相似与位似-浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编（解析版）

三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）

专题16相似与位似

选择题（共8小题）

1.（2021•绍兴）如图，树AB在路灯。的照射下形成投影AC,已知路灯高PO=5,〃，树影AC=3,〃，树48

与路灯。的水平距离AP=4.5M,则树的高度A8长是（）

310

C.-mD.一m

23

【分析】利用相似三角形的性质求解即可.

［解析］'.'ABZ/OP,

：./\CAB^/\CPO,

.ABAC

POPC

.AB3

•・5-3+4.5’

：.OP=2(〃z),

故选：A.

2.（2021•温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心,位似比为2：3,点A,8的对应点分

别为点4',B'.若A3=6,则A'B'的长为（）

甲乙

A.8B.9C.10D.15

【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可.

【解析】•・•图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3,AB=6,

••—fL、|J—,

AfBf3AtBr3

解得，4'B'=9,

故选：B.

3.（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形4BC。如图所示.过点。作。尸

的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连结CG,延长3E交CG于点若AE=2BE,则2的

BH

值为（）

【分析】如图，过点G作GTLCF交CF的延长线于T,设BH交CF于M,AE交DF于N.设BE=AN

=CM=O尸=a,则AE=3M=CF=£>N=2a,想办法求出8H,CG,可得结论.

【解析】如图，过点G作GTJ_C尸交C尸的延长线于T,设8H交C尸于例，AE交。F于M设8E=AN

=CM=DF=a,则4E=8Af=C■尸=£W=2a,

•.•四边形ENFM是正方形，

:.NEFH=NTFG=45°,NNFE=NDFG=45°,

\"GTLTF,DF1DG,

：.NTGF=ZTFG=ZDFG=NDGF=45°,

：.TG=FT=DF=DG=a,

：.CT=3a,CG=V(3a)2+a2=V10a,

'：MH//TG,

:./\CMHs/\CTG,

：.CM：CT=MH：TG=1：3,

17

BH—2a+，

.CGVlOa3V10

••-7=,

BH-a7

3

故选：C.

4.(2020•嘉兴)如图，在直角坐标系中，△043的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点。为位

似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为］的位似图形△OCD,则点C的坐标为()

44

A.(-1,-1)B.(一点-1)C.(-1,-pD.(-2,-1)

【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把4点的横纵坐标都乘以-g即可.

【解析】•••以点。为位似中心，位似比为3

而A(4,3),

点的对应点C的坐标为(一$-1).

故选：B.

5.(2020•温州)如图，在RtZXABC中，NACB=90°,以其三边为边向外作正方形，过点C作CRLFG

于点R,再过点C作尸QLCR分别交边。E,BH于点P,Q.若QH=2PE,PQ=15,则CR的长为()

A.14B.15C.8V3D.6V5

PCCEEP1

【分析】如图，连接EC,CH.设48交CH于J.证明△£(7尸S/V/CQ,推出一=—=—=一，由

CQCHHQ2

产。=15,可得PC=5,C0=1O,由ECCH=\t2,推出4cBC=\：2,设BC=2a,证明

四边形A4QC是平行四边形，推出A3=CQ=10,根据AC12+BC2=A32,构建方程求出।4即可解决问题.

【解析】如图，连接EC,CH.设A8交CR于J.

I四边形ACDE,四边形3C/H都是正方形，

：.NACE=NBCH=45°,

VZACB=90°,ZBCI=90°,

/.ZACE+ZACB+ZBCW=180°,NACB+NBC7=180°

C,。共线，A,C,/共线，E、C、”共线，

'：DE//AI//BH,

：.NCEP=NCHQ,

■:/ECP=NQCH,

:./XECPs^HCQ,

.PCCEEP1

…CQ~CH~HQ~2

・"。=15,

:.PC=5,CQ=10,

,:EC：CH=\-.2,

J.AC-.BC=1：2,设AC=a,BC=2a,

\"PQLCR,CR1AB,

：.CQ//AH,

•:AC"BQ,CQ//AB,

•••四边形ABQC是平行四边形，

，A8=CQ=10,

'：AC2+BC1=AB2,

.•.5/=100,

:.a=2店（负根已经舍弃）,

，AC=2后，8c=4后

11

"：-AC-BC=

22

275x4/5,

/.CJ=^^=4

9

\JR=AF=AB=]()f

：・CR=CJ+JR=14,

故选：A.

