不等式、解一元一次方程的能力，熟练掌握不等式定义和解不等式是关键．【考点2不等式的基本性质运用】【例2】（2022·山西吕梁·八年级期末）三个非零实数a,b,c，满足a<b<c，则下列不等式一定正确的是（

）A．a+c<b+c B．a−b>c−b C．bc>c2 【答案】D【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．【详解】解：A、∵a＜b，∴a＋c＜b＋c，故A符合题意；B、∵a＜c，∴a−b＜c−b，故B不符合题意；C、∵b＜c，∴bc＞c2（c＜0），故C不符合题意；D、∵0＜a＜b＜c，∴a＋c＞b，故D不符合题意；【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．【变式2-1】（2022·湖南衡阳·八年级期末）下列不等式的变形正确的是（）A．若a<b，则ac<bc B．若x>y，则xC．若a>b，则ac2>bc2【答案】D【分析】根据不等式的基本性质，每个选项判断即可得出答案．【详解】A．若a<b，当c>0时，则ac<bc，故选项错误，不符合题意；

B．若x>y，当m>0时，则xmC．若a>b，当c2>0时，则aD．若ac2>b故选：D．【点睛】此题考查了不等式基本性质，解题的关键是熟记并会用不等式基本性质．注意：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．【变式2-2】（2022·浙江温州·八年级期中）若[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-3.14]=-4．已知[a]=3，[b]=-2，[c]=-1，则[a-2b+c]可以取到的值的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先根据题目的定义，求得a、b、c的取值范围，再得出a-2b+c的取值范围，从而得出[a-2b+c]可能的取值．【详解】解：∵[a]=3，[b]=-2，[c]=-1，∴3≤a＜4，-2≤b＜-1即2＜-2b≤4，-1≤c＜0，∴4＜a-2b+c＜8，则[a-2b+c]=5，6，7．【点睛】此题考查了不等式性质，解决本题的关键在于判断a、b、c的取值范围．【变式2-3】（2022·河南郑州·八年级期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（

）A．D<B<A<C B．B<D<C<A C．C<B<A<D D．B<C<D<A【答案】A【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：A>B①，B+D>A+C②，A+B=C+D③，由③得：B=C+D−A④，把④代入②得：C+D−A+D>A+C，2D>2A，∴D>A，∴D−A>0，由③得：D−A=B−C，∵D−A>0，∴B−C>0，∴B>C，∴D>A>B>C，即C<B<A<D，【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．【考点3求含参的不等式的解集】【例3】（2022·江苏·八年级期末）已知关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<107，则关于x的不等式ax>b−a的解集为（A．x<−3 B．x>−5 C．x<−25 【答案】A【分析】先根据题意得：b=35a且2a−b<0【详解】解：∵(2a−b)x+a−5b>0，∴(2a−b)x+>5b−a，∵关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<10∴5b−a2a−b=10∴35b−7a=20a−10b，解得：b=3∵2a−b<0，∴2a−3∴a<0，∵ax>b−a，∴ax>35a−a∴x<−2【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集的定义，解不等式，不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解集的定义，解不等式的基本步骤是解题的关键．【变式3-1】（2022·江苏南京·八年级期末）关于x的不等式ax+b>c的解集为x<3，则关于x的不等式ax−2+b>c的解集为（A．x<3 B．x>3 C．x<5 D．x<1【答案】A【分析】根据第一个不等式的解集，得出有关a，b，c的代数式的值，从而求出答案．【详解】解：因为不等式ax+b＞c的解集为x＜3，所以a＜0，且c-b=3a，a（x-2）+b＞c可化为：x<2a+c−b而2a+c−ba∴x＜5．【点睛】本题考查了不等式的解法．根据不等式的性质解不等式是解题的关键．【变式3-2】（2022·广东·深圳市龙岗区智民实验学校八年级期中）若不等式(2a－b)x＋3a－4b＜0的解集是x＞94，则不等式(a－4b)x＋2a－3b【答案】x＞－8【分析】根据（2a-b）x+3a-4b＜0的解集是x＞94，可以得到a与b的关系以及b【详解】解：∵（2a-b）x+3a-4b＜0的解集为x＞94∴-3a−4b2a−b=94且2a-解得，a=56b，且a＜b则b＜0，∴（a-4b）x+2a-3b＞0，解得，x＞-819故答案为：x＞-819【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，利用不等式的性质解答．【变式3-3】（2022·江西·铅山县教育局教学研究室八年级期末）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜13，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣mA．x＜﹣12 B．x＞12 C．x＞﹣12 D．【答案】A【分析】先根据第一个不等式的解集求出m＜0、n＜0，m=3n，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵mx-n＞0，∴mx＞n，∵关于x的不等式mx-n＞0的解集是x＜13∴m＜0，nm=1∴m=3n，n＜0，∴n-m=-2n，m+n=4n，∴关于x的不等式（m+n）x＜n-m的解集是x＞-12【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质确定m、n的数量关系和正负性是解此题的关键．