专题02 数列（五大题型）-【中职专用】中职高二数学题型精析通关练（高教版2023·拓展模块一下册）（解析版）01

专题02数列题型一数列的概念【频次0.4，难度0.3】例1已知数列，则数列前9项的下四分位数是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根据题意，数列前9项从小到大排列后，下四分位数为第3项，可解.【详解】根据题意，数列前9项为，对其从小到大排列为，因为，则下四分位数为第3项，为.故选：B变式1若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据新定义可证得数列是等比数列，从而可利用等比数列通项求解问题.【详解】因为正项数列为“对奇数列”，所以，则，即数列是公比为2的等比数列，又因为，所以，故选：C.例2已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，数列中，且是递增数列，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】A【分析】求得p成立时，q成立时，可得结论.【详解】若双曲线的渐近线与圆没有公共点，则点到直线的距离大于1，即，解得；若数列是递增数列，则，所以p是q的充分不必要条件．故选：A.变式2在数列中，若（），则的值为（

）A．1 B．3 C．9 D．27【答案】D【分析】由数列的递推式，分别求出的值即可得出结果.【详解】当时，，当时，，所以，当时，，所以.故选：D.题型二等差数列的概念【频次0.7，难度0.5】例3设正项等比数列的公比为，若成等差数列，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式计算即可.【详解】因为成等差数列，所以，所以，则，解得或（舍去）．故选：B.变式3已知等比数列的公比为q，则“”是“，，成等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】由题意，根据等差中项的应用和等比数列的通项公式化简可得，解出q的值，结合充分、必要条件的定义即可下结论.【详解】若，，成等差数列，由等差中项的性质可得，化简可得，且，则，解得或，所以“”是“，，成等差数列”的充分不必要条件．故选：A．例4在等差数列中，，，则（

）A． B． C．1 D．4【答案】D【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】等差数列中，，，所以，解得.故选：D变式4已知等差数列公差为1，，则（

）．A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】利用等差数列的性质可得，可求结论.【详解】设等差数列公差为，则，由等差数列公差为1，，所以则，所以.故选：B.例5在等差数列中，，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根据等差数列项的性质计算即可.【详解】因为是等差数列，所以,所以.故选：D.变式5已知等差数列满足，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】因为，所以，所以.故选：B.例6已知等差数列的前项和，若，则；前项和的最大值为．【答案】16【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，所以，，当时，的最大值为,故答案为：，16.变式6等差数列中，，则．【答案】0【分析】根据等差数列的通项公式求解即可．【详解】等差数列中，，则公差，则．故答案为：0.题型三等差数列的前n项和公式【频次0.7，难度0.5】例7设等差数列的前项和，若，，则（

）A．18 B．27 C．45 D．63【答案】C【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案.【详解】由题意得成等差数列，即成等差数列，即，解得.故选：C变式7已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（

）A． B． C．15 D．30【答案】D【分析】根据韦达定理得到，利用等差数列求和公式及等差数列性质进行计算.【详解】，是方程的两根，所以，又是等差数列，所以其前20项和为．故选：D例8已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为．【答案】【分析】根据等差中项的性质可得，再结合等差数列的单调性可得解.【详解】由已知数列为等差数列，则，又，所以，则，所以数列为递减数列，则当时，，当时，，所以当时，取得最大值，故答案为：.变式8等差数列中，，，则．【答案】260【分析】根据等差数列求和公式求解即可．【详解】利用等差数列求和公式：可得，．故答案为：260.例9若是数列的前n项和，且，则.【答案】21【分析】直接由的定义计算．【详解】．故答案为：21．变式9等差数列前项和分别为，且，则.【答案】/【分析】通过等差数列性质其前项和，结合已知可得，即可解出答案.【详解】由等差数列性质可得，解得，故答案为：.例10已知数列的前项和，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据当时，可以求出数列的通项公式，再验证当时，首项是否适合；再根据，结合对数与指数互化公式进行求解即可；（2）化简数列的通项公式，利用分组求和的方法，结合等比数列前项和、裂项相消法进行求解即可.【详解】（1）由，当时，，时，对上式也成立，∴；又，，.（2），.变式10设等差数列{an}的前n项和Sn，若S8＝100，S16＝392，求S24.【答案】876【分析】由数列为等差数列，得到，，成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，把已知的，代入，可得出的值．【详解】在等差数列中，，，，，成等差数列，即，则．题型四等比数列的概念【频次0.7，难度0.5】例11已知数列是等比数列，若，是的两个根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程韦达定理得出，得出，再利用等比数列的性质，计算出结果；【详解】若，是的两个根，则，因为数列是等比数列，，.故选：C.变式11在等比数列中，，，则（

