苏科版九年级数学下册举一反三专题7.4锐角三角函数章末拔尖卷同步练习(学生版+解析)

第7章锐角三角函数章末拔尖卷【苏科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023秋·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=32，cosB=1A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形2．（3分）（2023秋·全国·九年级期末）直角三角形纸片ABC，两直角边BC=4，AC=8，现将△ABC纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（

A．12 B．34 C．1 3．（3分）（2023春·山东青岛·九年级华东师范大学青岛实验中学校联考开学考试）如图，△ABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin∠BACA．5 B．55 C．12 4．（3分）（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在BC、AC上，AD、BE交于F，若BD=CD=CE，AF=DF，则tan∠ABC的值为(

A．12 B．23 C．345．（3分）（2023秋·广东佛山·九年级校考期末）一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0,1)，直角顶点C的坐标为(−3,0)，∠B=30°，则点B的坐标为（

A．(−3−33,33) B．(−3+3,3)6．（3分）（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6，若点P在直线AC上（不与点A、C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为（

A．6或23 B．6或43 C．23或43 7．（3分）（2023秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，延长等腰RtΔABC斜边AB到D，使BD=2AB，连接CD，则tan∠BCDA．23 B．1 C．13 8．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形，连结CD，若sin∠BCD=35A．23 B．34 C．7109．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB=90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ=2，则该“风车”的面积为（

A．2+1 B．22 C．4−2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．（3分）（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，BC边上，且AD=3，BE=4，连接AE，BD，交于点F，BD=10，cos∠AFD=32，则11．（3分）（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，tan∠ABC=43，AE⊥BC于点E，AE的延长线与DC的延长线交于点F，则S△ECF

12．（3分）（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，E是对角线BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，DE=．

13．（3分）（2023春·全国·九年级期末）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠ABC=120°，AB=6，则PE−PF的值为．

14．（3分）（2023·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交4D于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的最小值是315．（3分）（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y=33x+2经过它们的顶点A

16．（3分）（2023秋·四川成都·九年级成都七中校考期末）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+3，则四边形EFGH的周长为三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023秋·山东东营·九年级校联考期中）计算：(1)2sin(2)(π−1)018．（6分）（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=

求：(1)CD的长；(2)sin∠ABC19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的表达式；（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点)．求证：∠ABC=∠D．

（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P，使得∠PBA=∠C，并简要说明理由．

21．（8分）（2023春·海南·九年级校联考期中）如图，小明为测量宣传牌AB的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上．）然后，小明沿坡度为i=1:2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平(3)如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD=∠BCE，AEBE=23，若tan∠ABC=3第7章锐角三角函数章末拔尖卷【苏科版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023秋·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=32，cosB=1A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A=60°，∠B=60°，然后利用三角形内角和定理求出【详解】解：∵sinA=32∴∠A=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（3分）（2023秋·全国·九年级期末）直角三角形纸片ABC，两直角边BC=4，AC=8，现将△ABC纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（

A．12 B．34 C．1 【答案】B【分析】根据折叠的性质得出BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理得出BC2【详解】解：∵△ADE沿DE折叠得到△BDE，∴BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：B即42+x∴tan∠CBE=故选：B．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的定义，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．3．（3分）（2023春·山东青岛·九年级华东师范大学青岛实验中学校联考开学考试）如图，△ABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin∠BACA．5 B．55 C．12 【答案】B【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据勾股定理得出AB,AC的值，再利用面积公式求出BD的值，由sin∠BAC=【详解】解：如图，过B作BD⊥AC于点D根据勾股定理得：AB=∴SΔ∴BD=∴sin故选：B．【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格,三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形．4．（3分）（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在BC、AC上，AD、BE交于F，若BD=CD=CE，AF=DF，则tan∠ABC的值为(