【考点4解不等式（组）】【例4】（2022·山东威海·八年级期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话：小明：在求解的过程中要改变不等号的方向；小强：求得不等式的最小整数解为x=根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（）A．2x−73≥x+1 C．2x−73>x+1 【答案】D【分析】分别解不等式求出其最小整数解，即可求出正确答案．【详解】解：解不等式2x−73≥x+1得：解不等式2x−73≤x+1得：x≥−10；最小整数解为解不等式2x−73>x+1得：解不等式2x−73<x+1得：x＞故选：D．【点睛】本题考查解不等式，以及不等式的整数解，解题的关键是求出各不等式的解集，找出其中的最小整数解．【变式4-1】（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期中）解不等式（组）并把它的解集在数轴上表示出来.(1)2x−1(2)2x−3【答案】(1)x≥−2(2)−1【分析】（1）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可求出不等式的解集，最后将解集表示在数轴上即可；（2）先分别求出两个不等式的解，再求它们公共部的解即为不等式组的解集．（1）解：2x−1去分母，2去括号得，4x−2−9x−2≤6移项得，4x−9x≤6+2+2合并同类项，−5x≤10系数化为1得，x≥−2∴不等式的解为：x≥−2（2）解：2x−3化简不等式①得，2x−3x+6≥4解得，x≤2化简不等式②得，4x+9解得，x＞∴不等式组的解集为：−1＜【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式（组），解题关键是熟练掌握解一元一次不等式（组）的方法步骤．【变式4-2】（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）已知题目：解关于x的不等式组5x+2≤3x−55−x<□，其中“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处不可以是（

A．172 B．152 C．8【答案】D【分析】设“□”处是a，根据题意可得：5x+2≤3x−5①【详解】解：设“□”处是a，由题意得：5x+2≤3x−5①解不等式①得：x≤−3.5，解不等式②得：x>5−a，∵不等式组无解，∴5−a≥−3.5，∴a≤8.5，∴“□”处不可以是9，故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．【变式4-3】（2022·全国·八年级课时练习）设x为一切数，[x]表示不大于x的最大整数，[x]又表示数x的整数部分．解方程x−2[x]=7【答案】x=−2.5【分析】先将方程变形为x=2[x]+72，跟后根据【详解】解：∵x−2[x]=∴x=2[x]+∵[x]表示不大于x的最大整数，[x]又表示数x的整数部分．∴[x]≤x<[x]+1，即[x]≤2[x]+7解得−7∴[x]=−3∴x=2×【点睛】本题考方程与不等式组，理解[x]的定义，建立不等式组是解题的关键．【考点5方程（组）与不等式的综合运用】【例5】（2022·安徽安庆·八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组3x+2y=−a−1x−23y=a+53的解满足A．a≥﹣138 B．a≥﹣134 C．a≤﹣92 【答案】D【分析】先解二元一次方程组，再根据x≥y列出关于a的不等式，解之即可．【详解】解：3x+2y=−a−1①x−①﹣②×3得：4y＝﹣a﹣1﹣3a﹣5，解得：y＝﹣a﹣32把y＝﹣a﹣32代入②得：x﹣23（﹣a﹣32）＝a整理得：x+23a+1＝a+5解得：x＝13a+2∵x≥y，∴13a+23≥﹣a﹣32，即43解得：a≥﹣138【点睛】本题考查利用二元一次方程组的解求参数的值，解一元一次不等式，解题关键是求出用含字母a的式子表示方程组的解．【变式5-1】（2022·河南驻马店·八年级期末）如果关于x的方程2x+a3=4x+b5的解是非负数．那么【答案】5a≥3b【分析】根据题意，先解关于x的方程，再根据题意列出一元一次不等式，进而求得a的范围．【详解】2x+a3去分母得：5(2x+a)=3(4x+b)，去括号得：10x+5a=12x+3b，解得：x=5a−3b∵关于x的方程2x+a3即5a−3b2∴5a≥3b，故答案为：5a≥3b．【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式的应用，根据题意求得方程的解是解题的关键．【变式5-2】（2022·广西崇左·八年级期中）已知关于x，y的二元一次方程组3x−2y=9−a2x−y=7的解满足x−y>0，则a【答案】a<2【分析】先根据二元一次方程组的解法求出方程组的解，再结合方程组的解满足x−y>0，列出不等式求解．【详解】解：在3x−2y=9−a①由②得y=2x−7，把y=2x−7代入①得x=5+a，把x=5+a代入②得y=3+2a，∴方程组的解是x=5+ay=3+2a∵方程组的解满足x−y>0，∴5+a−3+2a∴a<2．故答案为：a<2．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，理解二元一次方程组的解法是解答关键．【变式5-3】（2022·河南周口·八年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组x−y=a+32x+y=5a的解满足x>y，且关于x的不等式组2x+1<2a2x−1≥6无解，那么所有符合条件的整数【答案】7【分析】先求出方程组的解，再根据x＞y得出关于a的不等式，求出a的范围，再求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组无解得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再求出整数a，最后求出答案即可．