北师大版2019选择性必修第一册专题1.3直线的交点坐标与距离公式(6类必考点)(原卷版+解析)

专题1.3直线的交点坐标与距离公式TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：两条直线的交点坐标】 1【考点2：方程组解的个数与两直线的位置关系】 3【考点3：两点间的距离公式】 5【考点4：点到直线的距离公式】 6【考点5：两条平行直线间的距离】 8【考点6：点、直线间的对称问题】 11【考点1：两条直线的交点坐标】【知识点：两条直线的交点坐标】1．（2022春•儋州校级期中）直线2x+3y﹣k＝0和直线x﹣ky+12＝0的交点在x轴上，则k的值为（）A．﹣24 B．24 C．6 D．±62．（2022春•儋州校级期中）直线l经过原点，且经过直线2x+3y+8＝0和x﹣y﹣1＝0的交点，则直线l的方程为（）A．2x+y＝0 B．2x﹣y＝0 C．x+2y＝0 D．x﹣2y＝03．（2022春•云县期中）已知直线l1：ax+y+1＝0与l2：2x﹣by﹣1＝0相交于点M（1，1），则a+b＝．4．（2022春•儋州校级期中）已知直线5x+4y＝2a+1与直线2x+3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是．5．（2021秋•保定期末）已知直线l1：x﹣3y﹣2＝0，l2：3x﹣2y+1＝0，设直线l1，l2的交点为P．（1）求P的坐标；（2）若直线l过点P且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．【考点2：\o"方程组解的个数与两直线的位置关系"方程组解的个数与两直线的位置关系】【知识点：\o"方程组解的个数与两直线的位置关系"方程组解的个数与两直线的位置关系】1．（2018秋•应县校级期中）直线2x﹣y+k＝0与4x﹣2y+1＝0的位置关系是（）A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合2．（2021•浦东新区校级开学）当m≠±1时，方程组mx+y=m+1x+my=2mA．仅有唯一解 B．有唯一解或无穷多解 C．无解或无穷多解 D．有唯一解或无解（多选）3．（2020春•鼓楼区校级期中）两直线（m+2）x﹣y+m＝0，x+y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．04．（2018秋•金山区期末）已知关于x、y的方程组mx+4y=2x+y=1有唯一解，则实数m的取值范围是5．（2019•闵行区校级开学）关于x，y的二元一次方程组mx+y=−13mx−my=2m+3无解，则m＝【考点3：两点间的距离公式】【知识点：两点间的距离公式】类型条件距离公式两点间的距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)1．（2022春•疏勒县校级期末）已知点A（2，4），B（5，4），那么A，B两点之间的距离等于（）A．8 B．6 C．3 D．02．（2022春•吉林期末）已知平面直角坐标系中两个点坐标M（2，5），N（4，9），点P是M，N中点，则|MPA．3 B．5 C．7 D．33．（2022春•高台县校级月考）在△ABC中，已知A（4，1）、B（7，5）、C（﹣4，7），则BC边的中线AD的长是（）A．25 B．35 C．525 【考点4：点到直线的距离公式】【知识点：点到直线的距离公式】类型条件距离公式点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))1．（2022春•疏勒县校级期末）点（﹣1，1）到直线4x+2y﹣3＝0的距离为（）A．52 B．5 C．452．（2022•太和县校级开学）已知直线l过原点O，且点A（1，0），B（3，2）到直线l的距离相等，则直线l的方程为（）A．x﹣y＝0 B．x﹣2y＝0 C．x+y＝0或x+2y＝0 D．x﹣y＝0或x﹣2y＝03．（2022春•凉州区校级期末）若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（）A．2 B．3 C．32 4．（2022春•金山区期中）已知A（﹣3，﹣2），B（﹣1，4）到直线l：x+ay+1＝0的距离相等，则实数a为．5．（2021秋•邯郸期末）点A（3，﹣2）到直线l：kx﹣y+2＝0的最大距离为．6．（2022春•巴宜区校级期末）已知直线l经过直线2x+y﹣5＝0与x﹣2y＝0的交点P，且斜率为2．（1）求直线l的方程；（2）求点A（5，0）到直线l的距离．7．