A．12 B．23 C．34【答案】C【分析】如图，过A作AG∥BC，交BE的延长线于G，证明△AGF≌△DBFAAS，则AG=BD=12BC，证明△AEG∽△CEB，则AECE=AG【详解】解：如图，过A作AG∥BC，交BE的延长线于G，∴∠G=∠DBF，在△AGF和△DBF中，∵∠G=∠DBF∠AFG=∠DFB∴△AGF≌△DBFAAS∴AG=BD=1∵∠G=∠CBE，∠AEG=∠CEB，∴△AEG∽△CEB，∴AECE=AG∴AC=3∴tan∠ABC=故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．5．（3分）（2023秋·广东佛山·九年级校考期末）一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0,1)，直角顶点C的坐标为(−3,0)，∠B=30°，则点B的坐标为（

A．(−3−33,33) B．(−3+3,3)【答案】D【分析】过点B作BE⊥OC于点E，根据ΔABC为直角三角形可证明ΔBCE∽ΔCAO，求出AC=10，求出BC【详解】解：过点B作BE⊥OC于点E，

∵△ABC为直角三角形，∴∠BCE+∠ACO=90°，∴Δ∴BEOC在Rt△ACO中，AC=在Rt△ABC中，∠CBA=30°∴tan∠CBA=∴BC=CA∴BE3解得BE=33，EC=∴EO=EC+CO=3∴点B的坐标为(−3−3，3故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数以及坐标与图形的性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，证明三角形的相似，进而求解．6．（3分）（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6，若点P在直线AC上（不与点A、C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为（

A．6或23 B．6或43 C．23或43 【答案】D【分析】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP=30°，利用特殊角的三角函数进行求解．【详解】如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°−30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB=如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=故选：D【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值求线段的长，解题的关键是确定点P在直线AC上的不同位置．7．（3分）（2023秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，延长等腰RtΔABC斜边AB到D，使BD=2AB，连接CD，则tan∠BCDA．23 B．1 C．13 【答案】A【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得AB=2a，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得BD=2AB=22a，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，设AC=BC=a，∵AC⊥BC，AC=BC=a，∴AB=AC2+BC2=2a∴∠ABC=∠BAC=45°，BD=2AB=22∴∠DBE=∠ABC=45°，∵DE⊥CE，∴DE=BD·sin∠DBE=22a·sin∴CE=BC+BE=3a，∴tan∠BCD=故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．8．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形，连结CD，若sin∠BCD=35A．23 B．34 C．710【答案】D【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，可得△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，根据sin∠BCE＝BEBC=35，设BE＝3a，BC＝5a，得CE＝BC2−BE2＝4a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，设AC＝x【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，∵sin∠BCD＝35∴sin∠BCE＝BEBC设BE＝3a，BC＝5a，∴CE＝BC2−BE过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，∴BF＝CG，设AC＝x，AB＝y，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2﹣AC2＝BC2，∴y2﹣x2＝25a2，∵S△ABC＝12×AB•CF＝12×∴y•CF＝5ax，∴CF＝5axy在Rt△BCF中，根据勾股定理，得BF＝BC2−CF2∴BF＝CG＝25y在正方形ABDH中，AB＝BD＝y，在Rt△BDE中，根据勾股定理，得DE＝BD2−B∴CD＝CE+ED＝4a+y2∵S△CBD＝12×CD•BE＝12×∴CD•BE＝BD•CG，∴(4a+y2−9a2)×3＝∴y2−9a∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝BEDE＝3ay2故选：D．【点睛】本题属于几何综合题，是选择题压轴题，考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形，解决本题的关键是设参数利用勾股定理列方程．9．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB=90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ=2，则该“风车”的面积为（

