北师大版2019选择性必修第一册专题2.3抛物线(4类必考点)(原卷版+解析)

专题2.3抛物线TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：抛物线的定义】 1【考点2：抛物线的标准方程与性质】 1【考点3：抛物线的焦点弦】 2【考点4：抛物线的实际应用】 2【考点1：抛物线的定义】【知识点：抛物线的定义】平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．[方法技巧]利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．1．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F.若直线x=4与C交于A，B两点，且AB=8，则A．3 B．4 C．5 D．62．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，点P1,y0在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若∠FPQ=120°A．2 B．4 C．6 D．83．（2022·江西·高三阶段练习（文））若抛物线y=x28上一点P到焦点的距离为6，则点P4．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））设F​是抛物线C：y2=4x​的焦点，点A​在抛物线C​上，B35．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M（位于第一象限）到焦点F的距离等于2p，则直线6．（2023·全国·高三专题练习）P是抛物线y2=8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C:(x+3)2+(y−3)【考点2：抛物线的标准方程与性质】【知识点：抛物线的标准方程与性质】图形标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)离心率e＝1焦半径|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)[方法技巧]求抛物线的标准方程的方法(1)定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：法一分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解法二设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程1．（2022·江苏南通·高三阶段练习）抛物线y=8x2的焦点到准线的距离是（A．132 B．116 C．22．（2023·全国·高三专题练习）点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（A．x2=112yC．x2=−136y3．（2022·广东·高三阶段练习）已知点Am,2为抛物线C:y2=2pxp>0上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若△AOB（OA．12 B．1 C．2 4．（2022·上海市向明中学高三开学考试）设抛物线C:x2=8y的焦点为F，准线为l，Px0,yA．当x0=4时，B．当x0=2时，抛物线C在点PC．|PA|+|PF|的最小值为3D．|PA|−|PF|的最大值为55．（2021·全国·高二专题练习）（多选）对于抛物线上18x2A．开口向上，焦点为0,2 B．开口向上，焦点为0,C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为y=−46．（2021·全国·高二课时练习）（多选）平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=−1的距离相等的动点的轨迹为曲线C．则（

）A．曲线C的方程为xB．曲线C关于y轴对称C．当点P(x,y)在曲线C上时，y≥2D．当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥27．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M−1,28．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点F到直线l:2x−y−3=0的距离为59．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F，A是C的准线上一点，线段AF与C交于点B，与y轴交于点D，且|AB|=5|BF|，S10．（2022·全国·高二课时练习）分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．(1)准线方程是4y+1=0；(2)抛物线的焦点是双曲线16x(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF=5【考点3：抛物线的焦点弦】【知识点：焦点弦的常用结论】以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)(其中θ为直线AB的倾斜角)；(5)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．1．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线y2=4xp>0的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则1A．2 B．4 C．12 D．2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）过抛物线x2=6y的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则（A．以线段AB为直径的圆与直线y=−3B．以线段BM为直径的圆与y轴相切C．当AF=2FBD．AB的最小值为63．（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点Px1,y1，Qx2,y2，点A．若x1+x2=6，则PQ=8C．若M0,1，则PM+P4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E:y2=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A,B两点，C,D分别为A,B在lA．若直线AB的倾斜角为45∘，则B．若AF=2FB，则直线ABC．若O为坐标原点，则B,O,C三点共线D．CF⊥DF5．（2022·四川·德阳五中高二阶段练习（理））已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过焦点F且倾斜角为α的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为A①以线段AB为直径的圆与准线l相切；②1AF③S△AOB=p④若点Mp,0，且AF=AM，则直线AB⑤若已知点A的横坐标为x0，且已知点T−x6．（2022·全国·高三专题练习）若抛物线y2=3x，过焦点F作倾斜角为30∘的直线与抛物线交于A7．（2022·全国·高三专题练习）若抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于A，B，若8．（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线l过焦点F且与抛物线y2=2pxp>0交于A , B9．（2022·全国·高三专题练习）如图，抛物线y2=2pxp>0与过焦点Fp2,0的直线l相交于A,B两点，若【考点4：抛物线的实际应用】【知识点：抛物线的实际应用】抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题．1．（2022·河南焦作·高二期末（理））上海黄浦江上的卢浦大桥（图1）整体呈优美的弧形对称结构，如图2所示，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，若主拱的顶端P点到桥面的距离等于桥面与江面之间的距离，且AB=550米，则CD约为（精确到10米）（

