北师大版2019选择性必修第一册专题2.2双曲线(4类必考点)(原卷版+解析)

专题2.2双曲线TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：双曲线的定义与标准方程】 1【考点2：双曲线的焦点三角形问题】 3【考点3：双曲线的几何性质】 4【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】 8【考点1：双曲线的定义与标准方程】【知识点：双曲线的定义】平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．【知识点：双曲线的标准方程】(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．待定系数法求双曲线方程的五种类型类型一与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)类型三与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2<k<a2)类型四过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn<0)类型五与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2<λ<a2)1．（2021·全国·高二课时练习）若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（

）A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m2．（2022·全国·高二单元测试）已知A0,7，B0,−7，C12,2，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点FA．y2−xC．x2−y3．（2022·全国·高二课时练习）过点3,2且与椭圆3x2+8A．x25−y25=1 B．4．（2022·全国·高二课时练习）双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0过焦点F1的弦AB，AA．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m5．（2022·全国·高二课时练习）设双曲线C：x2−y224=1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点A．5 B．6 C．7 D．86．（2022·全国·高二课时练习）已知F是双曲线x24−y212=1的左焦点，A(1,4)A．9 B．8 C．7 D．67．（2022·全国·高三专题练习）若方程x23−t+y2A．若C为椭圆，则1<t<3 B．若C为双曲线，则t>3或t<1C．曲线C可能是圆 D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<28．（2021·全国·高二专题练习）(多选)已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是（

）A．2 B．－1 C．4 D．－39．（2022·全国·高二课时练习）与双曲线x216−10．（2022·全国·高二课时练习）双曲线C1:x2a11．（2022·全国·高三专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a=3，c=4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0,−6)､(0,6)，经过点A(−5,6).12．（2022·全国·高三专题练习）如图双曲线C:x2−y23=1的焦点为F1､F2(1)求弦长AB的值；(2)求△ABF【考点2：双曲线的焦点三角形问题】【知识点：双曲线的焦点三角形问题】(1)双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．(2)以双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则①||PF1|－|PF2||＝2a.②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.③S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ.1．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于AA．1633+8 B．42−1 2．（2023·全国·高三专题练习）设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的左，右焦点，点PA．43 B．37 C．45523．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线y2m−x22=1m>0，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且ABA．8 B．9 C．10 D．254．（2022·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线E：x216−y29=1的右支上一点，A．点P的横坐标为203 B．ΔPFC．∠F1PF2大于π【考点3：双曲线的几何性质】【知识点：双曲线的几何性质】标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长[方法技巧]1．求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．2．双曲线的形状与e的关系k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．[提醒]求双曲线的离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围．1．（2021·全国·高考真题（文））点3,0到双曲线x216−A．95 B．85 C．652．（2023·全国·高三专题练习）设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的左，右焦点，点PA．43 B．37 C．45523．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于AA．1633+8 B．42−1 4．（2022·全国·高三专题练习）双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0A．2 B．3 C．2 D．55．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线y2m−x22=1m>0，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且ABA．8 B．9 C．10 D．256．