高考数学 试题汇编 第二节 平面向量的坐标运算与数量积 理（含解析）

第二节平面向量的坐标运算与数量积坐标形式下的向量运算考向聚焦平面向量的坐标运算是高考的一个重点,主要考查方向有:(1)围绕线性运算、共线向量及数量积的运算命题;(2)通过坐标运算证明两个向量平行等位置关系.此外平面向量的坐标运算作为工具也时常出现在解析几何、三角函数等问题中.本节内容多以选择、填空题考查,难度较小,所占分值5分左右1.(年重庆卷,理6,5分)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于()(A)5 (B)10 (C)25 (D)10解析:∵a⊥c,∴2x-4=0,∴x=2,∵b∥c,∴1×(-4)=2y,∴y=-2,∴a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),∴|a+b|=32+(-答案:B.2.(年广东卷,理3,5分)若向量BA→=(2,3),CA→=(4,7),则(A)(-2,-4) (B)(3,4)(C)(6,10) (D)(-6,-10)解析:BC→=BA→+AC→=BA答案:A.3.(年北京卷,理10)已知向量a=(3,1),b=(0,-1),c=(k,3).若a-2b与c共线,则k=.

解析:a-2b=(3,3),∵a-2b与c共线,∴3=3k,∴k=1.答案:14.(年陕西卷,理11)已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=.

解析:a+b=(1,m-1),∵(a+b)∥c,又c=(-1,2),∴1×2-(-1)×(m-1)=0,得m=-1.答案:-1若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则有x1y2-x2y1=0.向量的数量积及应用考向聚焦数量积是高考的重点也是热点考查内容,考查方向主要体现在:(1)直接利用数量积定义计算求解;(2)利用数量积求两向量的夹角;(3)利用平面向量的数量积解决有关向量垂直问题;(4)利用数量积求解向量模的问题.另外在解答题中,向量的数量积与三角函数交汇,与解析几何交汇也是高考命题的关注点,前4种情况往往以客观题的形式出现,难度在中档以下,所占分值为5分左右备考指津训练题型:(1)数量积公式的直接应用以及数量积公式的变形应用,特别需要关注数量积的两种表达形式;(2)数量积在与其他知识相结合时常常通过数量积的运算以后,已知条件才明朗5.(年天津卷,理7,5分)已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足AP→=λAB→,AQ→=(1-λ)AC→,λ∈R,若BQ→·CP(A)12 (B)(C)1±10解析:BQ→·CP→=(BA→+AQ→)·(=[BA→+(1-λ)AC→]·[CA→+=BA→·CA→-λAB→2+(λ-1)AC→2+λ=2×2×cos60°-4λ+4(λ-1)+λ(1-λ)×2×2cos60°=-2+2λ-2λ2=-32∴4λ2-4λ+1=0,∴(2λ-1)2=0,∴λ=12.故选答案:A.6.(年湖南卷,理7,5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,AB→·BC→=1,则BC=((A)3 (B)7 (C)22 (D)23解析:如图,在△ABC中,因为AB→·=|AB→||BC→|cos(所以|BC→|cosB=-1由余弦定理可得32=22+BC2-2·2·BC·cosB=4+BC2+2,BC2=3,BC=3,故选A.答案:A.在△ABC中,要注意两向量的夹角与三角形内角的关系,另外要注意与正、余弦定理结合使用.7.(年广东卷,理8,5分)对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβ=α·ββ·β,若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角θ∈(0,π4),且ab和ba都在集合{n2|n(A)12 (B)1 (C)32解析:由题意知ab=a·bb·b=|a||bba=b·aa·a=|b||a|cosθ|a以上两式相乘,得:cos2θ=14n1n2∵θ∈(0,π4),∴22<cosθ<1,12<cos∴12<14n1n2<1,2<n1n又n1,n2∈Z,∴n1=1,n2=3或n1=3,n2=1,由|a|≥|b|>0,知:ab≥ba>0,∴n1=3,∴ab=n12=答案:C.新概念题,以向量为载体,考查三角函数、集合、不等式,是一道难度较大的考题,综合性强.8.(年广东卷,理3)若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)等于()(A)4 (B)3 (C)2 (D)0解析:∵a∥b且a⊥c,∴b⊥c,从而a·c=0,b·c=0,∴c·(a+2b)=c·a+c·2b=0.故选D.答案:D.9.(年全国新课标卷,理10)已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题p1:|a+b|>1⇔θ∈[0,2πp2:|a+b|>1⇔θ∈(2π3,p3:|a-b|>1⇔θ∈[0,π3p4:|a-b|>1⇔θ∈(π3,π其中的真命题是()(A)p1,p4 (B)p1,p3 (C)p2,p3 (D)p2,p4解析:|a+b|>1⇔|a+b|2>1⇔a2+b2+2|a||b|cosθ>1,∴cosθ>-12又∵θ∈[0,π],∴θ∈[0,2π∴p1为真命题,故p2为假命题.又|a-b|>1⇔|a-b|2>1⇔a2+b2-2|a||b|cosθ>1,∴cosθ<12又∵θ∈[0,π],∴θ∈(π3,π∴p4为真命题,故p3为假命题.故选A.答案:A.10.(年辽宁卷,理10)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为()(A)2-1 (B)1 (C)2 (D)2解析:由题意(a-c)·(b-c)≤0可化为a·b-a·c-b·c+c2≤0,即a·c+b·c≥1,所以|a+b-c|=a=3-2(答案:B.11.(年辽宁卷,理8)平面上O,A,B三点不共线,设OA→=a,OB→=b,则(A)|a|(C)12|解析:∵a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|cos∠AOB,∴cos∠AOB=a·S△OAB=12|a||b|sin∠=12|a||b|1-cos=12答案:C.12.(年新课标全国卷,理13,5分)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=.