A．2+1 B．22 C．4−2【答案】B【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC,∠OAB=∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC为等腰直角三角形又∵∠OAB=∠OCD：∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线即∠DAJ=12∠CAD=1易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA=2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°设OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO∴IH设IH=（2−1）x，AI=∴IH+IA=2x=2，即x∴S△ABH又∵S∴S△BOH∴S∴S风车故选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识以及数形结合思想成为解答本题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．（3分）（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，BC边上，且AD=3，BE=4，连接AE，BD，交于点F，BD=10，cos∠AFD=32，则【答案】5【分析】过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，勾股定理求得DG，过点D作【详解】解：如图所示，过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点则四边形AGBE是平行四边形，∴AG=BE=4，∵∠C=90°，则BC⊥AC∴AG⊥AC∴△ADG是直角三角形，∴DG=5∵cos∴∠AFD=30°∵AE∴∠DBG=30°∵DG=5,DB=10过点D作DH⊥BG，∵sin∴DH=1∴G,H重合，∴AE=BG=BH=5故答案为：53【点睛】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．11．（3分）（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，tan∠ABC=43，AE⊥BC于点E，AE的延长线与DC的延长线交于点F，则S△ECF

【答案】4:21【分析】设AE=4k，则BE=3k，根据勾股定理求出AB=5k，然后证明△CEF∽△DAF，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵tan∠ABC=43∴tan∠ABC=设AE=4k，则BE=3k，∴AB=A∵四边形ABCD是菱形，∴CB∥AD，∴CE=BC−BE=2k，∵CB∥∴△CEF∽△DAF，∴S△CEF∴S△CEF故答案为：4:21．【点睛】本题考查了正切、相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．（3分）（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，E是对角线BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，DE=．

【答案】2或52或【分析】分AB=AE,BE=BA,EA=EB三种情况，分别画出图形，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，∴∠BAD=90°，∴BD=A当AB=AE时，过点A作AF⊥AD于点F，

则AF⊥BD，∴cos∠ABD=∴BF=∴DE=BD−BE=BD−2BF=5−18当BA=BE时，DE=BD−BE=5−3=2，

当EA=EB时，过点E作EG⊥AB于点G，

∴EG∥AD，∴BEED∴DE=1综上所述DE=2或52或7故答案为：2或52或7【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，求一个角的余弦，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．13．（3分）（2023春·全国·九年级期末）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠ABC=120°，AB=6，则PE−PF的值为．

【答案】3【分析】如图，延长BC交EP于M，由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠FCM的平分线，则PF=PM，PE−PF=PE−PM=EM，由题意知，EM为△ABD底边AD上的高，由菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，可得∠BAD=60°，根据EM=AB⋅sin【详解】解：如图，延长BC交EP于M，

由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠FCM的平分线，∵PF⊥CF，PM⊥CM，∴PF=PM，∴PE−PF=PE−PM=EM，由题意知，EM为△ABD底边AD上的高，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，∴∠BAD=60°，∴EM=AB⋅sin∴PE−PF=33故答案为：33【点睛】本题考查了菱形的性质，角平分线的性质，正弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．14．（3分）（2023·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交4D于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的最小值是3【答案】①②③【分析】延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，由已知可得MN为AB，CD的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得∠BCG=45°，由四边形内角和定理通过计算可得∠EHF=90°；利用平行线的性质可得BC⊥FG，则∠CGF=45°，可说明②的结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F，C三点共线，得到△CGF为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点F在对角线AC上运动，当EF⊥AC时，EF的值最小，连接AC，解直角三角形的知识可得④的结论不正确．【详解】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．∴PD=PC，PA=PB．∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，∴△FPG≌△PED，∴PD=PG．∴PC=PG．∴①∵PD=PC，∴∠PDC=∠PCD=1∵PC=PG，∴∠PCG=∠PGC=1∴∠PCD+∠PCG=1∵∠DPC+∠CPG=90°，∴∠PCD+∠PCG=135°．∵∠BCD=90°，∴∠BCG=45°．∵△FPG≌△PED，∴∠DEP=∠GFP．∵∠HFP+∠PFG=180°，∴∠DEP+∠HFP=180°．∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF=360°，∴∠EHF+∠EPF=180°．∴∠EPF=90°，∴∠EHF=90°．即GH⊥AD．∵AD//BC，∴GF⊥BC．∴∠CGF=45°．∴tan∴②∵PA=PB，PM⊥AB，∴∠APM=∠BPM，∵PM//AE，∴∠PEA=∠BPM，∠PAE=APM．∴∠PEA=∠PAE．∴PA=PE．∵PE=PF，∴PA=PB=PE=PF．∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．∴∠FAB=1∴点F在对角线AC上，∴∠FCB=45°．∵∠BCG=∠CGF=45°，∴△FCG为等腰直角三角形．∵BC平分∠FCG，∴BC垂直平分FG．∴③由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，∴当EF⊥AC时，EF的值最小．此时点E与点D重合，∴DF=AD⋅sin45°=4×2∴④综上，结论正确的序号有：①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称，线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系，圆周角定理，垂线段的性质，四点共圆的判定与性质，图形旋转的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．15．（3分）（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y=33x+2经过它们的顶点A

