初中数学华东师大九年级下册第26章 二次函数二次函数中等腰三角形的存在性问题

1、二次函数中等腰三角形的存在性问题教学设计江安县川师实外黄德康教学目标：1. 通过题组训练，理解等腰三角形的性质，掌握分类讨论及其基本的作图方法.2. 掌握二次函数中等腰三角形存在性问题的解题思路及解题方法.3. 通过综合题提高运算能力、分析问题与解决问题的能力，养成良好的思维习惯，熟悉中考压轴题结构，把握答题规范.4. 感悟数学内容本质，积累思维经验，体会分类讨论、数形结合、转化化归和方程建模等数学思想.教学重点：掌握二次函数中等腰三角形存在性问题的解题思路及解题方法.教学难点：运用转化与化归的数学思想，把复杂问题化解为几个基础问题，基本图形，形成解决压轴题的一种解题策略。教学过程：一、知识与

2、方法回顾1. 知识梳理：等腰三角形的性质与判定.2. 如图1，若ABC是等腰三角形时，三边存在哪几种情况?怎样分类？(明理)图1CABAB图2ABl3. 如图2，已知线段AB和直线图1CABAB图2ABl设计意图：让学生回顾等腰三角形的性质与判定，学会等腰三角形存在问题如何分类解决。【方法小结】1. 若一个三角形是等腰三角形，没有明确给出底边和腰，则需要进行分类讨论.2. 以线段AB为边的等腰三角形构造方法如上图所示（基本图形）. 等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以点A、点B为圆心，AB长为半径的圆周上（不与线段AB共线）.（两圆一线法）图3xy图3xyOD （一）自主学习

3、训练1.如图3，在平面直角坐标系中，点D的坐标为(3,4)， (3,4) P是x轴正半轴上的一个动点，若以P，O，D为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标.设计意图：让学生初步掌握用分类讨论和两圆一线法解决简单的等腰三角形存在问题。【思路分析】1学生审题，思考，尝试解题，展示解法；2思路分析，回答以下问题：（1）题目中的定点、动点分别是什么？求什么？联想曾经学过解决类似问题的方法. （2）要求点P的坐标，只需求什么？（点P的横坐标即求线段OP的长）（3）这时点P的位置有几种情况？画出点P的位置，写出每种情况中相等的线段.（4）观察所画的点P的位置，哪种情况可以直接求得OP的长？理由是什么？（

4、5）当PO=PD时，如何求OP的长？求线段长度的常用方法有哪些？怎样转化？怎样构造“基本图形”求解？请思考，讨论.（开放性问题，解法多样.）（1）（1）（2）（3）【解题分析】1. 第（1）、（2）种情况计算较易，由学生独立完成.2重点研究：当PO=PD时，求OP的长. 怎样想？为什么这样想？思路1：根据PO=PD，列方程求解. 关键是用参数（设未知数）的代数式表示相关动线的长度. 用到知识“两点间距离公式”.思路2：根据RtDEP中，DE2+EP2=PD2，列方程求解. 关键设EP=t，则DP=3+t. 思路3：用相似或三角函数求解. 作PFOD于点F，OF=，. 思路4：用直线与x轴交点求

5、解. 作PFOD于点F，设直线PF的解析式为：，F(,2)，易求得，所以P(,2). 用到k1k2=-1DD4OE图aP3t3+tD4OE图bP3FDO图cPF3学生的解题思路、答题情况展示、点评与小结. 点评：解法1、2的思路特点是设未知量，建立方程求解；解法3几何推理（相似或三角函数），计算；解法4用函数与方程思路求解. 相对而言，解法1思路更为简明、直接，易理解，解题步骤简单，具有一定通用性，但有时计算量较大.【题后反思】学生感悟，方法规律总结。通常这类问题的解题策略有：几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算.代数法：基本解题思路是列点，列线，列式.列点构建所求等腰三角形的三个点，

6、动点用参数表示其坐标.列线列出等腰三角形的三条边（动线是用代数式表示,用到“两点间距离公式”）分别写出三条边两两相等的可能性（分类讨论）.列式（检验）根据两边相等列方程求解. 要注意检验点的坐标是否符合题意.数学思想方法：分类讨论、数形结合、转化化归和方程建模等数学思想. 有时几何法和代数法相结合使用，可以使得解题更快。（二）能力训练训练2：如图4，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴、y轴分别交于点A(-3,0)、点C(0,6)，直线y=h(h为常数，且0h6)与AC交于点D，与y轴交于点B. 已知点M(-2,0)，请问是否存在点D，使ODM是等腰三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明

7、理由.设计意图：让学生进一步掌握用分类讨论和两圆一线法解决简单的等腰三角形存在问题。BCBCDxyy=hOAM图42思路分析。（1）此题的解题思路能否可以转化为我们已学过的类似问题？（2）如何确定点D的位置？（3）要设动点D的坐标，需先求什么？为什么？（4）求出直线AC的解析式后，如何用参量表示点D的坐标？（5）怎样进行分类讨论？分别列出相等的边.（6）如何表示出三边长？（7）若所列方程无解，则说明什么？ 3作品展示、互评与经验分享.【题后反思】这类题目解法的一般思路是：假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的结果，就做出存在的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。（三）提升训练训练3：如图5，

8、直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，对称轴为x=1的抛物线经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D. 点P是该抛物线上的一个动点，过点P作PEx轴于点E，分别交线段BD、BC于点F、G.设点P的横坐标为t(1t3).EyOxCAABPDEyOxCAABPDFG图5（2）当FCG为等腰三角形时，求t的值.思考：点F、G与点P有什么关系？ 如何设点F、G的坐标？ 如何表示三边长？设计意图：让学会学生审题，思考，独立完成.【方法小结】解题步骤：（1）设动点坐标（用只含一个字母的式子表示）（2）标记相关动点坐标(利用几何性质，找出关系量，或代入函数的解析式.) （3）用代数式表示有关

9、线段的长度.（4）列方程(用等量关系).（5）解方程（检验），写出点的坐标. 联想知识、方法，会用转化思想把复杂问题转化为简单问题，基本图形. 合理用数形结合思想，将压轴题中复杂的数量关系简单化、具体化.联想与转化（学会“拆题”）是解压轴题的关键。 （四）归纳总结1. 解题思路：分类讨论，建立方程，解方程.2. 解题步骤：（1）设动点坐标（用只含一个字母的式子表示）（2）标记相关动点坐标(利用几何性质，找出关系量，或代入函数的解析式.) （3）用代数式表示有关线段的长度.（4）列方程(用等量关系).（5）解方程，检验，写出点的坐标.3. 数学思想方法：转化化归、分类讨论、数形结合和方程建模等数

10、学思想.4.解存在性问题的一般思路是：假设存在推理论证得出结论。注：列方程后，方程是否有解（或符合题意）决定了等腰三角形是否存在 .当堂测评如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由2. 已知抛物线yax 2bxc（a0）的图象经过点B（12，0）和C（0，6），对称轴为x2（1）求该抛物线的解析式：CAByxOPDQ（2）点D在线段AB上且ADAC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段CAByxOPDQ（3）在（2）的结论下，直线x1上是否存在点M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由【板书设计】二次函数中等腰三角形的存在性问题 归纳总结：若是等腰三角形 ，则 解题思路：AB解题步骤：AB 数学思想方法：教学反思：本节课采用“先学后教，当堂测评