（2022春•疏勒县校级期末）求点P到下列直线l的距离：（1）P（1，﹣2），l：3x+4y﹣10＝0；（2）若点（2，﹣m）到直线5x+12y+6＝0的距离是4，求m的值．【考点5：两条平行直线间的距离】【知识点：两条平行直线间的距离】类型条件距离公式两条平行直线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))1．（2022春•汉中期中）直线l1：x﹣2y﹣3＝0与l2：﹣3x+6y﹣1＝0之间的距离为（）A．455 B．253 C．2．（2022•泸县校级模拟）已知直线l1：（3+2λ）x+（4+λ）y+（﹣2+2λ）＝0（λ∈R），l2：x+y﹣2＝0，若l1∥l2，则l1与l2间的距离为（）A．22 B．2 C．2 D．23．（2021秋•东莞市期末）已知梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，且对角线交于点E，过点E作与AB所在直线的平行线l．若AB和CD所在直线的方程分别是3x+4y﹣6＝0与3x+4y+9＝0，则直线l与CD所在直线的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022春•杨浦区校级期中）若直线l1：ax+2y+a﹣1＝0与直线l2：2x+ay+3﹣a＝0平行，则l1与l2之间的距离为．5．（2021秋•龙门县校级月考）已知两条平行直线L1：x+2y+3＝0，L2：3x+by+c＝0间的距离为5，则b+c＝．6．（2022春•杨浦区校级期中）设m∈R，已知直线l1：（m+1）x+my+2﹣m＝0，过点（1，2）作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是．7．（2022春•金山区期中）已知直线l1：ax+y+2＝0．（1）若直线l1在x轴上的截距为﹣2，求实数a的值；（2）直线l1与直线l2：2x﹣y+1＝0平行，求l1与l2之间的距离．8．（2022春•崇明区校级期中）设常数a∈R，已知直线l1：（a+2）x+y+1＝0，l2：3x+ay+（4a﹣3）＝0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离．9．（2021春•黔东南州期末）已知斜率存在的两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．（1）若l1与l2距离为4，求两直线的方程；（2）若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．【考点6：点、直线间的对称问题】【知识点：点、直线间的对称问题】点关于点对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程点关于直线对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线对称①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解1．（2022•宝鸡模拟）直线3x﹣2y＝0关于点（13A．2x﹣3y＝0 B．3x﹣2y﹣2＝0 C．x﹣y＝0 D．2x﹣3y﹣2＝02．（2021秋•深圳期末）将一张坐标纸折叠一次，使点（2，0）与（﹣6，8）重合，求折痕所在直线是（）A．x﹣y﹣6＝0 B．x+y+6＝0 C．x+y﹣6＝0 D．x﹣y+6＝03．（2021秋•番禺区期末）直线3x﹣4y+5＝0关于x轴对称的直线方程为（）A．3x+4y﹣5＝0 B．3x+4y+5＝0 C．3x﹣4y+5＝0 D．3x﹣4y﹣5＝04．（2021秋•无锡期末）在平面直角坐标系xOy中，点（0，4）关于直线x﹣y+1＝0的对称点为（）A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，3） D．（3，1）5．（2022春•长安区校级期末）直线l1：x+y﹣1＝0关于直线l2：3x﹣y﹣3＝0的对称直线的方程为．6．（2022春•黄浦区校级月考）一条光线经过点A（3，5）射到直线x+y+1＝0上，被反射后经过点B（2，1），则入射光线所在直线的方程为．7．（2021秋•银川校级期末）直线x﹣2y﹣3＝0关于定点M（﹣2，1）对称的直线方程是．8．（2022春•自贡期末）在平面直角坐标系中，直线l过点A（1，2）．（1）若直线l的倾斜角为π4，求直线l（2）直线m：y＝2x+b，若直线m与直线l关于直线x＝1对称，求b的值与直线l的方程．9．（2021秋•南山区校级期中）已知A（2，﹣3），直线l：x﹣y+1＝0．（1）直线l关于点A的对称直线l1的方程；（2）若光线沿直线2x﹣y﹣3＝0照射到直线l上后反射，求反射光线所在的直线l2的方程．