6.（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5,且三角板的一边

长为8c7九则投影三角板的对应边长为（）

A.20cmB.\0cmC.ScmD.3.2cm

【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.

【解析】设投影三角尺的对应边长为xcm,

•・•三角尺与投影三角尺相似，

**•8：x=2：5,

解得x=20.

故选：A.

7.（2019•温州）如图，在矩形ABC。中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG,边EF交CD于点H,

在边BE上取点M使8M=BC,作MN〃BG交.CD于点、L,交FG于点N,欧凡里得在《几何原本》中

利用该图解释了（a+b）（a-b）=«2-b2,现以点尸为圆心，FE为半径作圆弧交线段。，于点P,连接

EP,记的面积为Si,图中阴影部分的面积为S2.若点A，L,G在同一直线上，则占的值为（）

【分析】如图,连接AL,GL,PF,利用相似三角形的性质求出a与b的关系，再求出面积比即可.

【解析】如图，连接AL,GL,PF.

由题意：S矩形AMZJ尸S阴=/~f，PH=Va2—b2,

丁点A,L,G在同一直线上，AM//GN,

：.AAMLsAGNL,

,AMML

•・GN~NL

•_a_+_b_____a_-_b

•.=,

a-bb

整理得a=3h,

.S]~(a-b)-y/a2-b22ab2VI

22

**S2-a-b-8b24'

故选：C.

8.(2019•杭州)如图，在△ABC中，点£>,E分别在AB和4c上，DE//BC,M为BC边上一点(不与点

B,C重合），连接AM交。E于点N,则（)

DNNEDNNE

BM~MCMC~BM

•-rDNAN一「NEAN,DNNE

【分析】先证明△”什△口〃侍到病=—,再证明△ANES4MC侍y到菽=—,则嬴=—,

从而可对各选项进行判断.

【解析】,:DN〃BM,

：.XADNsAABM、

.DNAN

-AM'

■:NE//MC,

.NEAN

99MC~AM"

.DNNE

BM一MC

故选：c.

二.填空题（共4小题）

9.（2021•嘉兴）如图，在直角坐标系中，△A3C与△。。石是位似图形，则它们位似中心的坐标是（4,

2)

【分析】根据图示，对应点所在的直线都经过同一点，该点就是位似中心.

【解析】如图，

点G（4,2）即为所求的位似中心.

故答案是：（4,2）.

10.（2020•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格

点的三角形称为格点三角形.如图，已知Rt^ABC是6X6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与

对△ABC相似的格点三角形中.面积最大的三角形的斜边长是」立

：：\A：

力…7

BC

【分析】根据的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为1：2,在6义6的网格图形中

可得出与RtAABC相似的三角形的短直角边长应小于4,在图中尝试可画出符合题意的最大三角形，从

而其斜边长可得.

【解析】：在中，AC=1,BC=2,

：.AB=V5,AC：BC=1：2,

与RtZ\ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2,

若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8,但在6X6网格图形中，最长线段为6VL但此时画出

的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4,

在图中尝试，可画出£）E=dT5,£F=2V10,。尸=5位的三角形，

..叵_还_亚—4

,1-2-V5-VW，

/./XABCsADFE,

.•.NZ）EF=NC=90°,

,此时△OE尸的面积为：710x2^10^2=10,为面积最大的三角形，其斜边长为：5夜.

故答案为：5声.

11.（2019•台州）如图，直线八〃/2〃/3,A,B,C分别为直线/i，储/3上的动点，连接AB,BC,AC,线

段AC交直线/2于点D设直线/1，/2之间的距离为如直线/2,/3之间的距离为小若/ABC=90°,

m225

BD=4,且一=则m+n的最大值为二~.

n3-3一

B7n

【分析】延长48交八于E,根据已知条件得到==——，求得CE=10,ZCBE=90°,设/7i=Zr,〃

CEm+n

=3JG构造以GE1为直径的半圆，则点8在其弧上运动，易知8GW8'G'=5,得到3xW5,由加+〃=

5烂易于是得到结论.