）A．410米 B．390米 C．370米 D．350米2．（2022·全国·高三专题练习）抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点（1，－2）射入，经抛物线上的点P反射后，再经抛物线上另一点Q反射后射出，则|PQ|=（A．252 B．13 C．2723．（2022·北京市第五中学高二期中）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（

）A．10cm B．7.2cmC．3.6cm D．2.4cm4．（2021·江苏·高三阶段练习）如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD等于热馈源F到口径AB的距离，已知口径长为40cm，防护罩宽为15cm，则顶点O到防护罩外端CD的距离为（

）A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm5．（2022·全国·高二课时练习）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．6．（2022·江苏·高二）一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为_____米（精确到0.01米）.7．（2023·安徽省宣城中学模拟预测）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从A5,m1沿直线y=m18．（2022·安徽·合肥市第六中学高二期末）如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm．(1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程；(2)为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长．9．（2022·全国·高二课时练习）某城市在主干道统一安装了一种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的平面直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在(1)求灯罩轴线所在的直线方程；(2)若路宽为10m，求灯柱的高．专题2.3抛物线TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：抛物线的定义】 1【考点2：抛物线的标准方程与性质】 4【考点3：抛物线的焦点弦】 10【考点4：抛物线的实际应用】 18【考点1：抛物线的定义】【知识点：抛物线的定义】平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．[方法技巧]利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．1．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F.若直线x=4与C交于A，B两点，且AB=8，则A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】将x=4代入y2=2px，求出点A、B的坐标，利用弦长求出【详解】将x=4代入y2=2px，解得则A(4,22p)、所以|AB|=42p=8，解得则AF=故选：C.2．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，点P1,y0在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若∠FPQ=120°A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出MF,QF的长度，然后列出方程即可得到结果.【详解】如图，不妨令P在x轴上方，准线l与x轴交点为M，因为点P1,y0在C上，根据抛物线定义可得且∠FPQ=120°，则∠PQF=∠PFQ=30°，所以△PFQ为等腰三角形，且PQQF在Rt△QMF中，∠MQF=60°，即解得p=6，即F到l的距离为6.故选:C.3．（2022·江西·高三阶段练习（文））若抛物线y=x28上一点P到焦点的距离为6，则点P【答案】4【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可.【详解】抛物线方程y=x28由抛物线的定义可知，点P到准线y=−2的距离为6，所以点P到x轴的距离为4．故答案为：44．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））设F​是抛物线C：y2=4x​的焦点，点A​在抛物线C​上，B3【答案】2【分析】根据题意可得焦点F的坐标，进而可得BF，由AF=2BF，可得AF=4【详解】由可知焦点F(1,0)，B3，0∵AF=2BF∴​点A​到抛物线准线的距离为4​.∵​抛物线的准线方程为x=−1​，∴点A的横坐标x=3,∴A3，2∴AB=2故答案为：235．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M（位于第一象限）到焦点F的距离等于2p，则直线【答案】3【分析】利用抛物线的定义可M点的横坐标，代入抛物线方程求出M的坐标，再利用斜率公式求解即可.【详解】因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M与焦点F的距离所以xM所以xM=3p2，进而有所以点M的坐标为(3所以直线MF的斜率为3p−0故答案为：3.6．（2023·全国·高三专题练习）P是抛物线y2=8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C:(x+3)2+(y−3)【答案】34【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把d1+d【详解】圆C:(x+3)2+(y−3)2抛物线y2=8x的焦点因为P是抛物线y2=8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C:(x+3)2所以要使d1+d2最小，即连接FC，则d1+d即(−3−2)2所以d1+d故答案为：34【考点2：抛物线的标准方程与性质】【知识点：抛物线的标准方程与性质】图形标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)离心率e＝1焦半径|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)[方法技巧]求抛物线的标准方程的方法(1)定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：法一分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解法二设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程1．（2022·江苏南通·高三阶段练习）抛物线y=8x2的焦点到准线的距离是（A．132 B．116 C．2【答案】B【分析】将抛物线的方程化为标准方程，根据焦准距的意义，可得答案.【详解】抛物线y=8x2化为标准方程为抛物线则其焦准距为p=116，即焦点到准线的距离是故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（A．x2=112yC．x2=−136y【答案】D【解析】将y=ax2转化为x2=1ay【详解】将y=ax2转化为当a>0时，抛物线开口向上，准线方程y=−14a，点M(5,3)到准线的距离为3+14a=6，解得a=当a<0时，抛物线开口向下，准线方程y=−14a，点M(5,3)到准线的距离为3+14a=6，解得a=−136所以抛物线的方程为x2=12y故选：D【点睛】易错点睛：本题考查求抛物线的标准方程，解题时要注意，已知抛物线方程，求它的焦点坐标，准线方程等，一定要注意所给方程是不是标准形式，若不是，一定要先转化为标准形式，然后根据标准形式的类型，确定参数p的值及抛物线的开口方向等，然后给出结论.3．（2022·广东·高三阶段练习）已知点Am,2为抛物线C:y2=2pxp>0上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若△AOB（OA．12 B．1 C．2 【答案】C【分析】根据点Am,2为抛物线C:y2【详解】由题意点Am,2为抛物线C:y2即m=2p，则△AOB的面积解得p=2，故选：C4．（2022·上海市向明中学高三开学考试）设抛物线C:x2=8y的焦点为F，准线为l，Px0,yA．当x0=4时，B．当x0=2时，抛物线C在点PC．|PA|+|PF|的最小值为3D．|PA|−|PF|的最大值为5【答案】B【分析】由焦半径求出|PF|的值判断A，利用导数的几何意义可得切线方程判断B，利用抛物线定义结合图象可判断CD.【详解】当x0=4时，y0当x0=2时，y0=12，由所以抛物线C在点P处的切线方程为y−12=如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：PF=则PA+PF=PA+PB，当由题意得：F0,2，连接AF并延长，交抛物线于点P此点即为|PA|−|PF|取最大值的点，此时PA−其他位置的点P'，由三角形两边之差小于第三边得：P故|PA|−|PF|的最大值为5，故D正确.故选：B.5．（2021·全国·高二专题练习）（多选）对于抛物线上18x2A．开口向上，焦点为0,2 B．开口向上，焦点为0,C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为y=−4【答案】AC【分析】写出标准形式即x2【详解】由抛物线18x2=y，即x2故选：AC6．（2021·全国·高二课时练习）（多选）平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=−1的距离相等的动点的轨迹为曲线C．则（