【详解】解：解方程组x−y=a+32x+y=5a得：x∵x＞y，∴2a＋1＞a−2，解得：a＞−3，2x+1<2a①解不等式①，得x＜2a−12解不等式②，得x≥72∵关于x的不等式组2x+1<2a2x−1≥6∴72≥2a−1解得：a≤4，∴−3＜a≤4，∵a为整数，∴a可以为−2，−1，0，1，2，3，4，∴所有符合条件的整数a的个数为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式等知识点，能得出a的范围−3＜a≤4是解此题的关键．【考点6不等式（组）中的新定义运算】【例6】（2022·江苏南通·八年级期中）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[-1.21]＝﹣2．以下结论：①当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值是1；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③a﹣1＜[a]≤a；④x＝﹣73是方程3x﹣2[x]+1＝0的唯一解，其中正确的有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】①分三种情况：−1＜x＜0,x=0，0＜【详解】解：①当−1＜x＜当x=0时，1+x−当0＜x＜故当−1＜x＜1时，故①错误；②设[a]=n，则[a−1]=n−1，∴[a−1]=[a]−1，故②正确；③根据定义可知，a的整数部分为[a]，小数部分为a-[a]，则0≤a−a解得a﹣1＜[a]≤a，正确；④3x﹣2[x]+1＝0，则x=∴x的整数部分为3x+12，小数部分为0≤x−解得−3<x≤−1，当−3<x≤−2时，[x]=−3，∴3x−2×−3解得x=−7当−2<x≤−1时，x=−2∴3x−2×−2解得x=−5∴x=−73或x=−53是方程3故④不正确，故正确的有②③．故选B．【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，一元一次不等式，理解定义是解题的关键．【变式6-1】（2022·河北保定·八年级期末）定义新运算“△”：对于任意实数a，b都有a△b=ab−a−b+2．（1）若3△x的值不大于3，则x的取值范围是________；（2）若−2m△5的值大于3且小于9，则m【答案】

x≤2

-1【分析】（1）先根据题意列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可；（2）先根据题意列出关于m的不等组，求出m的取值范围，再取整数值即可．【详解】解∶（1）∵对于任意实数a，b都有a△b=ab−a−b+2，∴3△x=3x-3-x+2=2x-1，∵3△x的值不大于3，∴2x−1≤3，解得x≤2；（2）∵对于任意实数a，b都有a△b=ab−a−b+2，∴−2m△5=−10m+2m−5+2=−8m−3∵−2m△5−8m−3>3①由①得，m＜−3∴−3∵m为整数，∴m=-1．故答案为：x≤2；-1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式及不等式组，熟知解不等式组时，“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．【变式6-2】（2022·湖北武汉·八年级期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+by2x+y（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a×0+b×12×0+1=b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m【答案】−2≤P<−【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围．【详解】解：∵T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，∴a−b解得：a=1，b=3，T(2m,5−4m)=解得m≥−1T(m,3−2m)=m+3(3−2m)2m+3−2m>P∵关于m的不等式组T（∴2<9−3P∴−2≤P<−1故答案为：−2≤P<−1【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．【变式6-3】（2022·吉林·八年级期末）对于x、y定义一种新运算“◎”：x◎y=ax−by，其中a、b为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：2◎(1)求a、b的值；(2)求5◎（－3）的值；(3)不等式m+13【答案】(1)a=4，b=5(2)35(3)m≥−1【分析】（1）根据题意得：2a−b=3①4a−3b=1②（2）利用（1（3）利用（1）的结论可得（1）解；由题意得：2a−b=3①4a−3b=1②①×24a−2b=6③③−b=5，把b=5代入①中得：2a−5=3，解得：a=4，∴原方程组的解为：a=4b=5∴a=4，b=5；（2）解：5◎∴5◎（−3）的值为（3）角：∵m+1∴4（m+1）∴8（m+1）−15（m−1）≤30，∴8m+8−15m+15≤30，∴8m−15m≤30−8−15，∴−7m≤7，∴m≥−1，故答案为：m≥−1．【点睛】本题考查了新定义，解一元一次不等式，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．【考点7根据不等式的整数解个数求参数取值范围】【例7】（2022·湖北武汉·八年级期末）已知关于x的不等式你ax−a+6>0只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（