）A．14 B．16 C．28 D．32【答案】D【分析】根据等比数列性质得到，求出答案.【详解】由等比数列性质可得，即，解得.故选：D例12在等比数列中，若，则（

）A．6 B．9 C． D．【答案】B【分析】利用等比数列性质得到，进而求出答案.【详解】由等比数列性质得，又，所以.故选：B变式12已知等比数列{an}的公比，则等于（）A． B． C． D．9【答案】D【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，即可求解.【详解】等比数列{an}的公比，则．故选：D．例13在等比数列中，，，则（

）A． B．4 C． D．无法确定【答案】C【分析】借助等比数列性质计算即可得.【详解】在等比数列中，，所以，又，，同号，所以.故选：C．变式13在等比数列{}中，．(1)求{}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和Sn．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知得，，再求出公比，进而写出通项公式；（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n项和公式求Sn．【详解】（1）由题设，，则的公比，所以.（2）由（1）知：，所以.例14设等比数列的前n项和为．(1)若公比，，，求n；(2)若，求公比q．【答案】(1)6(2)1或【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得.（2）根据已知条件列方程，化简求得.【详解】（1）依题意，由于，所以两式相除得，.（2）依题意，即，，解得或.变式14记等差数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解；(2)根据等比数列求和公式即可求解．【详解】（1）由题可知，解得，，∴；（2）∵，∴，∴是首项为3，公比为9的等比数列，∴﹒题型五等比数列的前n项和公式【频次0.7，难度0.5】例15记等比数列{}的前n项和为.若，则=（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据条件得到，，从而求出公比，利用求和公式求出答案.【详解】因为，所以，因为，所以，所以公比，所以故选：C变式15在公比为的等比数列中，前项和，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先利用和的关系求出和，再求其公比.【详解】由，得，，所以，，则.故选：C.例16已知数列的前项和为，且，则A．512 B．1025 C．256 D．1024【答案】A【解析】由数列的前项和与第项的关系可得，代入求解即可.【详解】解：由数列的前项和为，且，则，故选：A.变式16数列的前n项和为，若，则的值为（

）A．2 B．3 C．2017 D．3033【答案】A【分析】利用计算.【详解】，故选A.例17在等比数列{an}中，(1)已知，求前4项和；(2)已知公比，前5项和，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前项和公式即可得解；（2）根据等比数列前项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可得解.【详解】（1）设公比为，由，得，所以，所以；（2）由，得，所以.变式17已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】(1)设等差数列的公差为d，根据题意列出关于和d的方程组求解即可；(2)证明是等比数列，根据等比数列前n项和公式即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，，成等比数列，，解得；（2）由(1)得，，，，是首项为4，公比为4的等比数列，.例18已知数列的前项和为，且满足，（）．（1）求的值，并求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求（）．【答案】（1）;（2）.【分析】（1）用代入法求出，再根据与的关系，得递推关系，再求出，注意验证1时是否符合求出的通项公式.（2）用裂项相消法求和.【详解】解：（1）由，，令得，令得，即.由………①则当时，……②①②可得，得，得，故是首项为，公比为的等比数列，则，整理得，当时，，也符合公式，故（）,即数列的通项公式.(2),故，即.变式18已知等比数列的首项，前项和满足.（1）求实数的值及通