人教版高中数学《三角函数》全部教案新部编本

教师学科教案

[20-20学年度第一学期]

任教学科：

任教年级：________________

任教老师：________________

XX市实验学校

r\•

第四章三角函数

第一教时

教材：角的概念的推广

目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角"''象

限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”一一它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相

对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，

它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术

中都有广泛应用。

二、角的概念的推广

1回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种

概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

2•讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”

“始边”往往合于x轴正半轴

3•“正角”与“负角”一一这是由旋转的方向所决定的。

记法：角或可以简记成

4•由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1角有正负之分女口：=210=150=660

2角可以任意大

实例：体操动作：旋转2周（360X2=720）3周（360X3=1080）

3还有零角一条射线，没有旋转

三、关于“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，

角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几

象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

例如：30390330是第I象限角30060是第W象

限角

585H80是第川象限角2000是第U象限角

四、然至逃相闹阚期知可以表示成一个0到360的角与k(kZ)个周角的和

1.观察：390,330角，它们的终边都与30角的终边相同

390=30+360(k1)

330=30360(k1)30=30+0X360

(k0)

1470=30+4X360(k4)

1770=305X360(k5)

3.所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合

S|k360,kZ

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和

4.例一(P5略)

五、小结：1角的概念的推广

用“旋转”定义角角的范围的扩大

2“象限角”与“终边相同的角”

六、作业：P7练习1、2、3、4

习题L41

第三教时

教材：弧度制

目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R

---对应关系的概念。

过程：一、回忆(复习)度量角的大小第一种单位制一角度制的定义。

二、提出课题：弧度制一另一种度量角的单位制

它的单位是rad读作弧度

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧

度的角。

如图：A0B=lrad

AOC=2rad

周角=2rad

1.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是

2•角的弧度数的绝对值±（1为弧长，r为半径）

r

3.用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

、角度制与弧度制的换算

抓住：360-2rad•••180=rad

1=----rad0.01745rad

180

180

lrad57.305718

例一把6730'化成弧度

113

解：6730'67•6730'rad67rad

218028

3

例二把rad化成度

5

3

解：rad-180108

55

注意几点：1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进

行；

2.今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省

略女口：3表示3radsin表示rad角的正弦

3.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9

表）

4.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是

弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应

的关系。

任意角的集合实数集R

四、练习（P11练习12）

例三用弧度制表示：1终边在X轴上的角的集合2终边在y轴

上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合

解：1终边在X轴上的角的集合$Ik,kz

2终边在y轴上的角的集合S2

k

312kz

终边在坐标轴上的角的集合S3亍

例四老《精编》P118-1194、5、6、7

五、小结：1­弧度制定义2•与弧度制的互化

六、作业：课本P11练习3、4P12习题4.22、3

1

10例三）利用弧度制证明扇形面积公式S，只其中I是扇

2

R是圆的半径。

圆心角为1rad的扇形面积为：一R2“

第四教时

教材：弧度制（续）

目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。

过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

口答《教学与测试》P101-102练习题巩1—5并注意紧扣,

固弧度制的概念，然后再讲P101例二

、由公式：||11r|比相应的公式简单

„180

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积

比较这与扇形面积公式一要简单

360

例二《教学与测试》P101例一直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对

证:的弧长⑴一如图:

(2)165

440

r-10也(cm)

33

165165_Lrad

⑵：面㈣)

12

11

A)

72

4gl已知扇形A0B的周长是6cm，该扇形的中心

例二如图，

角是1弧度，求该扇形的面积。

解：设扇形的半径为弧长为I,则有

2r16rL1r

•••扇形的面积rl2(cm)2

sin

例四计算.tanl

45-54

解：卜

-sinsin45

1.5rad57.301.85.958557,

tan1.5ta蓝557'14.12

例五将下列各角化成0到2的角加上2k（kZ)的形式

315

解：19

3

315453602

4

例六求图中公路弯道处弧AB的长I（精确到1m）图中长度单位为：m

解：：60

3

•••1R—453.141547(m)

3

三、练习：P116、7《教学与测试》P102练习6

四、作业：课本P11-12练习&9、10

P12-13习题4.25—14

《却学匕涮然》P1027、S不臾老题

第五教时

教材：任意角的三角函数（定义）

目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解

角与=2k+(kZ)

的同名三角函数值相等的道理

过程：一、提出课题：讲解定义：

1•设是一个任意角，在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)

rJX2ly2:22

则p与原点的距离\-xy0(图示见P13略)

2.比值叫做的正弦siny

记作：sin一

rV

的余弦记作:cosxr

比值-叫做r

比值-叫做的正切记作:tan_y

XX

X

比值叫做的余切记作:cotX

yy

比值-叫做的正割r

记作：k

Xsec-

比值匚叫做的余割记作：r

vv

注意突出几个问题：①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的

同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

②实际

上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。(下

面有例子说明)