【解析】延长A8交八于E,

..7712

■=1

n3

"。=4,

ACE=10,

•・・/A8C=90°,

：.ZCBE=90°,

设/H=2x,n=3xf

构造以CE为直径的半圆，则点8在其弧上运动，易知BGWB'G'=5,

即3xW5,

525

/.x<,.,加+〃=5烂芋

,25

*'•tn+n的最大值为二~.

3

故答案为：y

12.（2020•温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABC。，为了估测场地大小，在笔直的河岸/上依次取点£,

F,N,使AE，/,BF_U,点、N,A,8在同一直线上.在尸点观测A点后，沿尸N方向走到M点，观测

C点发现N1=N2.测得15米,FM=2米,MN=8米，NANE=45°,则场地的边AB为15鱼米,

BC为207^米.

【分析】根据已知条件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE=EN=15+2+8=25（米），BF

=FN=2+8=10（米），于是得到27=15鱼（米）；过C作C”_U于从过B作PQ〃/交AE

于P,交CH于Q,根据矩形的性质得到PE=8尸=。，=10,PB=EF=15,BQ=FH,根据相似三角形

的性质即可得到结论.

【解析】VAE±Z,BF±l,

；/ANE=45°,

.•.△ANE和是等腰直角三角形，

：.AE=EN,BF=FN,

；.EF=15米，FM=2米，MN=8米，

；.AE=EN=15+2+8=25（米），BF=FN=2+8=IO（米）,

：.AN=25&（米），8N=10&（米），

:.AB=AN-BN=\5a（米）；

过C作C4_L/于”，过8作PQ〃/交月£于P,交CHTQ,

：.AE//CH,

・•・四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，

；・PE=BF=QH=10,PB=EF=15,BQ=FH,

VZ1=Z2,NAEF=NCHM=90°,

/.XNEFsXCHM,

.CHAE255

••"M~EF~IS~3

・••设M〃=3x,CH=5x,

9：CQ=5x-10,BQ=FH=3x+2,

•；NAPB=NABC=NCQB=90°,

・•・ZABP+ZPAB=/ABP+/CBQ=90°,

：.ZPAB=ZCBQ9

：.△APBs^BQC,

・APPB

••筋=而

・*_15

3x+2Sx—10

，x=6,

：.BQ=CQ=20,

：.BC=20/2（米），

方法二：VZANE=45°,

・・・NABP=450,

：.ZCBQ=45°,

:・CQ=BQ,

9：CQ=5x-10,BQ=FH=3x+2,

/.5x-10=3x+2,

，x=6,

：.BQ=CQ=20f

:.BC=20a（米），

故答案为：15近，20V2.

D

三.解答题（共9小题）

13.（2021•杭州）如图，锐角三角形A8C内接于。0,NA4c的平分线AG交。0于点G,交BC边于点F,

连接BG.

（1）求证：AABG^AAFC.

（2）已知A8=〃，AC=AF=b,求线段FG的长（用含“，人的代数式表示）.

（3）已知点E在线段AF上（不与点A,点F重合），点。在线段AE上（不与点A,点E重合），ZABD

=NCBE,求证：BG2=GE,GD.

【分析】（1）根据NBAC的平分线AG交OO于点G,知NBAC=N胡C,由圆周角定理知/G=NC,

即可证△ABGs/\AFC；

（2）由（1）知竺=竺，由AC=A尸得AG=A8,即可计算FG的长度；

AFAC

（3）先证△OG8S/\8GE,得出线段比例关系，即可得证8G2=GE・GO.