10．（2021秋•简阳市校级期中）已知直线l：2x﹣y+1＝0，点A（3，0）．（1）求点A关于直线l：2x﹣y+1＝0的对称点；（2）求直线l：2x﹣y+1＝0，关于点A的对称直线m的方程．专题1.3直线的交点坐标与距离公式TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：两条直线的交点坐标】 1【考点2：方程组解的个数与两直线的位置关系】 3【考点3：两点间的距离公式】 5【考点4：点到直线的距离公式】 6【考点5：两条平行直线间的距离】 8【考点6：点、直线间的对称问题】 11【考点1：两条直线的交点坐标】【知识点：两条直线的交点坐标】1．（2022春•儋州校级期中）直线2x+3y﹣k＝0和直线x﹣ky+12＝0的交点在x轴上，则k的值为（）A．﹣24 B．24 C．6 D．±6【分析】联立2x+3y−k=0x−ky+12=0，由直线2x+3y﹣k＝0和直线x﹣ky+12＝0的交点在x轴上，得到y=k+243+2k【解答】解：联立2x+3y−k=0x−ky+12=0解得x=k∵直线2x+3y﹣k＝0和直线x﹣ky+12＝0的交点在x轴上，∴y=k+24解得k＝﹣24．故选：A．2．（2022春•儋州校级期中）直线l经过原点，且经过直线2x+3y+8＝0和x﹣y﹣1＝0的交点，则直线l的方程为（）A．2x+y＝0 B．2x﹣y＝0 C．x+2y＝0 D．x﹣2y＝0【分析】联立已知直线求出交点坐标，再根据直线l过原点，即可求出直线l的方程．【解答】解：联立方程2x+3y+8=0x−y−1=0，解得x=−1∴直线l过点（﹣1，﹣2），又∵直线l经过原点，∴直线l的方程为y＝2x，即2x﹣y＝0，故选：B．3．（2022春•云县期中）已知直线l1：ax+y+1＝0与l2：2x﹣by﹣1＝0相交于点M（1，1），则a+b＝﹣1．【分析】把M（1，1）分别代入直线l1和直线l2的方程，可得a和b的值，从而得解．【解答】解：把M（1，1）分别代入直线l1和直线l2的方程，有a+1+1＝0，2﹣b﹣1＝0所以a＝﹣2，b＝1，所以a+b＝﹣1．故答案为：﹣1．4．（2022春•儋州校级期中）已知直线5x+4y＝2a+1与直线2x+3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是（−32【分析】根据条件解得两直线的交点，由交点在第四象限列出不等式组，求解可得a的取值范围．【解答】解：解方程组5x+4y=2a+12x+3y=a得x=因为交点在第四象限，所以2a+37解得−3故答案为：（−35．（2021秋•保定期末）已知直线l1：x﹣3y﹣2＝0，l2：3x﹣2y+1＝0，设直线l1，l2的交点为P．（1）求P的坐标；（2）若直线l过点P且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．【分析】（1）联立两直线方程，即可求解．（2）由已知条件可得，直线l的斜率为﹣1或经过原点，再分类讨论，即可求解．【解答】解：（1）联立方程x−3y−2=03x−2y+1=0，解得P（2）∵直线l在两坐标轴上的截距相等，∴直线l的斜率为﹣1或经过原点，当直线l过原点时，∵直线l过点P，∴l的方程为y＝x，当直线l斜率为﹣1时，∵直线l过点P，∴l的方程为y+1＝﹣（x+1），综上所述，直线l的方程为x+y+2＝0或x﹣y＝0．【考点2：\o"方程组解的个数与两直线的位置关系"方程组解的个数与两直线的位置关系】【知识点：\o"方程组解的个数与两直线的位置关系"方程组解的个数与两直线的位置关系】1．（2018秋•应县校级期中）直线2x﹣y+k＝0与4x﹣2y+1＝0的位置关系是（）A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合【分析】化简方程组得到2k﹣1＝0，根据k值确定方程组解的个数，由方程组解得个数判断两条直线的位置关系．【解答】解：∵由方程组2x−y+k=04x−2y+1=0，得2k当k=12时，方程组由无穷多个解，两条直线重合，当k综上，两条直线平行或重合，故选：C．2．（2021•浦东新区校级开学）当m≠±1时，方程组mx+y=m+1x+my=2mA．仅有唯一解 B．有唯一解或无穷多解 C．无解或无穷多解 D．有唯一解或无解【分析】因为m≠±1，求出方程组的解，即可得到答案．【解答】解：因为m≠±1，故由方程组mx+y=m+1x+my=2m，解得x=所以当m确定时，该方程组的解是唯一的．故选：A．（多选）3．