③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④r0,而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数

的符号应由象限确定(今后将专题研究)

⑤定义域：

ysinRycot

ycosRysec

ytank?8Z)yesc

k(kZ)

k尹Z)

k(kZ)

3-13=2J13

sincos

1313

tancot

,13.13

sec------esc-

23

例二求下列各角的六个三角函数值

(3)-(4)

2

解：⑴(2)⑶的解答见P16-17

⑷当=一时xo,y

2

sin—=1cos—=0tan一不存在cot—=0

2222

sec不存在CSC

2

cos匹的值域

例三《教学与测试》P103例一求函数y

cosxtanx

解：定义域：COSX0-x的终边不在x岫上

又Itanx0•x的终边不在y轴上

•当x是第I象限角时>x0,y0cosx=|cosx|tanx=|tanx|

,x0,y0|cosx|=cosx|tanx|=

y=2

*oyo|cosx|=cosx|tanx|=tanx

例四《教学与测试》P103例二

⑴已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值

⑵己知角的终边经过P(4a,3a),(a0)求2sin+cos的值

解：(D由定义：r5sin=3cos-=4•2sin+cos二2

555

⑵若a0r5a则sin_3cos=4•2sin+cos:_2

555

若a0r5a贝Usin—3cos4•2sin+cos工

555

三、小结：XE义及有关注意内谷

四、作业：课本P19练习1P20习题4.33

《教学与测试》P1044、5、6、7

第六教时

教材：三角函数线

目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数

的定义域、值域有更深的理解。

过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”

二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：

用单位圆中的线段表示三角函数值

三、新授：

2•介绍（定义）“单位圆”一圆心在原点0,半径等于单位长度的圆

3•作图：（课本P14图4T2）

此处略.......................................

设任意角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于

P,坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B

两点

过P（x,y）作PMx轴于机过点A（1,0）作单位圆切线，与

角的终边或其反向延长线交于T,过点B（0,1）作单位圆的切线，与角的终边或其

反向延长线交于S

4•简单介绍“向量”（带有“方向”的量一用正负号表示）“有向线段”（带有方向

的线段）

例：有向线段OM,OP长度分别为x,y

OM=x时若x0OM看作与x轴同向OM具

方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。

有正值x

00M看作与x轴反向

0M具有负值x

MP

cosOM有向线段

r

MP,OM,AT,BS分别称作

MPAT“十

tay-~T；AT角的正弦线，余弦线，正

丫OMOA

A

5.sin

切线，余切线

OMBS

cot-BS

MPOB

四、例一.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

.2匕.42tan―

sin与sin2tan与3cot-与

as353

如图可知:

24

tan„tan—

35

2COt-4

3cot-

0至360的角5

例二利用单位圆寻找适合下列条件的

1sin>12tan

例三求证：若0।一时，则sin1sin2

2

证明:

五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线

六、作业：课本P15练习P20习题4.32

补充：解不等式：（x[0,2））

1sinx>2tanx1

2

3sinxw

第七教时

教材：三角函数的值在各象限的符号

目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号并由此熟练地

处理一些问题。

过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值

sin(1)

例二(P18例四)求证角,勾第三象限角的充分条件是()

ta(2)

二、提出课题然后师生共同操作：

1.第一象限：.x0,y0

sin0,cos0,tan0,:ot0,sec0,cs0

第二象限0.x0,y0•

s,0,cos°，［a0,cot0,sec0,esc0

第一三象限:.x0,y0•

s,0,cos°，「ao,cot0,sec0,esc0

第四象限:.x0,y0•

si0,cos0,tao,cot0,sec0,esc0

记忆法则：

sin,_

为正全正

CSC

cos

tan为正为正

cotsec

2.由定义：sin(+2k)=sincos(+2k)=costan(+2k)=tan

C(Dt(+2k)=cosec(+2k)=sec

esc(+2k)=csc

、例一(P18例三略)

证：必要性：

若是第三象限角，则必有sin0,tan0

充分性：

若⑴⑵两式成立•••若sin0则角的终边可能位于第三、第四象限，也

可能位于y轴的非正半轴

若tan0,则角的终边可能位于第一或第三象限

•.•⑴⑵都成立二角的终边只能位于第三象限

•••角为第三象限角

例三（Pl9例五略）

四、练习:

1•若三角形的两内角，满足sincos0,则此三角形必为....................(B)

A:锐角三角形B:钝角三角形C:直角三角形D:以上三种情

况都可能

2•若是第三象限角，则下列各式中不成立的是............................

(B)

A:sin+cos0B:tansin0

cos

3已知是第三象限角且2。，问I是第几象限角?