）A．a≤−3 B．−6<a≤−3 C．−6≤a<−3 D．a>−6【答案】B【分析】先求出关于x的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定a的取值范围．【详解】解：关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，∴a＜0，∴不等式的解集为x＜a−6a又∵关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，∴2＜a−6a解得-6＜a≤-3，【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法以及整数解定义是正确解答的关键．【变式7-1】（2022·山东泰安·一模）若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（

）A．8≤m≤12 B．8＜m＜12 C．8＜m≤12 D．8≤m＜12【答案】D【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定m的取值范围．【详解】解：∵4x+m⩾0，∴x⩾−m∵不等式4x+m⩾0有且仅有两个负整数解，∴−3<−m∴8≤m<故选：D【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的基本性质求出x的取值范围，再由x的负整数解列出关于参数的不等式组是解决本题的关键．【变式7-2】（2022·重庆十八中八年级期中）关于x的不等式2x+a≤1只有3个正整数解，则a的取值范围为（

）A．−7<a<−5 B．−7<a≤−5 C．−7≤a<−5 D．−7≤a≤−5【答案】B【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有三个正整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值．【详解】解：解不等式2x+a≤1得：x≤1−a不等式有三个正整数解，一定是1、2、3，根据题意得：3⩽1−a2解得：-7＜a≤-5，【点睛】本题考查了不等式的整数解，解题的关键是正确解不等式，求出解集．【变式7-3】（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级开学考试）已知关于x的不等式2x+m≤1只有2个正整数解，则A．-5≤m<-3 B．-5<m≤-3 C．【答案】B【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的值．【详解】解：解不等式2x+m∵不等式有两个正整数解，∴两个正整数解一定是1和2，根据题意得：2≤1-解得：-5<m故选B．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的整数解得出关于m的不等式组是解题的关键．【考点8根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】【例8】（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组x−a<0,2x+3>0的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．【详解】解：x−a<0①解①得x<a，解②得x>−3则不等式组的解集是−3∵解集中至少有5个整数解∴整数解为：-1,0,1,2,3．∴a＞整数a的最小值是4．故选C．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．【变式8-1】（2022·湖南衡阳·八年级期末）若关于x的不等式组2x+1<36(x−m)≥3+4x只有3个整数解，则m【答案】−【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再由不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组，解之即可．【详解】解：解不等式2x+1＜3，得：x＜1，解不等式6（x-m）≥3+4x，得：x≥6m+32∵不等式组只有3个整数解，∴-3＜6m+32解得−3故答案为：−3【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式8-2】（2022·陕西榆林·八年级期末）已知关于x的不等式组x−m>02x−n≤0的整数解是－2，－1，0，1，2，3，4，若m，n为整数，则m+n的值是（

A．3 B．4 C．5或6 D．6或7【答案】A【分析】先解出不等式组，然后根据不等式组的整数解确定m，n的取值范围，再根据m，n都为整数，即可确定m，n的值，代入计算即可．【详解】解不等式x−m>0，得x>m解不等式2x−n≤0，得x≤1∴不等式组的解集为：m<x≤又∵不等式组的整数解是－2，－1，0，1，2，3，4，∴−3≤m<−24≤又∵m，n为整数，∴m=−3,n=8或m=−3,n=9，∴m+n=5或m+n=6故选择：C【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式8-3】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级期中）若关于x的不等式组2x+3≥11x−a<0恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（