（2020春•鼓楼区校级期中）两直线（m+2）x﹣y+m＝0，x+y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0【分析】由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点．可得：①m+2≠0；②m+2≠﹣1；③（m+2）•0﹣0+m≠0．解出即可得出．【解答】解：由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点．于是：①m+2≠0；②m+2≠﹣1；③（m+2）•0﹣0+m≠0．综上，m≠﹣2且m≠﹣3且m≠0．故选：ABD．4．（2018秋•金山区期末）已知关于x、y的方程组mx+4y=2x+y=1有唯一解，则实数m的取值范围是m≠4【分析】把给出的方程组mx+4y=2x+y=1【解答】解：方程组mx+4y=2x+y=1由mx+4y﹣2＝0，得y=−m4x+由x+y﹣1＝0，得y＝﹣x+1，此直线的斜率为﹣1．若方程组mx+4y=2x+y=1则两直线的斜率不等，即−m∴m≠4．故答案为：m≠4．5．（2019•闵行区校级开学）关于x，y的二元一次方程组mx+y=−13mx−my=2m+3无解，则m＝【分析】对m分类讨论，利用两条直线平行时无解，即可得出．【解答】解：m＝0时，方程组化为：y=−10=3m≠0时，两条直线平行时，可得：m3m综上可得：m＝0．故答案为：0．【考点3：两点间的距离公式】【知识点：两点间的距离公式】类型条件距离公式两点间的距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)1．（2022春•疏勒县校级期末）已知点A（2，4），B（5，4），那么A，B两点之间的距离等于（）A．8 B．6 C．3 D．0【分析】直接利用两点间距离公式，求解即可．【解答】解：点A（2，4），B（5，4），A，B两点之间的距离：(2−5)故选：C．2．（2022春•吉林期末）已知平面直角坐标系中两个点坐标M（2，5），N（4，9），点P是M，N中点，则|MPA．3 B．5 C．7 D．3【分析】由中点坐标公式可得点P的坐标，可求|MP【解答】解：由中点坐标公式得P（3，7），MP→=(1，2)，故选：B．3．（2022春•高台县校级月考）在△ABC中，已知A（4，1）、B（7，5）、C（﹣4，7），则BC边的中线AD的长是（）A．25 B．35 C．525 【分析】利用中点坐标公式、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：由中点坐标公式可得：BC边的中点D(7−42，由两点之间的距离公式可得|AD|=(4−故选：C．【考点4：点到直线的距离公式】【知识点：点到直线的距离公式】类型条件距离公式点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))1．（2022春•疏勒县校级期末）点（﹣1，1）到直线4x+2y﹣3＝0的距离为（）A．52 B．5 C．45【分析】利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：点（﹣1，1）到直线4x+2y﹣3＝0的距离为：|−4+2−3|16+4故选：A．2．（2022•太和县校级开学）已知直线l过原点O，且点A（1，0），B（3，2）到直线l的距离相等，则直线l的方程为（）A．x﹣y＝0 B．x﹣2y＝0 C．x+y＝0或x+2y＝0 D．x﹣y＝0或x﹣2y＝0【分析】根据点到直线的距离公式即可．【解答】解：直线过原点，并且选项中的直线的斜率都是存在的，故设所求直线的方程为kx﹣y＝0，由已知及点到直线的距离公式可得|k−0|1+k2=|3k−2|即所求直线方程为x﹣y＝0或x﹣2y＝0；故选：D．3．（2022春•凉州区校级期末）若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（）A．2 B．3 C．32 【分析】利用点到直线的距离公式，求解即可．【解答】解：点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，可得|9+4+a|9+16=3，解得故选：A．4．（2022春•金山区期中）已知A（﹣3，﹣2），B（﹣1，4）到直线l：x+ay+1＝0的距离相等，则实数a为1或−13【分析】根据点到直线的距离公式列方程求出实数a的值．【解答】解：因为点A（﹣3，﹣2），B（﹣1，4）到直线l：x+ay+1＝0的距离相等，所以|−3−2a+1|1+a2=|−1+4a+1|即3a2﹣2a﹣1＝0，解得a＝1或a=−1所以实数a为1或−15．（2021秋•邯郸期末）点A（3，﹣2）到直线l：kx﹣y+2＝0的最大距离为5．