（2021·全国·高三专题练习（理））设F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点A．45 B．54 C．357．（2019·全国·高考真题（文））设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于PA．2 B．3C．2 D．58．（2021·全国·高考真题（理））已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FA．72 B．132 C．7 9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知双曲线C:x2−A．双曲线C的焦距为7B．双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍C．双曲线y26−D．双曲线的顶点坐标为(±10．（2022·全国·高二单元测试）已知双曲线C:x2a2−y23=1(a>0)A．双曲线C的实轴长为2B．双曲线C的一条渐近线方程为y=C．PD．双曲线C的焦距为411．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知双曲线C的标准方程为x2−yA．双曲线C的离心率等于半焦距B．双曲线y2−xC．双曲线C的一条渐近线被圆x−12+D．直线y=kx+b与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，212．（2022·全国·高二课时练习）与双曲线x29−13．（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线C:x2m−y14．（2021·四川·攀枝花七中高二阶段练习（文））已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，点A是以OF为直径的圆与双曲线C15．（2021·全国·高二课时练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左.右焦点分别为F1、F2，过点F1作直线16．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线x2(1)过点M1，1的直线交双曲线于A，B两点，若M(2)是否存在直线l，使得1，12为l17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x①离心率为2；②渐近线为y=±3x；③过点(1)求双曲线C的标准方程；(2)在（1）的条件下，若直线l过点Q(0,−1)，且与双曲线右支交于A、B两点，求直线l的倾斜角的取值范围；(3)在（2）的条件下，是否存在以AB为直径的圆经过坐标原点O？若存在，请求出此时的直线l，若不存在，请说明理由．【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】【知识点：与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法】(1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质，求最值或取值范围．(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．[提醒]求解与双曲线几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系1．（2020·全国·高考真题（理））设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2A．4 B．8 C．16 D．322．（2021·江苏·高二单元测试）过双曲线x29−y216=1的右支上的一点P分别向圆C1：(x+5)2+y2=4和圆C2：(x−5)2A．2 B．3 C．2 D．33．（2022·全国·高二课时练习）已知点A(1,1)，点P是双曲线C:x29−y27A．C的实轴长为6B．C的渐近线为y=±C．|PQ|的最小值为1D．|PA|−|PD|的最小值为6−4．（2022·全国·高二单元测试）若直线y=kx+2与双曲线x2−y5．（2022·全国·高二课时练习）若直线l:y=3x3（1）求双曲线的方程；（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F3,0，过点F(1)求C的方程；(2)过点A0,−1的直线l2与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若GH=λDE专题2.2双曲线TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：双曲线的定义与标准方程】 1【考点2：双曲线的焦点三角形问题】 8【考点3：双曲线的几何性质】 11【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】 23【考点1：双曲线的定义与标准方程】【知识点：双曲线的定义】平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．【知识点：双曲线的标准方程】(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．待定系数法求双曲线方程的五种类型类型一与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)类型三与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2<k<a2)类型四过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn<0)类型五与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2<λ<a2)1．（2021·全国·高二课时练习）若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（