【答案】2【分析】设直线y=33x+2与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA=2,OC=23，推出∠CB1A1=90°，∠CB1A=30°，然后求出【详解】解：如图所示，设直线y=33x+2与x

当x=0时，y=2；当y=0时，x=−23∴A0,2，C∴OA=2，OC=23∴tan∠ACO=∴∠ACO=30°，∵△AB∴∠AA∴∠CB1A∴AC=AB∵AO⊥CB∴OB∴CB同理，CB2=2C∴CB2022=∴B2022故答案为：22023【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何的变换规律的综合，解直角三角形，理解等边三角形的性质，一次函数图像的性质和特点，找到点的变换规律是解题的关键．16．（3分）（2023秋·四川成都·九年级成都七中校考期末）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+3，则四边形EFGH的周长为【答案】8+4【分析】先构造15°的直角三角形，求得15°的余弦和正切值；作EK⊥FH，可求得EH:EF=2:6；作∠ARH=∠BFT=15°，分别交直线AB于R和T，构造“一线三等角”，先求得FT的长，进而根据相似三角形求得ER，进而求得AE，于是得出∠AEH=30°【详解】解：如图1，Rt△PMN中，∠P=15°，NQ=PQ，∠MQN=30°设MN=1，则PQ=NQ=2，MQ=3，PN=∴cos15°=6如图2，作EK⊥FH于K，作∠AHR=∠BFT=15°，分别交直线AB于R和T，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C，在△AEH与△CGF中，AE=CG∠A=∠C∴△AEH≌△CGF(SAS∴EH=GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形，设HK=a，则EH=2a，EK=3∴EF=2∵∠EAH=∠EBF=90°，∴∠R=∠T=75°，∴∠R=∠T=∠HEF=75°，可得：FT=BFcos15°=3+∴FTER∴26∴ER=4，∴AE=ER−AR=23∴tan∴∠AEH=30°，∴HG=2AH=4，∵∠BEF=180°−∠AEH−∠HEF=75°，∴∠BEF=∠T，∴EF=FT=26∴EH+EF=4+26∴2(EH+EF)=4(2+6∴四边形EFGH的周长为：8+46故答案为：8+46【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，构造15°特殊角的图形及其求15°的函数值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”及构造15°直角三角形求其三角函数值．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023秋·山东东营·九年级校联考期中）计算：(1)2sin(2)(π−1)0【答案】(1)2(2)4【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可；（2）先计算零指数幂，特殊角三角函数值，化简二次根式，绝对值，再根据实数的混合运算法则求解即可．【详解】（1）原式====2．（2）原式=1+4×=1+2=4．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值计算和二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．18．（6分）（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=