A．5＜a＜6 B．5＜a≤6 C．5≤a＜6 D．5≤a≤6【答案】B【分析】首先求解不等式组，结合题意，根据不等式的性质分析，即可得到答案.【详解】2x+3≥11①不等式①，移项并合并同类项，得：2x≥8∴x≥4不等式②，移项得：x<a∵关于x的不等式组2x+3≥11x−a<0∴4≤x<a当5＜a≤6时，得x=4或x=5，即不等式组2x+3≥11x−a<0∴5＜a≤6故选：B.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的性质，从而完成求解.【考点9根据不等式的整数解求参数范围】【例9】（2022·福建·晋江市第一中学八年级期中）若不等式5x−k≤0的正整数解是1、2、3，则k的取值范围是__________．【答案】15≤k＜20【分析】首先解关于x的不等式，根据正整数解即可确定k的范围．【详解】解：由不等式5x-k≤0，得：x≤k∵不等式的正整数解是1、2、3，∴3≤k5解得：15≤k＜20，故答案为：15≤k＜20．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定k的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.【变式9-1】（2022·江苏·如东县实验中学八年级期中）若x=3是关于x的不等式2x−m>4的一个整数解，而x=2不是其整数解，则m的取值范围为______．【答案】0≤m<2##2＞m≥0【分析】先解一元一次不等式可得x＞m+42，再根据x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解，可得m≥0，然后根据x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，可得m【详解】解：2x﹣m＞4，2x＞m+4，x＞m+42∵x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解，∴m+42∴m≥0，∵x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，∴6﹣m＞4，∴m＜2，∴0≤m＜2，故答案为：0≤m＜2．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式9-2】（2022·河南·南阳市第三中学八年级期中）若实数3是不等式2x−a−2<0的一个解，则a可取的最小正整数为______【答案】5【分析】根据实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，可以求得a的取值范围，从而可以求得a可取的最小正整数．【详解】解：由不等式2x﹣a﹣2＜0，得x＜a+22∵实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，∴a+22＞3，得a∴a可取的最小正整数为5，故答案为：5．【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．【变式9-3】（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）已知有关x的方程x+12=1−x−15的解也是不等式2x-3【答案】0【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值．【详解】原方程可化为：5(x+1)=10−2(x−1)，即7x=7，解得：x=1，把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5，解不等式得：a>−1，所以整数a的最小值为0．【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键．【考点10根据实际问题列不等式（组)】【例10】（2022·全国·八年级）八年级某班部分学生植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵；若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而小于6棵．若设学生人数为x人，则植树棵树为(8x7)人，则下面给出的不等式(组)中，能准确求出学生人数与种植树木数量的是（

）A．8x769(x1) B．8x739(x1)C．8x+7<6+9(x−1)8x+7>3+9(x−1) D．【答案】A【分析】由于设学生人数为x人，则植树棵树为（8x+7）人，若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而＜6棵，那么可以得到8x+7＜6+9（x-1）和8x+7＞3+9（x-1），由它们组成不等式组即可求出学生人数与种植树木数量．【详解】∵设学生人数为x人，则植树棵树为（8x+7）人，而若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而＜6棵，∴依题意得8x+7<6+9(x−1)8x+7>3+9(x−1)故选C．【点睛】考查了不等式组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出不等式组．弄清如何用x分别表示学生人数与种植树木数量，并且根据题意列出不等式组解决问题．【变式10-1】（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）一次学校智力竞赛中共有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一道题扣2分，得分为75分以上可以获得奖品，小锋在本次竞赛中获得了奖品．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式(

)A．5x+220−x≥75 C．5x−220−x>75 【答案】D【分析】设小明答对了x道题，则他答错或不答的共有25−x道题，根据不等关系式得分≥75，列出不等式即可．【详解】解：设小明答对了x道题，则他答错或不答的共有25−x道题，由题意得：5x−2×20−x故选：D．【点睛】本题主要考查了不等式的应用，根据题意找出不等关系，是解题的关键．【变式10-2】（2022·浙江·八年级期中）把一些书分给同学，设每个同学分x本．若____；若分给11个同学，则书有剩余．可列不等式8（x+6）＞11x，则横线的信息可以是（）A．分给8个同学，则剩余6本B．分给6个同学，则剩余8本C．如果分给8个同学，则每人可多分6本D．如果分给6个同学，则每人可多分8本【答案】A【分析】根据代数式8（x+6）的意义，结合题意，根据不等式表示的意义解答即可．【详解】解：设每个同学分x本，8（x+6）的意义为如果分给8个同学，则每人可多分6本，由不等式8（x+6）＞11x,可得：把一些书分给几名同学，如果分给8个同学，则每人可多分6本；若每人分11本，则有剩余．故选C．