2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）第十八章 正比例函数和反比例函数（8个知识归纳+15类题型突破）（原卷版）

第十八章正比例函数和反比例函数（8个知识归纳+15类题型突破）1.掌握变量与函数的概念；2.掌握函数的定义域与函数值；3、掌握正比例函数的概念、图象和性质；4、掌握反比例函数的概念、图象和性质；知识点1.变量与函数（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．（3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．知识点2.函数的定义域与函数值1．函数自变量的取值范围（定义域）自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．2．函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．知识点3.正比例函数（1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数.（2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式.知识点4.正比例函数的图像1.一般地，正比例函数(是常数,)的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；2.图像画法：列表、描点、连线．知识点5.正比例函数的性质当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大．（2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小．知识点6.反比例函数如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中称也叫做比例系数． 3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．知识点7.反比例函数的图像和性质1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支．2、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． 3、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． 4、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交．知识点8.用待定系数法求反比例函数解析式将点坐标代入反比例函数的解析式即可求到反比例函数的解析式；题型一常量与变量1．（2022下·河南·八年级校考期末）球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（

）A．变量是M，R；常量是 B．变量是R，T；常量是C．变量是M，T；常量是3，4， D．变量是M，R；常量是M2．（2022下·河南开封·八年级统考期末）汽车在匀速行驶过程中，路程、速度、时间之间的关系为，下列说法正确的是（

）A．、、都是变量 B．、是变量，是常量C．、是变量，是常量 D．、是变量、是常量巩固训练：1．（2022下·河南驻马店·八年级统考期中）在圆的周长中，常量与变量分别是(

)A．是常量，、是变量 B．是常量，、、是变量C．、是常量，是变量 D．是常量，、是变量2．（2020下·河北·八年级统考期中）如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为，一边长为，那么在60，s，a中，变量有个．3．（2022下·山东青岛·七年级校联考期中）如图，圆柱的高是，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生了变化.（1）在这个变化中，自变量是______，因变量是______；（2）写出体积与半径的关系式；（3）当底面半径由变化到时，通过计算说明圆柱的体积增加了多少.题型二函数的概念与解析式1．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·广东茂名·八年级统考期中）下表列出了一次实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度b与下落高度d的关系，下列关系式中能表示这种关系的是（）5080100150…25405075…A． B． C． D．巩固训练1．（2023下·广东河源·七年级统考期中）对于球体的体积公式，下列说法中正确的是（）A．π是变量 B．是常量 C．V，π，R都是变量 D．V，R是变量2．（2023上·广西梧州·八年级校考阶段练习）一列火车以的速度匀速行驶，写出它行驶的路程与时间之间的函数表达式为．3．（2023上·广西梧州·八年级校考阶段练习）一个游泳池内有水，现打开排水管以每小时的排出量排水．(1)写出游泳池排水内剩余水量排水时间之间的函数表达式；(2)写出自变量的取值范围；(3)开始排水后，游泳池内还有多少水？(4)当游泳池内还剩水时，已经排水多少时间？题型三求自变量的值与取值范围1．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中）小明在劳动技术课中要制作一个周长为的等腰三角形，则底边长，腰长的函数表达式和自变量的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）要使式子有意义，字母的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：，解得：，故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，函数自变量取值范围，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．巩固训练1．（2023上·安徽合肥·八年级期中）函数中的自变量的取值范围是(

)A． B． C．且 D．且2．（2023上·上海浦东新·八年级统考期中）函数，则＝．3．（2023上·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）已知一长方体无盖的水池的体积为，其底部是边长为正方形，经测得现有水的高度为，现打开进水阀，每小时可注入水．(1)写出水池中水的体积与时间之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；(2)5小时后，水的体积是多少立方米？(3)多长时间后，水池可以注满水？题型四从函数的图象获取信息1．（2023上·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）张昊到离家800米的体育馆练习羽毛球，走路用了10分钟，然后用20分钟时间练习羽毛球，练完球后跑步回家，用了5分钟．下图中，正确描述张昊离家时间和离家距离关系的是（）．A． B． C．2．（2023上·河北保定·八年级统考期中）一辆快车和一辆慢车按相同的路线从地行驶到地，所行驶的路程与时间的函数图象如图所示，下列说法不正确的是（