求：(1)CD的长；(2)sin∠ABC【答案】(1)CD=4(2)3【分析】（1）根据正切的定义得到tan∠ACD=（2）根据（1）所求求出BD=8，进而求出AB=10，再根据正弦的定义求出sin∠ABD【详解】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD=AD∴CD=4；（2）解：由（2）得CD=4，∴BD=BC−CD=8，∴AB=A在Rt△ABD中，sin∠ABD=AD【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知正弦和正切的定义是解题的关键．19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的表达式；（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝27x+6；（2）s＝2﹣27t（0＜t＜7）；（3）点D的坐标为（【分析】（1）将点A、C的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b，即可求解；（2）根据题意可得点D（t，0），点E（7，s），根据一次函数的图象及性质，可得直线DE的表达式为：y＝27x﹣27（3）设点D（t，0），证明∠OCD＝∠BDE，则tan∠OCD＝tan∠BDE，列出比例式即可求解．【详解】解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b将点A、C的坐标代入，得得：7k+b=8b=6解得：k=故直线AC的表达式为：y＝27x（2）∵OD＝t，BE＝s，AB⊥x轴∴则点D（t，0），点E（7，s）∵DE∥AC可设直线DE的解析式为y＝27x将点D的坐标代入0＝27t解得：c=﹣27∴直线的表达式为：y＝27x﹣27将点E的坐标代入，得s＝2﹣27t（根据点D在线段OB上，可得0＜t（3）存在，理由：设点D（t，0），由（2）BE＝2﹣27t四边形CDEF为矩形，则∠CDE＝90°，∵∠EDB+∠CDO＝90°，∠CDO+∠OCD＝90°，∴∠OCD＝∠BDE，∴tan∠OCD＝tan∠BDE，∴ODOC＝即t6＝2−解得：t＝127或7（因为0＜t故点D的坐标为（127【点睛】此题考查的是一次函数与矩形的综合题型，掌握用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象及性质、矩形的性质和等角的锐角三角函数也相等是解决此题的关键．20．（8分）（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点)．求证：∠ABC=∠D．

（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P，使得∠PBA=∠C，并简要说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）取格点E，F，连接BF,AF，AE,CE，根据网格的特点和勾股定理得到tan∠D=BFDF=232（2）取格点D，E，根据网格的特点和勾股定理得到tan∠ACE=tan∠ABD【详解】（1）如图所示，取格点E，F，连接BF,AF，AE,CE，

∵BF=12+∴tan∠D=∵CE=1，BE=3，∴tan∠ABC=∴tan∠D=∴∠ABC=∠D；（2）解：如图，取格点D，E，

同理（1）可得，在Rt△AEC中，tan在Rt△ABD中，tan∴tan∠ACE=∴∠ACE=∠ABD，直线BD与AC的交点为所求的点P．【点睛】此题考查了解直角三角形，网格和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．21．（8分）（2023春·海南·九年级校联考期中）如图，小明为测量宣传牌AB的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上．）然后，小明沿坡度为i=1:2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°．(1)填空：∠DAF=__________度，∠BDC=__________度；(2)求F距离地面CE的高度（结果保留根号）；(3)求宣传牌AB的高度（结果保留根号）．【答案】(1)45，120(2)F距离地面CE的高度为23(3)宣传牌AB的高度约为(6+3【分析】（1）由题意，得AD⊥DF，FD∥CE，则∠ADF=90°，∠CDF=∠ECD=30°，即可由∠DAF=90°−∠AFD，（2）过点F作FG⊥EC于G，先证明四边形DEGF是矩形，得FG=DE，解Rt△CDE，求出DE（3）解Rt△CFG，求得CG=2.5FG=23×2.5=5【详解】（1）解：由题意，得AD⊥DF，∴∠ADF=90°∴∠DAF=90°−∠AFD=90°−45°=45°，由题意，得FD∥∴∠CDF=∠ECD=30°∴∠BDC=∠ADF+∠CDF=90°+30°=120°．（2）解：如图，过点F作FG⊥EC于G，

由题意得，FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°，∴四边形DEGF是矩形．∴FG=DE．在Rt△CDE中，DE=CE⋅∴FG=23答：F距离地面CE的高度为23（3）解：∵斜坡CF的坡度为i=1:2.5，∴Rt△CFG中，∴FD=EG=(53∴在Rt△AFD中，∠AFD=45°∴AD=FD=(53在Rt△BCE中，BE=CE⋅∴AB=AD+DE−BE=53