）A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m【答案】C【分析】根据双曲线的标准方程，即可得出结论.【详解】双曲线mx2+n因为双曲线的焦点在y轴上，所以1m<0,1故选：C.2．（2022·全国·高二单元测试）已知A0,7，B0,−7，C12,2，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点FA．y2−xC．x2−y【答案】A【分析】根据椭圆定义得到AF+AC=BF+BC，转化为AF−【详解】由题意得AC=122+2−7因为A，B都在椭圆上，所以AF+所以AF−故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支，又因为2c=AB=14，即c=7，a=1，所以b2因此F的轨迹方程是y2故选：A．3．（2022·全国·高二课时练习）过点3,2且与椭圆3x2+8A．x25−y25=1 B．【答案】D【分析】设双曲线的方程为x2a2【详解】解：由3x2+8所以椭圆的焦点为(5设双曲线的方程为x2因为双曲线过点3,2，所以9a所以双曲线的方程为x2故选：D4．（2022·全国·高二课时练习）双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0过焦点F1的弦AB，AA．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m【答案】C【分析】由双曲线定义得到BF2−BF【详解】由双曲线的定义得：BF2−B两式相加得：BF即BF所以BF故△ABF2的周长为故选：C5．（2022·全国·高二课时练习）设双曲线C：x2−y224=1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据双曲线的方程求出a,b,c的值，由双曲线的定义可得AF1+【详解】由双曲线C：x2a2=1，b2所以a=1，c=5，由双曲线的定义可得AF1−所以AF由双曲线的性质可知：AF2≥c−a=4，令A所以AF1+所以当t=4时，取得最小值4+44+2=7，此时点A即AF1+故选：C.6．（2022·全国·高二课时练习）已知F是双曲线x24−y212=1的左焦点，A(1,4)A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】由双曲线方程求出a，再根据点A在双曲线的两支之间，结合PA+【详解】由x24−y2所以左焦点为F(−4,0)，右焦点F'则由双曲线的定义得PF−因为点A(1,4)在双曲线的两支之间，所以PA+所以PF+PA≥9所以|PF|+|PA|的最小值为9，故选：A7．（2022·全国·高三专题练习）若方程x23−t+y2A．若C为椭圆，则1<t<3 B．若C为双曲线，则t>3或t<1C．曲线C可能是圆 D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2【答案】BC【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可【详解】若C为椭圆，则3−t>0t−1>03−t≠t−1，∴1<t<3且若C为双曲线，则(3−t)(t−1)<0，∴t>3或若C为圆，则3−t=t−1，∴t=2，故C正确若C为椭圆，且长轴在y轴上，则3−t>0t−1>0t−1>3−t，故选：BC8．（2021·全国·高二专题练习）(多选)已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是（

）A．2 B．－1 C．4 D．－3【答案】AB【分析】设双曲线方程为x2a2−y2b2=1【详解】设双曲线的方程为x2a2∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴−52<m<故选：AB9．（2022·全国·高二课时练习）与双曲线x216−【答案】x【分析】由已知双曲线可得焦点坐标±25,0，设所求双曲线方程为x2a2−y2b2=1【详解】由双曲线x216−设所求双曲线的方程为x2a2由题意可得：18a2−所以双曲线的标准方程为：x2故答案为：x210．（2022·全国·高二课时练习）双曲线C1:x2a【答案】x【分析】根据焦距，可求得c值，根据渐近线与圆C2相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a，b，c的关系，即可求得a，b【详解】因为双曲线C1:x由双曲线C1的两条渐近线y=±bax与圆又a2+b2=4所以双曲线C1的标准方程为x故答案为：x11．（2022·全国·高三专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a=3，c=4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0,−6)､(0,6)，经过点A(−5,6).【答案】(1)x(2)y【分析】（1）待定系数法去求满足条件的双曲线的标准方程；（2）待定系数法去求满足条件的双曲线的标准方程.（1）由题设知，a=3，c=4，由c2=a因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为x2（2）由已知得c=6，且焦点在y轴上.因为点A(−5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a=−5−0则a=4，b2因此，所求双曲线的标准方程是y212．（2022·全国·高三专题练习）如图双曲线C:x2−y23=1的焦点为F1､F2(1)求弦长AB的值；(2)求△ABF【答案】(1)3；(2)3【分析】（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得8x（2）根据双曲线的定义可求得三角形的周长.（1）解：因为双曲线C:x2−y2设Ax联立y=33x+2∴AB（2）解：记△ABF2的周长为C△AB∵BF2=x∴BF2=2同理：点A在左支，∴A∴∴【考点2：双曲线的焦点三角形问题】【知识点：双曲线的焦点三角形问题】(1)双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．(2)以双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则①||PF1|－|PF2||＝2a.②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.③S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ.1．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于AA．1633+8 B．42−1 【答案】A【解析】设AF2=m，BF2=n．根据双曲线的定义和等腰三角形可得【详解】由双曲线x24−设AF2=m，BF2所以AF1=4+m因为△ABF1是等腰三角形，且所以AF1=AB，即所以BF1=8在△ABF1中，由余弦定理得即82所以34+m2=64∴△ABF1=8+2m+n故选：A．【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.2．（2023·全国·高三专题练习）设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的左，右焦点，点PA．43 B．37 C．4552【答案】B【分析】利用双曲线的定义可得PF2=4【详解】∵双曲线C:x∴a=1,b=3,c=2，又点P在双曲线C的右支上，所以PF1−PF又F1∴△PF1F故选：B.3．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线y2m−x22=1m>0，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且ABA．8 B．9 C．10 D．