【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系．【变式10-3】（2022·全国·八年级期中）某企业次定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：A型B型价格（万无/台）1210月污水处理能力（吨/月）200160经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买A型污水处理设备x台，所列不等式组正确的是()A．{12x+10(8−x)⩽89200x+160(8−x)⩾1380 C．{12x+10(8−x)⩾89200x+160(8−x)⩾1380 【答案】D【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据题意，得：12x+108−x故选A．【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组．【考点11根据两个不等式的解之间的关系求参数】【例11】（2022·福建·泉州市城东中学八年级期中）若不等式x+22<x−x−53的解都能使不等式【答案】25【分析】解不等式x+22<x−x−53，得x>−4，据此知x>−4都能使不等式m−7x<2m+3成立，再分m−7=0【详解】解不等式x+22<x−x−5∵x>−4都能使不等式m−7x<2m+3当m−7=0，即m=7时，则x>−4都能使0⋅x<17恒成立；当m−7>0时，不等式m−7x<2m+3的解集为x<∴m−7<0，即m<7，∴不等式m−7x<2m+3的解集为x>∵x>−4都能使不等式x>2m+3∴−4≥2m+3解得m≥25综上，实数m的取值范围是256故答案为：256【点睛】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．【变式11-1】（2022·河北沧州·八年级期末）若不等式2x+5<1的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式4x+1<x−m成立，则m的取值范围是______．【答案】m≤5【分析】求出2x+5<1的解集，再求出4x+1<x−m的解集，得出关于m的不等式，即可求解．【详解】解2x+5<1得：x＜解4x+1<x−m得：x＜∵2x+5<1解集中的每一个x的值均满足4x+1<x−m，∴−1+m解得m≤5．故答案为：m≤5．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于m的不等式是解答本题的关键．【变式11-2】（2022·内蒙古·包钢第三中学八年级期中）若关于x的不等式x<a的解集中的任意x，都能使不等式x−12<1成立，则【答案】D≤3【分析】先求出不等式x−12<1的解，结合不等式x<a的解集中的任意x，都能使不等式【详解】解：x−12∴x−1<2，∴x<3，∵不等式x<a的解集中的任意x，能使都能使不等式x−12∴a≤3．故答案为：a≤3．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键熟练掌握不等式的解法．【变式11-3】（2022·湖北武汉·八年级期末）若关于x的不等式组x+2m<03x+m<15的解集中的任意x的值，都能使不等式x−3<0成立，则m【答案】m⩾−【分析】解两个不等式得出x<−2m且x<15−m3，再分−2m<15−m3、−2m⩾15−m3两种情况，根据解集中的任意【详解】解：解不等式x+2m<0，得：x<−2m，解不等式3x+m<15，得：x<15−m①若−2m<15−m3，即m>−3时，解得m⩾−3此时m⩾−3②若−2m⩾15−m3，即m⩽−3时，解得m⩾6，与m⩽−3不符，舍去；故答案为：m⩾−3【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【考点12二元一次方程组与不等式组的综合运用】【例12】（2022·新疆乌鲁木齐·八年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=3k+12x+3y=−k+2，且−1<x+y<0，则k【答案】−4<k<−【分析】①＋②得出5x+5y=2k+3，根据不等式的性质和−1<x+y<0求出−5<5x+5y<0，得出−5<2k+3<0，再求出k的范围即可．【详解】解：3x+2y=3k+1①①＋②，得5x+5y=2k+3，∵−1<x+y<0，∴−5<5x+5y<0，∴−5<2k+3<0，∴−8<2k<−3，∴−4<k<−3即k的取值范围是−4<k<−3故答案为：−4<k<−3【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能得出关于k的一元一次不等式组是解此题的关键．【变式12-1】（2022·江西景德镇·八年级期中）方程组x+y=3x−2y=a−2的解满足0≤2x−y<3，求a【答案】0，1【分析】将方程组中的两个式子相加，可得2x−y=a+1，故0≤a+1<3，由此求出a的取值范围，写出a的所有非负整数解．【详解】解：x+y=3①①+②，得又∵0≤2x−y<3，∴0≤a+1<3，∴−1≤a<2，∴a的所有非负整数解为：0，1．【点睛】本题考查了二元一次方程组与不等式的解，解决本题的关键在于发现并建立方程组与不等式之间的联系．【变式12-2】（2022·山西临汾·八年级期中）若m是整数,且关于x,y的方程组x+y=2m-【答案】m=-1,0,1,2,3【分析】】把m当作已知数，解方程组求出方程组的解（x、y的值）根据已知得出不等式组，求出m的取值范围即可．【详解】x+y=2m-①+②，得2x=2m+3，解得x=2m把x=2m解得y=2m−∵x≥0，y<0，∴2m+32≥0，即m≥-32，∴解集为-32≤m<7∵m是整数，∴m=-1,0,1,2,3.【点睛】本题综合考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组的应用，关键是根据题意求出关于m的不等式组．【变式12-3】（2022·河北·邢台三中八年级期末）对非负实数n“四舍五入”到个位的值记为x，即：当n为非负整数时，如果n−12≤x<n+12，则x=n．