【解答】（1）证明：平分/8AC,

/84G=ZFAC,

又,••NG=NC,

△ABGs—

（2）解：由（1）知，△ABGS/\AFC,

.ABAG

•.,

AFAC

*：AC=AF=hf

A8=AG=〃，

：.FG=AG-AF=a-b；

(3)证明：VZCAG=ZCBG,NBAG=NCAG,

:./BAG=/CBG,

•//ABD=NCBE,

：.NBDG=NBAG+/ABD=/CBG+/CBE=NEBG,

又,：NDGB=/BGE,

:ADGBS^BGE,

GDBG

•••~_—,

BGGE

：.BG2=GE'GD.

14.(2020•衢州)如图，△ABC内接于。。，AB为。。的直径，A8=10,AC=6,连接OC,弦A。分别交

OC,8c于点E,F,其中点£是4。的中点.

(1)求证：ZCAD=ZCBA.

(2)求OE的长.

【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可.

CEAC

（2）证明△AECSABCA,推出一=—,求出七C即可解决问题.

ACAB

【解答】（1）证明：・・工£：=。区。。是半径，

：.AC=CD,

：.ZCAD=ZCBA.

(2)解：・.・A8是直径,

ZACB=90°,

'：AE=DE,

：.OC±AD,

ZAEC=90°，

ZAEC=ZACB,

△\ECs[XBCX、

CEAC

AC-AB"

CE6

6"10,

CE=3.6,

1

OC=^AB=5,

OE=OC-EC=5-3.6=1.4.

15.(2020•宁波)【基础巩固】

(1)如图1,在△ABC中，。为AB上一点，ZACD=ZB.求证：

【尝试应用】

(2)如图2,在EL43C。中，E为BC上一点,F为CD延长线上一点,/BFE=NA.若3/=4,BE=3,

求AD的长.

【拓展提高】

(3)如图3,在菱形A8CO中，£是A8上一点，尸是△48C内一点，EF//AC,AC=2EF,ZEDF=1z

BAD,AE=2fDF=5,求菱形ABC。的边长.

DrDCr

(2)证明△BF£'S/\8CF,得出比例线段——=—,BF2=BE-BC,求出BC,则可求出AO.

BCBF

(3)分别延长EF,0c相交于点G,证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC=EG,CG=AE,ZEAC

EDEF

=NG,证明△EDFs/^EGD,得出比例线段——=—,则可求出。G,则答案可求出.

EGDE

【解析】(1)证明：ZA=ZA,

：./XADC^/XACB,

ADAC

•.—~'=,>

ACAB

：.AC2=AD'AB.

(2)•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.AD=BC,ZA=ZC,

又•：NBFE=乙4,

二NBFE=ZC,

又,：ZFBE=/CBF,

:.丛BFES/\BCF,

.BFBE

BCBF

:.BF2=BE・BC,

:四边形A8CZ）是菱形，

J.AB//DC,NBAC=；NBA£>,

'JAC//EF,

四边形AEGC为平行四功形,

：.AC=EG,CG=AE,ZEAC=ZG,

1

VNEDF=^ZBAD,

:・/EDF=/BAC,

:./EDF=NG,

又；/DEF=/GED,

；.4EDFs/\EGD,

.EDEF

••1~~~~~~>

EGDE

：.DE1=EF-EG,

又,：EG=AC=2EF,

：.DE1=2EF1,

：.DE=y[2EF,

「DGDE

又；--=—•

DFEF

:.DG=V2DF=5V2,

：.DC=DG-CG=5&-2.

16.(2020•金华)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别

过08,OC的中点。，E作AE,A£>的平行线，相交于点F,已知08=8.

(1)求证：四边形AEFO为菱形.

(2)求四边形AEF。的面积.

(3)若点P在x轴正半轴上(异于点。)，点。在y轴上，平面内是否存在点G,使得以点A,P,Q,

G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由.

备用图

【分析】(I)根据邻边相等的四边形是菱形证明即可.

(2)连接DE,求出△AQE的面积即可解决问题.

(3)首先证明AK=3£>K,①当AP为菱形的一边，点。在x轴的上方，有图2,图3两种情形.②当

AP为菱形的边，点。在x轴的下方时，有图4,图5两种情形.③如图6中，当AP为菱形的对角线时,

有图6一种情形.分别利用相似三角形的性质求解即可.