【分析】根据题意，分析直线过的定点，由点到直线的距离公式分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线l：kx﹣y+2＝0，即y＝kx+2，恒过定点（0，2），设M（0，2），点A（3，﹣2）到直线l：kx﹣y+2＝0的最大距离为|AM|=9+16故答案为：5．6．（2022春•巴宜区校级期末）已知直线l经过直线2x+y﹣5＝0与x﹣2y＝0的交点P，且斜率为2．（1）求直线l的方程；（2）求点A（5，0）到直线l的距离．【分析】（1）由2x+y−5=0x−2y=0，得交点P（2）直接利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：（1）由2x+y−5=0x−2y=0，得交点P又∵斜率为2，所以直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣3＝0；（2）点A（5，0）到直线l的距离d=|2×5−0−3|7．（2022春•疏勒县校级期末）求点P到下列直线l的距离：（1）P（1，﹣2），l：3x+4y﹣10＝0；（2）若点（2，﹣m）到直线5x+12y+6＝0的距离是4，求m的值．【分析】利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：（1）P（1，﹣2），l：3x+4y﹣10＝0；可得d=|3−8−10|（2）点（2，﹣m）到直线5x+12y+6＝0的距离是4，可得：4=|10−12m+6|13，解得m＝﹣3或m【考点5：两条平行直线间的距离】【知识点：两条平行直线间的距离】类型条件距离公式两条平行直线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))1．（2022春•汉中期中）直线l1：x﹣2y﹣3＝0与l2：﹣3x+6y﹣1＝0之间的距离为（）A．455 B．253 C．【分析】利用两条平行线间的距离公式求解即可．【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣3＝0，即﹣3x+6y+9＝0，所以直线l1与l2之间的距离为|9+1|(−3故选：B．2．（2022•泸县校级模拟）已知直线l1：（3+2λ）x+（4+λ）y+（﹣2+2λ）＝0（λ∈R），l2：x+y﹣2＝0，若l1∥l2，则l1与l2间的距离为（）A．22 B．2 C．2 D．2【分析】由题意，利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得λ值，再利用两平直线间的距离公式，计算求得结果．【解答】解：∵直线l1：（3+2λ）x+（4+λ）y+（﹣2+2λ）＝0（λ∈R），l2：x+y﹣2＝0，l1∥l2，∴3+2λ1=4+λ1≠−2+2λ−2，∴λ＝1，∴直线则l1与l2间的距离为|−2−0|2故选：B．3．（2021秋•东莞市期末）已知梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，且对角线交于点E，过点E作与AB所在直线的平行线l．若AB和CD所在直线的方程分别是3x+4y﹣6＝0与3x+4y+9＝0，则直线l与CD所在直线的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意画出图形，求出两平行线间的距离，再根据相似三角形的对应比求出直线l与CD所在直线的距离．【解答】解：梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，对角线交于点E，过点E作与AB所在直线的平行线l，如图所示：计算AB和CD所在直线的距离为d=|−6−9|因为△ABE∽△CDE，且CD：AB＝2：1，所以直线l与CD所在直线的距离为3×2故选：B．4．（2022春•杨浦区校级期中）若直线l1：ax+2y+a﹣1＝0与直线l2：2x+ay+3﹣a＝0平行，则l1与l2之间的距离为22【分析】由直线l1：ax+2y+a﹣1＝0与直线l2：2x+ay+3﹣a＝0平行，列方程求出a＝﹣2，利用两平行线间距离公式能求出l1与l2之间的距离．【解答】解：∵直线l1：ax+2y+a﹣1＝0与直线l2：2x+ay+3﹣a＝0平行，∴2a=a∴直线l1：2x﹣2y+3＝0，直线l2：2x﹣2y+5＝0，∴l1与l2之间的距离为：d=|5−3|故答案为：225．（2021秋•龙门县校级月考）已知两条平行直线L1：x+2y+3＝0，L2：3x+by+c＝0间的距离为5，则b+c＝0或30．【分析】根据题意，由平行线间的距离公式计算可得答案．【解答】解：因为两条平行直线L1：x+2y+3＝0，L2：3x+by+c＝0间的距离为5，所以b＝6，且|9−c|3解得c＝﹣6，或24，所以b+c＝0，或30．