理论力学-课件第15章

第十五章动力学普遍方程与拉格朗日方程01动力学普遍方程02拉格朗日方程目录第一节动力学普遍方程惯性力利用理想约束条件

得到

或

（15-1）（15-2）动力学普遍方程是用分析法求解质点系动力学问题的基础，应用该方程求解动力学问题是方便的，只要把加在质点系上的惯性力视为主动力，其他与应用虚位移原理求解静力学问题的方法相同。例15-1图15-1解（1）选研究对象，分析力。选整个系统为研究对象。作用于系统上的主动力有三个，即三个重物的重力G,G1,G2。常数（a）对式（a）求时间t的二阶导数，得（b）由此得到在各重物上分别加惯性力，其大小分别为（c）各惯性力的方向分别与各自加速度方向相反，如图15-1所示。（3）给系统以虚位移。各重物的虚位移如图15-1所示，它们之间的几何关系可由对约束方程（a）求一阶变分得到（d）（4）列动力学普遍方程，求解未知量。由动力学普遍方程，得

（e）或（f）将式（d）代入式（f）得到（g）（h）再将式（c）代入式（h），并整理可得（i）例15-2

图15-2解（2）分析系统的运动，加惯性力。系统中各物体均做直线平动。选坐标系Oxy，可得到约束方程为（a）

（b）在A三角块、BC杆上分别加惯性力，其大小各为各惯性力的方向分别与各自加速度方向相反，如图15-2所示。（3）给系统以虚位移。沿运动方向给各重物虚位移，它们之间的几何关系可由对约束方程（a）求一阶变分得到（c）（4）列动力学普遍方程，求解

。由动力学普遍方程，得到（d）将式（c）代入式（d），得到（e）由于

为非零的独立变量，所以（f）即可见，第二节拉格朗日方程拉格朗日方程从动力学普遍方程（15-1）来推导广义坐标下完整系统的拉格朗日方程

（15-3）（13-5）式（13-5）表明，如果对质点系中每个质点都假想地加上各自的惯性力，则质点系的所有外力和所有质点的惯性力组成平均力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。在应用质点系的达朗贝尔原理求解动力学的问题时，取投影形式的平衡方程。若取直角坐标系，则对于平面任意力系有（13-6）由第十四章第六节已经得到主动力的虚功表达式为（15-4）式中

.（15-5）（15-6）所以式（15-7）可改写成（15-8）（15-9）（15-10）另外，由同一式（15-9），又可得到（15-11）（15-12）这里引入了质点系的动能表达式由动力学普遍方程式（15-1），可得按式（15-4）和（15-6），上式又可写成（15-13）（15-14）这些等式表明，质点系的广义力与广义惯性力相互平衡，根据式（15-12），方程（15-14）可以写成如下形式（15-15）方程（15-15）称为拉格朗日方程。对于保守系统，即作用在质点系的主动力是有势力，则由式（14-16）广义力拉格朗日方程（15-15）可写为（15-16）式（15-16）又可写成或（15-17）用拉格朗日方程求解动力学问题时，可按如下步骤进行。因为保守系统质点系的势能仅是广义坐标的函数，与广义速度无关，所以（1）分析题意，选择研究对象。（6）代入拉格朗日方程，利用初始条件，求解k个二阶常微分方程。（3）计算质点系动能，并用广义坐标和广义速度表示。（2）分析质点系的运动，判断其自由度数，选定合适的广义坐标。例15-3

解图15-3（4）计算广义力。其中计入了（5）代入拉格朗日方程。将上述各表达式代入拉格朗日方程，得则即故振动的周期例15-4解

图15-4（a）所以齿轮Ⅱ的角速度为（b）齿轮Ⅲ上D点速度为（c）所以齿轮Ⅲ的角速度为（d）系杆AB动能为齿轮Ⅱ的动能为齿轮Ⅲ的动能为系统的动能为（3）计算广义力。又由（d），可得到所以（5）列拉格朗日方程将上述各项代入拉格朗日方程得到

所以系杆的角加速度为例15-5

长为3r，质量为m的均质杆OA，以光滑销钉连接在半径为r、质量为m的均质圆盘中心O上，圆盘在水平轨道上做纯滚动，求此系统的运动微分方程。机构位置及几何尺寸如图15-5所示。解（2）分析系统运动，计算系统的动能。杆OA、轮O均做平面运动，轮O的动能为（a）式中图15-5所以（b）OA杆的动能为（c）式中

（d）选坐标系Oxy如图15-5所示，则式（d）的投影方程为所以因微幅振动，故有所以（e）将式（e）代入式（c），得到（f）系统的动能为（3）计算系统的势能V，