【解答】(1)证明：如图1中，

图1

'JAE//DF,AD//EF,

四边形AEFD是平行四边形，

；四边形A80C是正方形，

：.AC=AB=OC=OB,乙4CE=/AB£>=90°,

,:E,。分别是。C,08的中点，

：.CE=BD,

.♦.△CAE也△ABO(SAS),

：.AE=AD,

二平行四边形尸。是菱形.

(2)解：如图1中，连接

,*,S^ADB—SAACE=2x8X4=16,

SA£OD=1X4X4=8,

S^AED=SE方形ABOC-2SAABD-S^EOD=M-2X16・8=24,

•♦S菱形AEFO=2SA4EE>=48.

(3)解：如图1中，连接AR设AF交DE于K,

9：OE=OD=4,OK1DE,

:.KE=KD,

0K=KE=KD=2五,

・・・AO=8&

・・・AK=6&,

:,AK=3DK,

①当A尸为菱形的一边，点。在工轴的上方，有图2,图3两种情形：

如图2中，设AG交PQ于"过点”作轴于M交AC于M,设AM=f.

菱形以QGs菱形ADFE,

:.PH=3AH,

，：HN〃OQ,QH=HP,

：.ON=NP,

・・・〃N是△尸。。的中位线，

：.ON=PN=S-1,

■:/MAH=NPHN=900-NAHM,ZPNH=ZAMH=90°,

:AHMAsAPNH,

,AMMHAH1

…NH~PN~PH~3

:.HN=3AM=3i,

:.MH=MN-NH=8-3t,

*：PN=3MH,

：.S-t=3(8-3r),

•*-t=2.

：.OP=2ON=2(8-力=12,

:.P(12,0).

如图3中，过点”作轴于/,过点P作PN_Lx轴交出于M延长B4交/N于M.

AMMHAH1

---=----=—=一，设MH=i,

HNPNHP3

:.PN=3MH=3t,

AB=3f-8,

・・•川是△OP。的中位线，

・,.OP=2IH.

:.H1=HN,

A8+r=9/-24,

，=4,

AOP=2HI=2(8+r)=24,

：.P(24,0).

②当AP为菱形的边，点。在x轴的下方时，有图4,图5两种情形：

如图4中，QH=3PH,过点H作“M_LOC于M,过。点尸作「MLM”于M

,•♦M”是△Q4C的中位线，

1

：.MH=^AC=49

同法可得：丛HPNs丛QHM,

.NPHNPH1

~MQ~QH~3

.14

；.PN=^HM=§,

4

：・OM=PN=/设HN=f,则MQ=33

U：MQ=MC,

c4

•-3z=8-w，

・20

../=可

：.OP=MN=4+t=~,

.•.点P的坐标为（至，0）.

9

如图5中，QH=3PH,过点H作“MLv轴于M交力C于/,过点。作QMLHM于M

；由是AACQ的中位线，

：.CQ=2HI,NQ=CI=4,

同法可得：APMHSAHNQ,

114

---

333

设PM=r,则HN=3r,

,:HN=HI,

.4

••3f=8+可,

28

于

o

・•・OP=OM-PM=QN-PM=4-t=全

③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形:

图6

过点“作轴于于点M,交48于/,过点、P作PN上HM于N.

x轴，AH=HP,

：.AI=IB=4f

；・PN=1B=4,

同法可得：APNHsAHMQ,

.P/VHNPH1

HM~MQ~HQ~3

:.MH=3PN=\2,HI=MH-M/=4,

•・•川是△AB尸的中位线,

:・BP=21H=8,

0P=0B+BP=\6,

：.P(16,0),

568

综上所述，满足条件的点P的坐标为(12,0)或(24,0)或(工，0)或%,0)或(16,0).

99

17.(2020•杭州)如图，在△ABC中，点。，E,尸分别在A8,BC,AC边上，DE//AC,EF//AB.

(1)求证：/\BDEs4EFC.