）A．曲线C的方程为xB．曲线C关于y轴对称C．当点P(x,y)在曲线C上时，y≥2D．当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2【答案】AB【分析】由抛物线定义，可知曲线C是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为x2【详解】由抛物线定义，知曲线C是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为x2若点(x,y)在曲线C上，则点(−x,y)也在曲线C上，故曲线C关于y轴对称，故B正确；由x2=4y知点P到直线l的距离d≥1，所以D错误故选：AB7．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M−1,2【答案】y【分析】设抛物线方程为y2=mx,m≠0，代入点M−1,2【详解】依题意，设抛物线方程为y2=mx,m≠0，于是得22所以所求抛物线方程是y2故答案为:y28．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点F到直线l:2x−y−3=0的距离为5【答案】2或4【分析】求出Fp2,0【详解】抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F则点F到直线l:2x−y−3=0的距离为：d=p−3所以p−3=1，因为p>0，所以p=2故答案为：2或4.9．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F，A是C的准线上一点，线段AF与C交于点B，与y轴交于点D，且|AB|=5|BF|，S【答案】y【分析】过点B作抛物线C准线的垂线，垂足为E，结合图形，利用抛物线的定义和性质，根据直角三角形的边角关系求出p的值，即可写出抛物线的标准方程.【详解】过点B作抛物线C准线的垂线，垂足为E，由抛物线的定义知，|BF|=|BE|，又|AB|=5|BF|，所以|AE|=2|BE|，所以所以tan∠ODF=12.又|OF|=所以S△DOF=4=12所以抛物线C的方程为y2故答案为：y210．（2022·全国·高二课时练习）分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．(1)准线方程是4y+1=0；(2)抛物线的焦点是双曲线16x(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF=5【答案】(1)x2=y；(2)y2=−12x【分析】（1）根据准线方程，确定抛物线的开口和p值，直接代入求解；（2）根据双曲线的左顶点，即可求得抛物线的焦点坐标，直接求解；（3）首先设抛物线方程，再根据焦半径公式，代入求解.（1）准线方程为y=−14，所以抛物线方程开口向上，且得p=12，所以抛物线方程是（2）双曲线方程x29−所以抛物线的焦点为−3,0，抛物线的开口向左，p2=3，所以抛物线方程是y2（3）设抛物线方程y2=2px，p>0，当y=−3时，AF=92p+p2=5抛物线方程为y2=2x或设抛物线方程y2=−2px，p>0，当y=−3时，AF=92p+p抛物线方程为y2=−2x或综上可知，抛物线方程为y2=±2x或【考点3：抛物线的焦点弦】【知识点：焦点弦的常用结论】以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)(其中θ为直线AB的倾斜角)；(5)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．1．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线y2=4xp>0的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则1A．2 B．4 C．12 D．【答案】D【分析】根据抛物线的焦点弦长公式计算．【详解】抛物线y2=4x，可知设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为π2过焦点的弦，AB=2p∴1AB故选：D．2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）过抛物线x2=6y的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则（A．以线段AB为直径的圆与直线y=−3B．以线段BM为直径的圆与y轴相切C．当AF=2FBD．AB的最小值为6【答案】ACD【分析】根据焦点弦长公式可知AB=y1+y2+3，对比M将直线AB方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得M坐标，由此得到xN，与14AB由向量数乘运算可知x1=−2x2，由此可求得将AB表示为关于k的二次函数形式，由二次函数最值可知D正确.【详解】由抛物线方程知F0,32，准线方程为y=−可设AB：y=kx+32，设Ax对于选项A，易知AB=y1+y∴点M到准线y=−32的距离∴以线段AB为直径的圆与直线y=−3对于B，由y=kx+32x∴Δ=36k2+36>0∴y1+y设BM的中点为N，则xN=3k+∵3k2+32=对于C，若AF=2FB，则x1=−2x2，不妨设x1<0，x2>0，∵x1对于D，∵AB=y1+y故选:ACD．