故答案为：0，或30．6．（2022春•杨浦区校级期中）设m∈R，已知直线l1：（m+1）x+my+2﹣m＝0，过点（1，2）作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是10．【分析】直接利用方程组求出直线经过的定点，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解：由于直线l1：（m+1）x+my+2﹣m＝0，整理得：（x+y﹣1）m+（x+2）＝0，故x+y−1=0x+2=0，解得x=−2y=3，即直线l则过点（1，2）作直线l2，且l1∥l2，则最大距离d=(−2−1故答案为：10．7．（2022春•金山区期中）已知直线l1：ax+y+2＝0．（1）若直线l1在x轴上的截距为﹣2，求实数a的值；（2）直线l1与直线l2：2x﹣y+1＝0平行，求l1与l2之间的距离．【分析】（1）由题意，根据直线在y轴上的截距的定义，求得a的值．（2）由题意，利用两直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．【解答】解：（1）直线l1：ax+y+2＝0，令y＝0，求得x=−2a=−2（2）直线l1与直线l2：2x﹣y+1＝0平行，则﹣1×a＝2×1，得a＝﹣2，∴当a＝﹣2时，直线l1：﹣2x+y+2＝0，即l1：2x﹣y﹣2＝0满足条件此时直线l1与l2之间的距离为d=|1−(−2)|8．（2022春•崇明区校级期中）设常数a∈R，已知直线l1：（a+2）x+y+1＝0，l2：3x+ay+（4a﹣3）＝0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离．【分析】（1）根据题意，由直线垂直的判断方法可得3（a+2）+a＝0，解可得答案；（2）根据题意，由直线平行的判断方法可得a的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，直线l1：（a+2）x+y+1＝0，l2：3x+ay+（4a﹣3）＝0，若l1⊥l2，则3（a+2）+a＝0，解可得a=−3（2）根据题意，若l1∥l2，则有a（a+2）＝3，解可得a＝1或﹣3，当a＝1时，直线l1：3x+y+1＝0，l2：3x+y+1＝0，两直线重合，不符合题意，当a＝﹣3时，直线l1：﹣x+y+1＝0，l2：3x﹣3y﹣15＝0，即x﹣y﹣5＝0，两直线平行，此时l1与l2之间的距离d=|1−5|1+1=9．（2021春•黔东南州期末）已知斜率存在的两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．（1）若l1与l2距离为4，求两直线的方程；（2）若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．【分析】（1）分两类讨论：①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，写出两条直线的方程，由点到直线的距离公式求出斜率k即可，②若l1、l2的斜率都不存在，则l1：x＝0，l2：x＝4，然后验证距离是否等于4即可．（2）当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2的距离最大，由两点间距离公式求出最大距离，由两条直线的垂直关系求出斜率，再根据点斜式或斜截式写直线的方程即可．【解答】解：（1）①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，由斜截式得l1的方程y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，由点斜式得l2的方程y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，在直线l1上取点A（0，3），则点A到直线l2的距离为d=|3+4k|化简得16k2+24k+9＝16k2+16，解得k=7∴l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0．②若l1、l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝4，它们之间的距离为4，满足条件，综上所述，两条直线的方程为l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0或l1：x＝0，l2：x＝4．