,AF1

(2)设n———)

FC2

①若BC=12,求线段BE的长；

②若AEFC的面积是20,求AABC的面积.

【分析】（1）由平行线的性质得出/£）EB=NFCE,ZDBE=ZFEC,即可得出结论；

BEAF1

（2）①由平行线的性质得出而=—=即可得出结果；

pr2

②先求出二=不易证△EFCS/^BAC,由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果.

【解答】（1）证明：・・・OE〃4C,

:./DEB=NFCE,

■:EF〃AB,

:・/DBE=/FEC,

:•△BDEs^EFC；

(2)解：@9：EF//AB,

.BEAF_1

EC~FC~2

■;EC=BC-BE=12-BE,

.BE1

'*12-FE-2

解得：BE=4；

AF1

@V—=一，

FC2

.FC2

••=一,

AC3

•:EF"AB,

:•△EFCSXBAC,

・•."=(t)2=(2)2=4

S“BC4c39

99

S^ABC=0/\EFC=4x20=45.

18.(2020•杭州)如图，在正方形ABC。中，点E在3C边上，连接AE,ND4E的平分线AG与CQ边交

CE

于点G,与2c的延长线交于点F.设丁=入(A>0).

EB

(1)若A8=2,入=1,求线段CF的长.

(2)连接EG,若EGJ_A凡

①求证：点G为CO边的中点.

②求入的值.

【分析】（1）根据48=2,入=1,可以得到8E、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长,

再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到E尸的长，从而可以得到线段CF的长；

（2）①要证明点G为8边的中点，只要证明AAOG丝△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得

到△AQG丝的条件，从而可以证明结论成立；

②根据题意和三角形相似，可以得到CE和仍的比值，从而可以得到人的值.

【解析】（1）:在正方形A8C£＞中，AD//BC,

:.ZDAG=ZF9

又YAG平分ND4E,

・•・ZDAG=ZEAGf

：・4EAG=4F,

：.EA=EFf

VAB=2,ZB=90°，点E为3C的中点，

：.BE=EC=\,

：.AE=7AB2+BE?=V5,

：.EF=V5,

：.CF=EF-EC=y/5-1；

(2)①证明：・：EA=EF,EGLAF,

:.AG=FG9

在△AOG和△FCG中

(ZD=NGCF

\^AGD=乙FGC，

MG=FG

：.^ADG^/XFCG(A4S),

:・DG=CG,

即点G为。的中点；

②设CD=2a,则CG=a,

由①知，CF=DA=2a,

VEG±AF,ZGCF=90°,

AZEGC+ZCGF=90°,ZF+ZCGF=90°,ZECG=ZGCF=90°,

・・・NEGC=NF,

:.AEGCS^GFC,

.ECGC

•,GC~FCf

,:GC=a,FC=2a,

££_1

•e•~~~=~,

FC2

,EC1

••=一,

GC2

113

EC=*BE=BC-EC=2a-]a=乃,

19.(2019•绍兴)如图，矩形ABCQ中，AB=a,BC=b，点M,N分别在边AB,CD上，点E,F分别在

边BC,ADk,MN,EF交于点P,记％EF.

(1)若a：6的值为1,当MNLEF时，求k的值.

(2)若a：b的值为今求我的最大值和最小值.

(3)若上的值为3,当点N是矩形的顶点，ZMPE=60°,MP=EF=3尸E时，求a：。的值.

【分析】(1)作E”_L8c于”，MQJ_C。于Q,设“交A/N于点O.证明△"/£：且△MQN(A4S),即

可解决问题.

(2)由题意：2a^MN<V5a,a^EF<V5a,当MN的长取最大时，E尸取最短，此时人的值最大最大值

l_2%

=V5,当MN的最短时，E/7的值取最大，此时攵的值最小，最小值为《一.

MNEFPNPF

(3)连接FN,ME.由k=3,MP=EF=3PE,推出——=—=3,推出——=—=2,tljAP/VF^A

PMPEPMPE

NFPN

PME,推出一=—=2,ME//NF,设PE=2勿，则尸产=4m，MP=6/n,NP=T2m,接下来分两种情

MEPM

形①如图2中，当点N与点。庖合时，点M恰好与8重合.②如图3中，当点N与C重合，分别求解

即可.