解析:主要考查数量积及向量的模的运算.∵<a,b>=45°,|a|=1,|2a-b|=10,∴(2a-b)2=10即4|a|2-4|a||b|cos45°+|b|2=10,∴|b|2-22|b|-6=0,∴|b|=32.答案:3213.(年江苏数学,9,5分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB→·AF→=2,则AE→·BF→解析:本题考查平面向量的数量积的坐标计算.以A点为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立直角坐标系,则AB→=(2,0),AE→=(设F(t,2),AF→∵AB→·AF→=2t=2,∴AE→·BF→=(2,1)(1-2,2)=答案:2本题给出了向量问题的新的背景,立意新颖.14.(年北京卷,理13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DE→·CB→的值为;DE→·DC→解析:由题意,可建立如图所示的坐标系,则D(0,0),C(0,1),B(1,1),A(1,0),E(1,y),且0≤y≤1.∴DE→·CB→=(1,y)·(1,0)=1+0DE→·DC→=(1,y)当y=1时,DE→·DC答案:11运用坐标法处理数量积是一种比较简单的方法.15.(年浙江卷,理15,4分)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则AB→·AC→=解析:不妨设△ABC为等腰三角形,则AM⊥BC.AB→·AC→=(AM→+MB→)·(AM→+MC→)=答案:-1616.(年上海数学,理12,4分)在平行四边形ABCD中,∠A=π3,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足|BM→||BC→|=|解析:设|BM→||BC→|因为AM→=AB→+BM→=ABAN→=AD→+DN→=BC→-x所以AM→·AN→=(AB→+xBC→)(BC→=AB→·BC→-xAB→2+AB→2+xBC→2-x=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,因为0≤x≤1,所以2≤AM→·AN→答案:[2,5]17.(年安徽卷,理14,5分)若平面向量a,b满足|2a-b|≤3,则a·b的最小值是.

解析:本题考查向量的模和数量积的相关知识.|2a-b|≤3⇔4a2+b2≤9+4a·b,4a2+b2≥4|a|·|b|≥-4ab⇒9+4a·b≥-4a·b⇔a·b≥-98∴a·b的最小值是-98答案:-918.(年安徽卷,理13)已知向量a、b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为.

解析:由(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=1+2cos<a,b>-8=-6知cos<a,b>=12,故a与b的夹角为π答案:π19.(年江苏卷,10)已知e1,e2是夹角为2π3的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若a·b=0,则实数k的值为解析:∵a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2)=ke12+(1-2k)e1·e2-2e22=k|e1|2+(1-2k)|e1||e2|·cos<e1,e2=k+(1-2k)×cos2π=2k-52∴k=54答案:520.(年天津卷,理14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA→+3PB→|的最小值为解析:法一:如图建立平面直角坐标系,设C(0,b),则B(1,b),又A(2,0),设P(0,y),则PA→+3PB∴|PA→+3PB→|2=25+(3b-4y)∴当3b-4y=0,即y=34|PA→+3PB→|∴|PA→+3PB法二:设DP→=xDC→(0<x<1),则PC→∴PA→=DA→-DP→=DAPB→=PC→+CB→=(1-x)DC∴PA→+3PB→=52∴|PA→+3PB→|2=254DA→2+2×52×(3-4x)DA→·DC当且仅当x=34时取“=”∴|PA→+3PB答案:521.(年江苏卷,15)在