江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024-2025学年第一学期高三年级期初学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的运算可得.【详解】因，故，故选：C2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“，”的否定是“，”.故选：D.3.设集合，，若，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根据，可得或，分别确定，再进行验证.【详解】因为，所以.所以或.若，此时，，不成立，故不合题意；若，此时，，成立.故.故选：C4.已知a，b，c为实数，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】通过不等式的性质和特例可排除ACD，根据不等式的性质判断B的真假.【详解】对A：当时，；当时，.故A错误；对B：因为，所以，故成立.故B正确；对C：当时，.故C错误；对D：若，则.故D错误.故选：B5.已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由对任意满足得出的对称轴为直线，结合函数在上单调递减得出在上单调递增，根据对称性及单调性求解不等式即可．【详解】因为对任意满足，所以的对称轴为直线，又函数在上单调递减，所以在上单调递增，所以，解得，故选：B．6.若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分情况求不等式的解集，再根据集合的包含关系求参数的取值范围.【详解】设不等式的解集为，，因为不等式成立的充分条件是，，所以，所以，所以.由，所以.由可得.故选：D7.已知函数，若，则的最小值为（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先分析函数的单调性，结合，可得，再结合基本不等式可求的最小值.【详解】因为（），所以.当时，f′x>0，所以在0,+∞又.由，所以.所以，当且仅当时等号成立.故选：A8.已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则（）A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两边求导得，再根据为奇函数得，由对称性得出是周期为2的周期函数，即可求解．【详解】由两边求导得，，即，因为为奇函数，所以，即，所以关于中心对称，所以，变形得，且，由，得，变形得，所以，则，所以是周期为2的周期函数，则，故选：A．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.的一个必要不充分条件是B.若集合中只有一个元素，则C.若，使得成立是假命题，则实数m的取值范围为D.已知集合，则满足条件的集合N的个数为4【答案】AD【解析】【分析】利用不等式性质及充分条件、必要条件的定义判断A；举例说明判断B；求出的范围判断C；利用集合的包含关系判断D.【详解】对于A，由，，得；反之若，而，不能判断与的大小，因此的一个必要不充分条件是，A正确；对于B，当时，集合只有一个元素，B错误；对于C，，使得成立，即，成立，而函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，因此，由，使得成立是假命题，得，C错误；对于D，由，得，由，得有4个子集，因此集合N的个数为4，D正确.故选：AD10.已知，，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由基本不等式得，即可判断A；由基本不等式得，即可判断B；由基本不等式及指数运算即可判断C；根据基本不等式“1”的妙用，得出，即可判断D．【详解】对于A，，即，当且仅当，即时等号成立，故A错误；对于B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C正确；对于D，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故D正确；故选：BCD．11.设函数，则下列说法正确的是（）A.若函数在上单调递增，则实数a取值范围是B.若函数有3个零点，则实数a的取值范围是C.设函数的3个零点分别是，，（），则的取值范围是D.任意实数a，函数在−1,1内无最小值【答案】BCD【解析】【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组求解即可判断A；由函数有3个零点，得当时有2个零点，当时有1个零点，列出不等式组，求解即可判断B；根据B的结论，结合韦达定理，函数单调性即可求得的范围，即可判断C；分类讨论的值，求得当时，函数的最小值与时的最小值比较，即可判断D．【详解】对于A，若函数在上单调递增，则，解得，故A错误；对于B，若函数有3个零点，则当时，有2个零点，所以，解得，当时，有1个零点，则，所以，故B正确；对于C，设函数的3个零点分别是，，（），由B知，，，令，解得，即，设，，得在上单调递减，所以，故C正确；对于D，当时，单调递增，，当时，，对称轴为直线，①当，即时，，无最小值；②当，即时，，若有最小值，则，解得，与矛盾，故无最小值；综上任意实数a，函数在内无最小值，故D正确；故选：BCD．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上．12.已知随机变量，且，则的值为________．【答案】##【解析】【分析】根据题意，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.【详解】由随机变量，且，可得，根据正态分布曲线的对称性，可得.