3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点Px1,y1，Qx2,y2，点A．若x1+x2=6，则PQ=8C．若M0,1，则PM+P【答案】ABD【分析】由抛物线的定义可判断A；由抛物线焦点弦的性质可判断B，D；由抛物线的定义，可知PP1=PF，所以PM+【详解】对于A，由抛物线的定义，知PQ=对于B，线段PQ的中点为Tx1+x2点T到直线l的距离为x1所以，以PQ为直径的圆与准线l相切，B正确；对于C，由抛物线的定义，可知PP1=PF，所以又F的坐标为1,0，所以MF=对于D，连接P1F,Q得∠PFP1=∠PP1同理∠QFQ所以∠PP1F+∠所以∠P1FO+∠故选：ABD.4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E:y2=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A,B两点，C,D分别为A,B在lA．若直线AB的倾斜角为45∘，则B．若AF=2FB，则直线ABC．若O为坐标原点，则B,O,C三点共线D．CF⊥DF【答案】ACD【分析】对于A，求出直线AB的方程，代入抛物线方程中，整理后利用根与系数的关系，然后利用弦长公式可求出AB，对于B，设AB:x=my+1，代入抛物线方程，整理后利用根与系数的关系，再由AF=2FB，得y1=−2y2，从而可求出A,B的坐标，进而可求出直线【详解】若直线AB的倾斜角为45∘，则AB:y=x−1令A(x1,y1)B(x所以AB=x1设AB:x=my+1，令A(x1,消x可得yy1+y2=4m所以y1所以k=−22或y1所以k=22.即k=±22，故设AB:x=my+1，令Ax1,消x可得y2−4my−4=0,kOB=y所以kOB−kOC=设AB:x=my+1，令A(x1消x可得yy1+y所以FC⋅即CF⊥DF，故D正确.故选：ACD.5．（2022·四川·德阳五中高二阶段练习（理））已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过焦点F且倾斜角为α的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为A①以线段AB为直径的圆与准线l相切；②1AF③S△AOB=p④若点Mp,0，且AF=AM，则直线AB⑤若已知点A的横坐标为x0，且已知点T−x【答案】①②⑤【分析】对于①，AF=a，BF=b，根据抛物线的定义可得线段AB的中点到准线的距离为a+b2=AB2，从而可判断；对于②，设Ax1,y1,Bx2,y2，其中y【详解】对于①，设AF=a，BF=b，则AA所以线段AB的中点到准线的距离为a+b2所以以线段AB为直径的圆与准线l相切，故①真确；对于②，设Ax1,当α=π2时，直线AB的方程为则Ap2,p,Bp当α≠π2时，设直线AB的方程为由y=kx−p2y2=2px，消去x得，所以x1+x所以1=2p综上，1AF对于③，当α=π2时，对于④，因为Mp,0，且AF所以点A在线段MF的垂直平分线上，即直线x=3p将x=3p4代入y2=2px，得故A3p4，对于⑤，易知Ax0,所以直线AT的方程为x=2与抛物线方程y2=2px联立可得因为Δ=4p2故答案为:①②⑤.【点睛】总结点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB=6．（2022·全国·高三专题练习）若抛物线y2=3x，过焦点F作倾斜角为30∘的直线与抛物线交于A【答案】12【分析】由抛物线的焦点弦长公式l=2psin2【详解】AB=7．（2022·全国·高三专题练习）若抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于A，B，若【答案】3x−y−3=0【分析】由焦点弦性质求得直线AB的倾斜角的余弦值，从而得直线斜率，得直线方程．【详解】先设直线AB倾斜角α为锐角，AFBF由对称性直线l方程还可以为y=−3综上，直线l的方程为3x−y−3=08．（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线l过焦点F且与抛物线y2=2pxp>0交于A , B【答案】证明见解析.【分析】由抛物线的性质可求出线段AB=2psin2θ ，过原点O作【详解】证明：过A做AN垂直准线于N点，过B做BM垂直准线于M点，则BM=BF，AF=AN，因为直线l倾斜角为θ，所以有BFcosθ+p=BF，所以BF=p1−cos过原点O作OP⊥AB于P，于是OP=∴S9．（2022·全国·高三专题练习）如图，抛物线y2=2pxp>0与过焦点Fp2,0的直线l相交于A,B两点，若【答案】AB【分析】设FA=m，FB=n，可得xA=p2+m【详解】设FA=m，FB=n，则xA由抛物线定义知：FA=xA∴m=p1−cos∴AB【考点4：抛物线的实际应用】【知识点：抛物线的实际应用】抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题．1．（2022·河南焦作·高二期末（理））上海黄浦江上的卢浦大桥（图1）整体呈优美的弧形对称结构，如图2所示，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，若主拱的顶端P点到桥面的距离等于桥面与江面之间的距离，且AB=550米，则CD约为（精确到10米）（