）

A．快车追上慢车需小时 B．慢车的速度是千米时C．，两地相距千米 D．快车比慢车早到小时巩固训练1．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，甲从地匀速骑共享单车到地，乙从地匀速骑电动车到地，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动，甲、乙两人离地的距离与他们行驶时间之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（

）

A．两地的距离为 B．甲的速度为C．乙的速度为 D．乙运动到达目的地2．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为（分钟），所走的路程为（米），与之间的函数关系如图所示．下列说法错误的结论有．①小明中途休息用了20分钟②小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米③小明在上述过程中所走的路程为6600米④小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度

3．（2023下·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．(1)填空：折线表示赛跑过程中的路程与时间的关系，赛跑的全程是米．(2)兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？(3)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？(4)兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？题型五动点问题的函数图象1．（2023上·广西崇左·八年级校联考阶段练习）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、B为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）

A．

B．

C．

D．

2．（2023上·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为2cm/s，终点都是点．若，则的面积与运动时间之间的函数关系的图象大致是（

）

A．

B．

C． D．

巩固训练1．（2022上·陕西榆林·八年级校考期中）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图2所示，则矩形的面积是（

）

A．35 B．24 C．60 D．842．（2021下·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点P从B点出发，以每秒2cm的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按B→C→D→E→F→A的路线移动，相应的的面积与点P的运动时间的图象如图②所示，且．当时，．

3．（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）如图，在中，，，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针度转至，连接．已知，设为，为．小明根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）

(1)请利用直尺和量角器，在草稿纸上根据题意画出准确的图形，并确定自变量的取值范围是________；(2)通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：则表中的值为__________；(3)建立平面直角坐标系，通过描点、连线，画出该函数的完整图象．

(4)结合画出的函数图象，解决问题：①线段长度的最小值为__________；②当，，三点共线时，线段的长为__________．题型六函数的三种表示方法1．（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）：温度（℃）0102030声速（m/s）318324330336342348下列说法中错误的是（

）A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为时，5s内声音可以传播1740mD．温度每升高，声速增加6m/s2．（2022上·黑龙江大庆·七年级校考开学考试）对于关系式，下列说法：①x是自变量，y是因变量，5是常量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤巩固训练1．（2023上·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考阶段练习）如图，与的关系式为（）

A． B． C． D．2．（2023下·广东河源·七年级统考期中）一个弹簧秤不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：cm）与所挂重物质量（单位：kg）的函数解析式是．3．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过吨，按每吨元收费．如果超过吨，未超过的部分仍按每吨元收费，超过部分按每吨元收费．设某户每月用水量为吨，应收水费为元．(1)分别写出当每月用水是未超过吨和超过吨时，与之间的函数表达式；(2)若该城市某用户月份和月份共用水吨，且月份的用水量不足吨，两个月一共交水费元，求该用户月份用水多少吨？题型七正比例函数的定义1．（2023上·陕西榆林·八年级校考期中）当是正比例函数时，的值为（

）A． B．0 C．1 D．32．（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）若函数是正比例函数，则m的值为（

）A．1 B． C． D．0巩固训练1．（2022上·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）若关于的函数是正比例函数，则，应满足的条件是（

）A．且 B．且 C．且 D．且2．（江西省南昌县三江学校2023-2024学年八年级上学期期中联考数学试题）若函数是关于的正比例函数，则的平方根为．3．（2023上·广西梧州·八年级校考阶段练习）若与成正比例，且时，．(1)写出与之间的函数表达式；(2)当时，求的值；(3)当时，求的值．题型八正比例函数的图象与性质1．（2023上·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）已知正比例函数的图象如图所示，则的值可能是(

)