解：T(2k1)(2k1)-(kZ)

(kZ)则尹第二或第四象

C:coscot0D:cotesc0

限角

cos则-是第二或第三象限角

又•・・2

----必为第二象限角

2

4.已知-1,贝U为第几象限角？

2

sin2

1

解:由一1•••sin20

2

…2k22k+(kZ)

-••为第一或第三象限角

五、小结：符号法则，诱导公式

六、作业：课本P19练习4,5,6

P20-21习题4.36-10

第八教时

教材：同角三角函数的基本关系

目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运用进行三

角函数式的求值运算。

过程：

2222

1.sin90cos902.sin30cos303.tan45cot45

一、复习任意角的三角函数的定义：计算下列各式的值:

.3

sinsin

4.156.tan—cot-

366

cosc

34

22sin

引导猜想：sincos1tantancot

1

cos

2.理论证明：（采用定义）

x•22

1xy2r且sinrnccinnnc1

sinyxyry

2当k尹Z）时tan

cosrY

k且k时cotHl

2XV

1♦导入新课：弓I导学生观察上述题目的结果（并像公式“方向”引导）

3•推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有：sec2tan21

22

CSCcot1

tan这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有：

cos

COS1

3当_____cot

sin

tancot1这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：

escsin1seccos1

4.点题：二种关系，八个公式，称为同角二角函数的基本关系

5.注意：

sin

如：sin23cos231?------tan—

2

cos

1“同角”的概念与角的表达形式无关，

2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。

3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用

“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上,

至多只要用一次）。

三、例题：

例一、（课本P25例一）略

注：己知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解例二、（课本P25例二）略

注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论例三、（课本P25例三）略

实际上：sec2tan21即cos2—------

1tan2

.当为第一、四象限角

cos呼2

1当为第二、三象限角.1tan2

tan

当为第一、四象限角

..1tan2

COStan

当为第二、三象限角

.1tan2

而sintancos

四、小结：三种关系，八个公式

五、作业：P27练习1—4

P27-28习题4.41—4

第九教时

教材：同角三角函数的基本关系（2）一—求值

目的：要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一些

三角运算的基本技巧。

过程:

二、复习同角的三角函数的基本关系:

练习：已知cosm（m0,m1）,求的其他三角函数值。

解：若在第一、二象限，则

1

1.2

sin.1mCSC——

m.1m2

八2

m

t«nrnt

m1m2

若在第三、四象限，贝u

11

si♦n[21m

m.1m2

2

m+m

tancot

m2

,1sin440

六、例一、（见P25例四)化简：

解：原式.1sin2(36080).1sin280cos280cos80

例二、已知sin2cos,求一及sin-2sincos的值

5sin2cos

解:sin2costan2

sin4costan421

5sin2cos5tan2126

.2-2sin2sincostan2tan426

9eir»22----------

sincostan1415

强调（指出）技巧：分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式

2“化1法”

例三、已知sincos"求tancot及sincos的值。

3

解：将sincos‘两边平7弓,得：sicos

n

1

tancot

sincos

(sicos尸2sincos

n

sincos广

5

25

例四、已知tanco

t12,

J3cot,3

求tancot,tacottansicos

in

2625

解：由题设：tan2coV2

144

625

tacot

n.14412

25175

tan2cot2(tacot)(tacot

nn12144

,2

tan*'cot(tacot)(tacottancot)

里(型1);1934825

12144像1441728

12

sincos.12sincos

25

1：25

(tancotsicos

sincos12n

3

例五、已知sincos(0求tan及sin3cos的值。

由12n

cos,0得：cos

sin25

由cos\249得：sicos

(sinn

)25,

sicossi

联立：nntan

sicoscos

n

33⑷33391

sincos

42m5)125

cosm3

si是第四象限角,

n5

2m)2

解：•*sin2+cos2

〜5m

tan的值。

化简，整理得：m（m8）0mi0,m28

3

当m二。时，sincos,（与是第四象限角不合）

125

当m=8时，sin12tan

13135

七、小结：几个技巧作业：《课

八、课练》P12例题推荐1、2、3

P13课时练习&7、8、9、10

P14例题推荐1

《精编》P3514

第十教时

教材：同角三角函数的基本关系⑶一一证明《教学与测试》第50课

目的：运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。

过程：

三、复习同角的三角函数的基本关系：

例：（练习、《教学与测试》P25例一）

己知sincos求sincos的值。

4

OR25•9

cossincos

解：（sincos）即：12sin1632

16

九、提出课题：利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简）

例一、（见P25例四）化简：.1sin2440

解：原式1sin2(36080).1sin-80cos280cos80

1sin1sin

例二、己知是第三象限角，化简（《教学与测试》

\1sin\1sin

例二)

hm(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)

解：尿工I,、

_(1sin,)(1sin).(1sin)(1sin)

2(1sin尸

(1sin)1sin1sin

1sinsincos|cos|

是第二象限角，cos

原式Asi

2tan（注意象限、符号）

n