）A．410米 B．390米 C．370米 D．350米【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，表示出B点坐标，求出xD【详解】以P为坐标原点，以AB的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系xOy，设主拱抛物线的方程为x2由题意可知xB=275，则yB=−27522p，因为点P到直线CD所以xD=−2p故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点（1，－2）射入，经抛物线上的点P反射后，再经抛物线上另一点Q反射后射出，则|PQ|=（A．252 B．13 C．272【答案】A【分析】求得P点坐标，求得直线PF的方程，从而求得Q点的坐标，进而求得PQ.【详解】抛物线y2=8x的焦点为由−22直线PF的方程为y=0−由y=43x−2y2所以Q8,8，所以PQ故选：A3．（2022·北京市第五中学高二期中）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（

）A．10cm B．7.2cmC．3.6cm D．2.4cm【答案】C【分析】先建立直角坐标系，设出抛物线的方程，根据题设条件得点(10,12)代入抛物线方程求得p，进而求得p2【详解】解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，以反射镜的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示：因为灯口直径为24cm，灯深10cm，所以点(10,12)在抛物线上.由题意设抛物线的方程为y2由于点(10,12)在抛物线上，得122∴2p=14.4∴焦点坐标为F∴灯泡与反射镜顶点的距离为3.6cm故选：C4．（2021·江苏·高三阶段练习）如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD等于热馈源F到口径AB的距离，已知口径长为40cm，防护罩宽为15cm，则顶点O到防护罩外端CD的距离为（

）A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm【答案】C【分析】根据给定条件建立坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程即可计算作答.【详解】以顶点O为坐标原点，射线OF为x轴建立平面直角坐标系，如图，令轴截面边界曲线所在抛物线方程为：y2则F(p2,0)，A(p2+15,20)，而点A在抛物线上，于是得则O到CD距离d=p所以顶点O到防护罩外端CD的距离为35cm.故选：C5．（2022·全国·高二课时练习）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形