反之，当n为非负整数时，如果x=n时，则n−12≤x<n+12，如0A．1.5≤a＜2.5 B．0.5＜a≤1.5 C．1.5＜a≤2.5 D．0.5≤a＜1.5【答案】D【分析】将〈a〉看作一个字母，通过解不等式组以及不等式组的整数解即可求出a的取值范围．【详解】解：解不等式组2x+1≥−3x−〈a〉<0，解得：−2≤x<由不等式组的整数解恰有3个得：0<a故0.5≤a＜1.5，故答案选D．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用以及新定义，根据题意正确理解<x>的意义是解题的关键．【考点13不等式的应用】【例13】（2022·重庆·巴川初级中学校八年级期末）如图，为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗(注:饭碗的大小形状都一样)摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为21cm．(1)求出一个碗的高度是多少？(2)李老师家的碗柜每格的高度为36cm，求李老师一摞碗最多只能放多少只？【答案】(1)5cm；(2)李老师最多能放16只碗．【分析】（1）设碗底的高度为xcm，碗身的高度为ycm，可得碗的高度和碗的个数的关系式为高度=个数×碗底高度+碗身高度，根据6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，列方程组即可求解；（2）根据（1）得出碗底的高度和碗身的高度，再根据碗橱的高度为36cm，列不等式求解．（1）解：设碗底的高度为xcm，碗身的高度为ycm，由题意得，6x+y=159x+y=21解得：x=2y=3则一个碗的高度为：2+3=5（cm）．（2）设李老师一摞碗能放a只碗，2a+3≤36，解得：a≤33故李老师一摞碗最多只能放16只碗．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找出合适的等量关系，列方程组和不等式求解．【变式13-1】（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校八年级期中）为建设“醉美泸州”，泸州市绿化改造工程正如火如荼进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对蜀泸大道某路段进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元，若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？【答案】240棵【分析】设购买甲种树苗x棵，则购买一种（400-x）棵，然后根据“购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额”列不等式求解即可．【详解】解：设购买甲种树苗x棵，则购买一种（400-x）棵，由题意得：200x≥300（400-x），解得：x≥240．答：至少应购买甲种树苗240棵．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，审清题意、找到不等关系、列出一元一次不等式是解答本题的关键．【变式13-2】（2022·广东·东莞市万江第二中学八年级期中）为了更好地治理水质．保护环境，而治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备，A、B的单价分别为a万元/台和b万元/台，月处理污水分别为240吨/月和200吨/月，经调查，买一台A型设备比买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．(1)求a、b的值；(2)经预算，市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，若每月处理的污水不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的方案．【答案】(1)a的值为12，b的值为10(2)该公司有3种购买方案：①购进10台B型设备；②购进1台A型设备，9台B型设备；③购进2台A型设备，8台B型设备．(3)购进1台A型设备，9台B型设备最省钱．【分析】（1）根据“买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该公司购买x台A型设备，则购买（10-x）台B型设备，根据总价=单价×数量结合购买设备的资金不超过105万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，结合x为非负整数，即可得出各购买方案；（3）根据处理污水的总量=单台设备处理污水量×数量结合处理污水量不低于2040吨，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，结合（2）的结论可得出x的值，再求出两种进货方案所需费用，比较后即可得出结论．（1）解：依题意，得：a−b=23b−2a=6解得：a=12b=10答：a的值为12，b的值为10．（2）解：设该公司购买x台A型设备，则购买（10-x）台B型设备，依题意，得：12x+10（10-x）≤105，解得：x≤212∵x为非负整数，∴x=0，1，2，∴该公司有3种购买方案：①购进10台B型设备；②购进1台A型设备，9台B型设备；③购进2台A型设备，8台B型设备．（3）解：依题意，得：240x+200（10-x）≥2040，解得：x≥1，∵x≤212，且x∴x=1，2．当x=1时，购进10台设备的费用为12+10×9=102（万元），当x=2时，购进10台设备的费用为12×2+10×8=104（万元）．∵102＜104，∴购进1台A型设备，9台B型设备最省钱．