25【答案】D【分析】根据△ABF1的周长为18，可得|AF1|+|B【详解】由题意知|AB|+|AF又|AB|=4，所以|AF根据双曲线的定义可知2m所以4m解得m=52故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线E：x216−y29=1的右支上一点，A．点P的横坐标为203 B．ΔPFC．∠F1PF2大于π【答案】ABD【分析】设ΔF1PF2的内心为I，连接IP、IF2、IF2，设Pm，n，利用ΔPF1F2的面积为20，可求得P点坐标；ΔPF1【详解】设ΔF1PF2双曲线E：x216−y29=1不妨设Pm，n，m>0，n>0由ΔPF1F2的面积为20，可得由m216−169由P203，4，且F则PF则ΔPF1F可得kPF1则tanF则∠F设ΔPF1F2的内切圆半径为可得803r=40，解得故选：ABD．【点睛】本题关键借助P点坐标利用弦长公式求得周长，利用斜率求得夹角，用等积法求得内切圆半径.【考点3：双曲线的几何性质】【知识点：双曲线的几何性质】标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长[方法技巧]1．求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．2．双曲线的形状与e的关系k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．[提醒]求双曲线的离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围．1．（2021·全国·高考真题（文））点3,0到双曲线x216−A．95 B．85 C．65【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：x216−结合对称性，不妨考虑点3,0到直线3x+4y=0的距离：d=9+0故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的左，右焦点，点PA．43 B．37 C．4552【答案】B【分析】利用双曲线的定义可得PF2=4【详解】∵双曲线C:x∴a=1,b=3,c=2，又点P在双曲线C的右支上，所以PF1−PF又F1∴△PF1F故选：B.3．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于AA．1633+8 B．42−1 【答案】A【解析】设AF2=m，BF2=n．根据双曲线的定义和等腰三角形可得【详解】由双曲线x24−设AF2=m，BF2所以AF1=4+m因为△ABF1是等腰三角形，且所以AF1=AB，即所以BF1=8在△ABF1中，由余弦定理得即82所以34+m2=64∴△ABF1=8+2m+n故选：A．【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.4．（2022·全国·高三专题练习）双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0A．2 B．3 C．2 D．5【答案】B【解析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.【详解】设Axx1有b2所以c2a2故选：B．【点睛】本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.5．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线y2m−x22=1m>0，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且ABA．8 B．9 C．10 D．25【答案】D【分析】根据△ABF1的周长为18，可得|AF1|+|B【详解】由题意知|AB|+|AF又|AB|=4，所以|AF根据双曲线的定义可知2m所以4m解得m=52故选：D6．（2021·全国·高三专题练习（理））设F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点A．45 B．54 C．35【答案】D【分析】根据题设条件和双曲线的性质，在三角形值寻找等量关系，得到a,b之间的等量关系，进而求出离心率.【详解】依题意PF2＝F1F2，可知三角形PF2根据双曲定义可知4b−2c=2a，整理得c=2b−a，代入c2=a2+∴e=c故选：D．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率问题，正确解题的关键是熟练掌握双曲线的性质，以及寻找判断三角形中边的关系.7．（2019·全国·高考真题（文））设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于PA．2 B．3C．2 D．5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴，又∵PQ=|OF|=c，∴|PA|=c∴A为圆心|OA|=c∴Pc2,c2∴c24∴e=2【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．8．（2021·全国·高考真题（理））已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FA．72 B．132 C．7 【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出PF【详解】因为PF1=3所以PF2=a因为∠F1P整理可得4c2=7a2故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键.9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知双曲线C:x2−A．双曲线C的焦距为7B．双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍C．双曲线y26−D．双曲线的顶点坐标为(±【答案】BC【分析】由题知a2=1，【详解】因为a2=1，所以c2=1+6=7，c=7因为2b2a双曲线y26−x2令y=0，得x=±1，所以双曲线的顶点坐标为(±1,0)，所以D错误．故选:BC．10．（2022·全国·高二单元测试）已知双曲线C:x2a2−y23=1(a>0)A．双曲线C的实轴长为2B．双曲线C的一条渐近线方程为y=C．PD．双曲线C的焦距为4【答案】ABD【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质运算求解.【详解】由双曲线方程知：b=3，离心率为e=ca=a实半轴长为1，实轴长为2a=2，A正确；因为可求得双曲线渐近线方程为y=±3x，故一条渐近线方程为由于P可能在C的不同分支上，则有||PF焦距为2c=2a故选：ABD.11．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知双曲线C的标准方程为x2−yA．双曲线C的离心率等于半焦距B．双曲线y2−xC．双曲线C的一条渐近线被圆x−12+D．