A． B． C．0 D．12．（2022上·陕西西安·九年级校考期中）已知点在正比例函数的图象上，当时，则有，那么m的取值范围是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2022上·福建宁德·八年级统考期末）当时，正比例函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2022下·广东广州·八年级校考期中）正比例函数经过象限；随的增大而；若函数图象经过点，则的值为．3．（2022上·安徽安庆·八年级校考期中）已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)已知点在该函数的图像上，且，求点的坐标．题型九根据反比例函数的定义求参数1．（2023上·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考阶段练习）若函数是反比例函数，则m的值是（

）A．2 B． C． D．2．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）已知反比例函数，点，都在其图象上，下列说法不正确的是（

）A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大C．图象经过点 D．若，则巩固训练1．（2023·江苏淮安·校考二模）反比例函数的图象经过、两点，则的值为（）A． B． C． D．2．（2023下·新疆喀什·九年级新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）若函数是关于的反比例函数，则．3．（2022上·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考期中）已知函数为反比例函数．(1)求该反比例函数解析式；(2)当时，求x的取值范围．（直接写出结果）题型十已知双曲线分布的象限求参数范围1．（2023上·四川达州·九年级校联考期中）已知反比例函数的图像过第二、四象限，则的取值可能是（）A．2 B． C．1 D．02．（2023上·安徽马鞍山·九年级马鞍山八中校考期中）若反比例函数的图象在第二，四象限，则的取值范围是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如果反比例函数（m是常数）的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）已知函数，当自变量的取值为，函数值y的取值范围为．3．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限．(1)求k的取值范围；(2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小．题型十一待定系数法求反比例函数解析式1．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）若反比例函数的图象经过点，则的值是（

）A． B． C． D．2．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）已知反比例函数过点，则的值为（

）．A．9 B． C．3 D．巩固训练1．（2023·江苏南京·九年级南京市第十三中学校考自主招生）已知，轴，轴，中点为，反比例函数过点A、D，反比例函数过点，求（

）

A．5 B．6 C．7 D．82．（2023下·浙江·八年级统考期末）已知点在反比例函数的图象上，将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是3．（2023上·北京石景山·九年级校考期中）已知反比例函数图象经过．(1)求反比例函数解析式；(2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小．题型十二已知反比例函数的增减性求参数1．（2023上·江苏南通·九年级统考期中）若反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023上·广东广州·九年级广东广雅中学校考阶段练习）已知反比例函数的图象上有两点，当时，，则m的取值范围是（）A． B． C． D．巩固训练1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）反比例函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2023·陕西咸阳·校考三模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是．3．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）【提出定义】已知y是x的函数，当时，函数值；当时，函数值，若（i为正整数），则称为该函数的i倍区间．如，函数中，当时，，当时，，，所以是函数的3倍区间．【理解内化】（1）若是函数的i倍区间，则；（2）已知是函数（k≠0）的i倍区间（i为正整数），点、是函数（k≠0）图象上的两点．①试说明：；②当，时，求的面积；【拓展应用】（3）已知是函数的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为，求a、k的值．题型十三反比例函数的k值意义1．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图是反比例函数和在x轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象交于、两点，点在轴上，则的面积为（）A．3 B．6 C． D．2．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄二十三中校考阶段练习）如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点A，，连接，，已知的值为，则的面积为（

）

A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过第一象限点，且的面积为，则＝（

）．

A．6 B．3 C．9 D．122．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为．3．（2022下·河北保定·九年级保定市第十七中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，，反比例函数图象的一支经过的中点，且与交于点．

(1)求点的坐标；(2)求反比例函数的解析式：(3)四边形的面积为________．题型十四实际问题与反比例函数1．（2023上·北京房山·九年级统考期中）已知蓄电池两端电压为定值，电流与的函数关系为．当时，，则当时，的值为（

）A． B． C． D．2．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（

）．

A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是C．当时， D．当时，巩固训练1．（2023上·全国·九年级专题练习）某种蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（）A．4 B．5 C．10 D．02．（2023上·湖北·九年级校考周测）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的压强