（2）当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2的距离最大，两点连线的直线的斜率为0−34−0∴直线l1与l2的斜率均为43此时，最大距离为(0−4)l1：4x﹣3y+9＝0，l2：4x﹣3y﹣16＝0．【考点6：点、直线间的对称问题】【知识点：点、直线间的对称问题】点关于点对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程点关于直线对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线对称①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解1．（2022•宝鸡模拟）直线3x﹣2y＝0关于点（13A．2x﹣3y＝0 B．3x﹣2y﹣2＝0 C．x﹣y＝0 D．2x﹣3y﹣2＝0【分析】在直线3x﹣2y＝0上任意取一点A（m，n），则有3m﹣2n＝0．求出点A关于点（13【解答】解：在直线3x﹣2y＝0上任意取一点A（m，n），则有3m﹣2n＝0．设点A关于点（13，0）对称的点的坐标为B（x，y则x=23−m，y＝﹣n，即m=23−∴3（23−x）﹣2（﹣y）＝0，即3x﹣2故选：B．2．（2021秋•深圳期末）将一张坐标纸折叠一次，使点（2，0）与（﹣6，8）重合，求折痕所在直线是（）A．x﹣y﹣6＝0 B．x+y+6＝0 C．x+y﹣6＝0 D．x﹣y+6＝0【分析】设A（2，0），B（﹣6，8），由题意可知折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，由直线AB的斜率可得折痕所在直线的斜率，再利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由点斜式即可求出折痕所在直线方程．【解答】解：设A（2，0），B（﹣6，8），由题意可知折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，∵kAB=8−0又∵线段AB的中点坐标为（﹣2，4），∴折痕所在直线方程为y﹣4＝x+2，即x﹣y+6＝0，故选：D．3．（2021秋•番禺区期末）直线3x﹣4y+5＝0关于x轴对称的直线方程为（）A．3x+4y﹣5＝0 B．3x+4y+5＝0 C．3x﹣4y+5＝0 D．3x﹣4y﹣5＝0【分析】把原直线方程中的x不变，把y换成﹣y，可得它关于x轴对称的直线的方程．【解答】解：直线3x﹣4y+5＝0中的x不变，把y换成﹣y，可得它关于x轴对称的直线方程3x+4y+5＝0，故选：B．4．（2021秋•无锡期末）在平面直角坐标系xOy中，点（0，4）关于直线x﹣y+1＝0的对称点为（）A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，3） D．（3，1）【分析】设出点（0，4）关于直线的对称点的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设点（0，4）关于直线x﹣y+1＝0的对称点是（a，b），则a2−b+4故选：D．5．（2022春•长安区校级期末）直线l1：x+y﹣1＝0关于直线l2：3x﹣y﹣3＝0的对称直线的方程为x﹣7y﹣1＝0．【分析】在直线l上任意取一点M（x，y），则点M关于3x﹣y﹣3＝0的对称点N（a，b）在直线x+y﹣1＝0上，即a+b﹣1＝0①．再根据垂直、和中点在对称轴上这两个条件求得a、b的解析式，再把a、b的解析式代入①，化简可得直线l的方程．【解答】解：在直线l上任意取一点M（x，y），则点M关于3x﹣y﹣3＝0的对称点N（a，b）在直线x+y﹣1＝0上，即a+b﹣1＝0①．再根据3×x+a2−y+b2−3=0y−bx−a可得直线l的方程为：x﹣7y﹣1＝0，故答案为：x﹣7y﹣1＝0．6．（2022春•黄浦区校级月考）一条光线经过点A（3，5）射到直线x+y+1＝0上，被反射后经过点B（2，1），则入射光线所在直线的方程为8x﹣5y+1＝0．【分析】利用对称点的性质可得B（2，1）关于直线x+y+1＝0的对称点，再利用点斜式即可得出结论．【解答】解：设B（2，1）关于直线x+y+1＝0的对称点为P（a，b），则1−b2−a×（﹣1）＝﹣1，解得a＝﹣2，b＝﹣3．∴点P（﹣2，﹣3）在入射光线所在直线上，则入射光线所在直线的方程为：y﹣5=−3−5−2−3（x﹣3），化为：8x﹣5故答案为：8x﹣5y+1＝0．7．（2021秋•银川校级期末）直线x﹣2y﹣3＝0关于定点M（﹣2，1）对称的直线方程是x﹣2y+11＝0．【分析】直接利用中点坐标公式的应用和点关于点的对称的应用求出直线的方程．【解答】解：设直线上点A（x0，y0）关于点M