【解析】(1)如图1中，

D

BHEC

图1

作EH1.BC于H,MQ_LC£)于Q,设EF交MN于点O.

,・♦四边形ABC。是正方形，

：.FH=AB,MQ=BC,

■:AB=CB,

:・FH=MQ,

•：EF1MN,

:・/EON=90°,

,：ZECN=90°,

・・・NMNQ+NCEO=180°,NFEH+/CEO=T8U°

:"FEH=NMNQ,VZEHF=ZMQN=90°,

:.丛FHE%AMQN(AAS),

:.MN=EF,

：.k=MN：EF=l.

(2),・Z：b=\：2,

••b=2a,

由题意：2aWMNWy/5afaWEFW炳a,

・••当MN的长取最大时，E尸取最短，此时女的值最大最大值=遮，

275

当MN的最短时，EF的值取最大，此时攵的值最小，最小值为《一,

(3)连接FMME.

<k=3,MP=EF=3PE,

MNEF

•••___—_____—_Ja,

PMPE

PNPF

：.—=—=2,・.・NFPN=/EPM,

PMPE

:ZNFsRPME,

NFPN

，，—，“一2ME//NF,

ME一PM-

设PE=2，〃，则尸F=4"?,MP=6m,NP=l2m,

①如图2中，当点N与点。重合时，点M恰好与8重合.作于”.

图2

■:NMPE=NFPH=60°,

.PH=2m,FH=2V3m,DH=\Om,

,aABFHV3

"b~AD~HD~5'

②如图3中，当点N与C重合，作EHLMN于H.则PH=m,HE=V3w,

图3

HC=PH+PC=13m,

43

lanNHCE=^=聆讨

ME//FC,

ZMEB=NFCB=NCFD,

ZB=ZD,

△MEBs^CFD,

aCD2MB273

b~BC~BC~13

V32-73

综上所述，a：b的值为、■或黄.

20.（2019•台州）如图，正方形ABCZ）的边长为2,E为AB的中点，P是区4延长线上的一点，连接PC交

AO于点凡AP=FD.

(1)求—的值；

AP

(2)如图1,连接EC,在线段EC上取一点M,使EM=EB,连接MF,求证：MF=PF；

(3)如图2,过点E作EMLCD于点N,在线段EN上取一点Q,使AQ=AP,连接BQ,BN.将△AQB

绕点A旋转，使点。旋转后的对应点。'落在边4。上.请判断点B旋转后的对应点B是否落在线段BN

上，并说明理由.

图1图2

APAF

【分析】(1)设AP=FD=a,通过证明△AFPs△。尸c,可得—=——，可求AP的值，即可求AF的

CDFD

值，则可求解；

(2)在CD上截取£)H=AF,由“SAS”可证△B4F丝△”£>「，可得PF=FH,由勾股定理可求CE=EP=

V5,可得CM=C”=J5-1,由“SAS”可证△尸CM丝△尸CH,可得FM=FH=PF；

(3)以A原点，A8为y轴，A力为x轴建立平面直角坐标系，用待定系数法可求8N解析式，即可求

用坐标，计算的长度，即可判断点B旋转后的对应点8是否落在线段&V上.

【解析】(1)设4尸=尸£>=〃，

.-2-a,

•.•四边形ABC力是正方形

：.AB//CD

：./\AFP^/\DFC

.APAF

CD-FD

即g=—

2a

V5—1

：.AP=FD=y[5-],

：.AF=AD-DF=3-V5

.AFV5-1

"AP~2

(2)在CO上截取£W=AF

,：AF=DH,ZPAF=ZD=90°,AP=FD,

：./\PAF^/\FDH(SAS)

：.PF=FH,

'：AD=CD,AF=DH

：.FD=CH=AP=y/5-\

•点E是AB中点，

：.BE=AE^l=EM

：.PE=PA+AE=V5

EC1=B修+Bd=1+4=5,

：.EC=