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【变式13-3】（2022·福建泉州·八年级期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商店购进“冰墩墩”、“雪容融”两款毛绒玩具进行销售，“冰墩墩”“雪容融”两种商品的进价、售价如表：“冰墩墩”“雪容融”进价（元/个）9060售价（元/个）12080请列方程（组）、不等式解答下列各题；(1)2022年2月份，商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，并且全部售完，问该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了多少钱？(2)2022年3月份，商店又购进了200个“冰墩墩”和100个“雪容融”，3月中旬受疫情影响，在“冰墩墩”售出34，“雪容融”售出12后，店主决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，又全部售完．如果要保证本月销售总额为30000元，求(3)2022年4月份，由于受疫情影响，生产厂家减产，限制该商店本月只能采购两款毛绒玩具共200个，商店在不打折、不降价且全部售完的情况下，“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的45【答案】(1)该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元；(2)8(3)商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具【分析】（1）设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个，根据商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，列出方程求出x、y再根据利润=（售价-进价）×数量求解即可；（2）分别算出打折前后的销售额，然后相加建立方程求解即可；（3）设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”，根据“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的45(1)解：设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个，由题意得：x+y=30090x+60y=23400解得x=180y=120∴2月份购进“冰墩墩”180个，“雪容融”120个120−90×180+∴该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元，答：该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元；(2)解：由题意得：120×200×解得a=8；(3)解：设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”，由题意得：120−90m≥∴30m≥3200−16m，解得m≥1600又∵m是正整数，∴m的最小值为70，∴商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具，答：商店70要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的式子求解是关键．【考点14根据不等式组的解求参数】【例14】（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）若不等式组x≥ax＜2有解，则aA．a＞2 B．a＜2 C．a≤2 D．a≥2【答案】B【分析】根据题中不等式组有解，求得解集即可得到结论【详解】解：∵不等式组x≥ax＜2∴根据不等式组解集求解原则“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”可知，当a<2时，不等式组的解集为a≤x<2，【点睛】本题考查由不等式组解的情况确定参数范围，掌握不等式组求解集的原则“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键．【变式14-1】（2022·湖北孝感·八年级期末）已知不等式x+a>12x+b<2的解集为−2<x<3，则(a+b)2022的值为（A．−1 B．2021 C．1 D．−2021【答案】A【分析】先解不等式组，再根据简介计算出a、b的值，再计算(a+b)2022【详解】不等式组x+a>1①解不等式①得x>1−a，解不等式②得x<2−b∴不等式组的解为：1−a<x<2−b∴1−a=−2,2−b得a=3,b=−4，∴a+b=−1，∴(a+b)2022【点睛】本题考查了求不等式组的解集，求代数式的值，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出a、b的值．【变式14-2】（2022·山东菏泽·八年级期中）若数a使关于x的方程2−a=4x−1的解为正数，且使关于y的不等式组y+23−y2A．10 B．12 C．14 D．16【答案】D【分析】根据关于x的方程的解为正数即可得出a<6且a≠2，根据不等式组的解集为y<−2，即可得出a≥−2，找出−2≤a<6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．【详解】解：由方程2−a=4(x−1)的解为x=6−a∵x≠1，∴6−a4≠1∵关于x的方程2−a=4(x−1)的解为正数，∴6−a4∵{解不等式①得：y<−2；解不等式②得：y≤a；∵关于y的不等式组{y+23∴a≥−2；∴−2≤a<6，且a≠2；∵a为整数，∴a=−2、−1、0、1、3、4、5；∵−2+(−1)+0+1+3+4+5=10，所以符合条件的所有整数a的和是10．故选A．【点睛】本题考查含参的方程以及不等式，熟练掌握解含参的方程和不等式是本题解题关键，注意分析含参的不等式时要考虑端点．【变式14-3】（2022·广东·深圳市宝安区沙井上南学校八年级期中）如果不等式组−4x+1<−8−xx>m的解集是x＞m，那么mA．m≥3 B．m≤3 C．m＝3 D．m＜3【答案】D【分析】先求得不等式-4x+1＜-8-x的解，然后再根据不等式组解集判断方法可确定出m的范围．【详解】−4x+1<−8−x∵不等式①的解集为x＞3，又∵不等式组−4x