直线y=kx+b与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2【答案】AD【分析】求出双曲线C的离心率及渐近线方程，计算直线被圆所截弦长，对选项A，B，C逐一验证并判断，再由直线与双曲线C的位置关系判断D得解.【详解】因双曲线C的标准方程为x2−y双曲线C的离心率e=c双曲线C的渐近线方程为y=±2x，而双曲线y2−x因双曲线C的渐近线和圆x−12+y2=1都关于x轴对称，不妨选渐近线2x+y=0渐近线2x+y=0被该圆所截弦长为21由y=kx+b4x2k=±2,b=0时，方程组无解，直线与双曲线交点个数为0，k=±2,b≠0，方程组有一解，直线与双曲线交点个数为1，k2≠4时，Δ=16(b若Δ=0，则方程组有一解，直线与双曲线交点个数为1，若Δ>0，则方程组有两解，直线与双曲线交点个数为2，综上得直线y=kx+b与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2，即D正确.故选：AD【点睛】思路点睛：直线l:mx+ny+t=0与曲线C:f(x,y)=0的公共点个数转化为联立直线l与曲线C的方程组的解的个数解决.12．（2022·全国·高二课时练习）与双曲线x29−【答案】2【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.【详解】解：根据题意，设双曲线方程为x2将点(−3,23)代入双曲线方程，解得所以，经过点A−3,23的双曲线方程为：故4x29−y24所以，焦点到一条渐近线的距离是109+16故答案为：213．（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线C:x2m−y【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出a,b的关系，再结合双曲线中a2,b2对应关系，联立求解【详解】由渐近线方程3x+my=0化简得y=−3mx，即ba=3m，同时平方得b2a2故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.14．（2021·四川·攀枝花七中高二阶段练习（文））已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，点A是以OF为直径的圆与双曲线C【答案】±2【分析】由题设探求出△BF'F与△BF'A都是以B为直角顶点的直角三角形，令【详解】因点A是以OF为直径的圆与双曲线C的一个公共点，则OA⊥AF，设点F关于点A的对称点为B，双曲线C的左焦点为F'，则OA//F'令AF=m，则AF'=m+2a，BF=2m在Rt△BF'F中，|B在Rt△BF'A中，于是得2m−2a2+4m2=4所以双曲线C的渐近线的斜率为±23故答案为：±215．（2021·全国·高二课时练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左.右焦点分别为F1、F2，过点F1作直线【答案】5【分析】依题意画出草图，可得PF1⊥PF2，QF1⊥OQ，求出F1【详解】解：依题意可得PF1⊥PF2，QF1⊥OQ，所以PF2//OQ，因为O为F1F2的中点，所以又PF1−PF2故答案为：516．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线x2(1)过点M1，1的直线交双曲线于A，B两点，若M(2)是否存在直线l，使得1，12为l【答案】(1)x−2y+1=0(2)不存在，理由见解析【分析】（1）设A(x1,（2）同（1）利用点差法求得直线方程，把直线方程和双曲线方程联立，整理得到一元二次方程，其判别式小于0，说明符合题意的直线不存在.（1）设A(x1,两式相减得x1所以y1又因为M为弦AB的中点,故x1+x所以直线AB的方程为y−1=12x−1由方程组x−2y+1=0x24−y说明所求直线存在，故直线AB的方程为x−2y+1=0.（2）假设存在直线l，使得1，12设该直线与双曲线交于C,D两点，设C(x3,两式相减得x3所以y3又因为1，12为弦CD的中点,故x所以直线CD的方程为y−12=x−1由方程组2x−2y−1=0x24根据Δ'故假设不成立，即不存在直线l，使得1，1217．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x①离心率为2；②渐近线为y=±3x；③过点(1)求双曲线C的标准方程；(2)在（1）的条件下，若直线l过点Q(0,−1)，且与双曲线右支交于A、B两点，求直线l的倾斜角的取值范围；(3)在（2）的条件下，是否存在以AB为直径的圆经过坐标原点O？若存在，请求出此时的直线l，若不存在，请说明理由．【答案】(1)选①③或②③，C:x(2)3<k<2(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）根据所选条件求出双曲线参数a、b，即可得双曲线C的标准方程；（2）令直线l为y=kx−1，联立双曲线，根据交点的个数及分布有{3−k2≠0Δ（3）由题设，假设条件成立则OA⋅OB=0，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示列方程判断是否存在这样k使以AB(1)选①③：{ca=24a2−选②③：{ba=34a2选①②：无法确定双曲线C的方程.(2)由题设，令直线l为y=kx−1，联立双曲线可得：(3−k要使直线与双曲线右支交于两点，则{3−k2所以{3<k2(3)由（2）知：yAyB要使|AB|为直径的圆过原点，则OA⋅显然OA⋅OB=0不成立，故不存在以AB【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】【知识点：与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法】(1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质，求最值或取值范围．(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．[提醒]求解与双曲线几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系1．（2020·全国·高考真题（理））设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】因为C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D【详解】∵C:∴双曲线的渐近线方程是y=±∵直线x=a与双曲线C:x2a2−不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=故D(a,b)联立{x=ay=−故E(a,−b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S∵双曲线C:∴其焦距为2c=2当且仅当a=b=22∴C的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.2．（2021·江苏·高二单元测试）过双曲线x