故答案为：.13.设，，，则a，b，c的大小关系为________（用“＜”连接）．【答案】【解析】【分析】通过比较和的大小关系即可.【详解】因为，所以所以又因为，所以所以，所以故答案为：14.若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为______．【答案】【解析】【分析】利用同构法先把不等式化为，构造函数，利用函数单调性，转化为，再分离参数得，再求函数的最大值即可.【详解】由，又，所以.设，则，所以在0,+∞上单调递增.所以（）.设（），则，由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以.因为存在正实数x，使得不等式成立，所以.即的最大值为：.故答案为：【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）分别求，；（2）已知集合，若，求实数a的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由指数及对数函数单调性求解集合，再根据集合间的运算求解即可；（2）分类讨论，当和两种情况，根据，即可求解．【小问1详解】∵，，∴，∴，∴．【小问2详解】因为集合，，当时，，满足条件；当时，，则，即，综上所述，．16.已知函数．（1）若不等式的解集为，求的表达式；（2）解关于x的不等式．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由不等式的解集为，得出1，2是方程的根且，代入求解即可；（2）分类讨论，当，，，，，结合一元一次不等式及一元二次不等式的解法求解即可．【小问1详解】∵的解集为，∴1，2是方程的根且，∴，∴，∴．小问2详解】当时，，∵，∴，∴；当时，，即，即，当时，，∴或；当时，，（ⅰ）当时，无解；（ⅱ）当时，；（ⅲ）当时，；综上所述：当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．17.随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线，某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取500人进行调查，得到如下表的统计数据：周平均锻炼时间少于6小时周平均锻炼时间不少于6小时合计60岁以下8012020060岁以上（含60）60240300合计140360500（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？（2）现从60岁以上（含60）的样本中按周平均锻炼时间是否少于6小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取3人中周平均锻炼时间不少于6小时的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式及数据：，其中．α0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）能认为周平均锻炼时长与年龄有关联（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）由表中数据结合所给公式计算，再与标准表中对比即可得到结果；（2）结合题意列出X所有可能的取值，分别计算其概率，列出分布列，再由期望公式求出期望即可；【小问1详解】提出假设：周平均锻炼时长与年龄无关联，由列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联；【小问2详解】抽取的10人中，周平均锻炼时长少于6小时的有（人），不少于6小时的有（人），则X所有可能的取值为1，2，3，所以，，，所以随机变量X的分布列为：X123P所以数学期望．18如图，四棱锥中，底面，，，．（1）若，证明：平面；（2）若，且二面角的正弦值为，求．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意推出，再由线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，由空间角的向量求法，列式计算，可得.答案小问1详解】因为平面，而平面，所以，又，，平面，所以，而平面，所以．因为，所以，又平面，故，又平面，平面，所以平面．【小问2详解】以，为，轴，过点作平面垂直的线为轴，建立如图所示空间直角坐标系：令，则，，，，，，设平面的法向量n1=x1设，则，，所以，设平面CPD的法向量为，所以，设，则，，所以，因为二面角A-CP-D的正弦值为，则余弦值为，又二面角为锐角，所以，解得，所以19.设函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”．（1）判断函数和是否为R上的“一阶有界函数”，并说明理由：（2）若函数为R上的“一阶有界函数”，且在R上单调递减，设A，B为函数图象上相异的两点，直线的斜率为k，试判断“”是否正确，并说明理由；（3）若函数为区间上的“一阶有界函数”，求a的取值范围．【答案】（1）是R上的“一阶有界函数”；理由见解析（2）正确，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）根据“一阶有界函数”的定义即可判断选项；（2）根据函数为上的“一阶有界函数”，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合函数单调递增的式子，化简判断；（3）根据函数为区间上的“一阶有界函数”，求得．构造函数，利用导数判断函数的单调性，求得最小值从而求得．【小问1详解】，在R上恒成立，故是R上的“一阶有界函数”；，，当时，，故不是R上的“一阶有界函