3.3.1抛物线及其标准方程（知识解题达标测试）（原卷版）

3.3.1抛物线及其标准方程【考点1：抛物线的定义】【考点2：抛物线的标准方程】【考点3：轨迹方程抛物线】

【考点4：抛物线距离和与差的最值问题】【考点5：抛物线的实际应用】知识点1：抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点诠释:（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.知识点2：抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，。知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。【考点1：抛物线的定义】【典例1】已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=−2的距离为4，则MF=A．7 B．6 C．5 D．4【变式11】已知抛物线x2=4y的焦点为F，点M在抛物线上，且MF=3，则点M到xA．4 B．22 C．2 【变式12】已知抛物线C:y2=12x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x=−2的距离为5，则|MF|=A．6 B．5 C．4 D．3【考点2：抛物线的标准方程】【典例2】焦点在直线2x+5y−10=0上的抛物线的标准方程为（

）A．y2=10x或x2=4y C．y2=20x或x2=8y 【变式21】已知抛物线的焦点是F(0,2)，则抛物线的标准方程是（

）A．y2=8x C．y2=−8x 【变式22】多选题已知抛物线C的焦点在直线2x−y+4=0上，则抛物线C的标准方程为（

）A．y2=8x B．y2=−8x C．【变式23】边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A,B的抛物线方程是（

）A．y2=36C．y2=±36【考点3：轨迹方程抛物线】【典例3】已知点M到点F(−2,0)的距离比点M到直线x=3的距离小1.(1)求点M的轨迹方程；(2)求线段MF中点Q的轨迹方程.【变式31】若圆C与x轴相切且与圆x2+y2=4A．x2=4y+4 C．x2=4y【变式32】已知圆F：x−122+y2=116与定直线l：x=−14，动圆P与圆F外切且与直线l【变式33】在平面坐标系中，动点P和点M(−3,0)、N(3,0)满足|MN|⋅|MP|+MN【考点4：抛物线距离和与差的最值问题】【典例4】设抛物线y2=−4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线3x+4y−12=0的距离为d2，则A．3 B．2 C．163 【变式41】已知抛物线C:y2=8x，其焦点为F，P是拋物线C上的动点，若点M4,2，点Q在以FM为直径的圆上，则A．5−2 B．5+2 C．8【变式42】已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上的一个动点，A3,1，则△APFA．2+25 B．4+5 C．3+5【变式43】P为抛物线y2=−4x上动点，则P到焦点F的距离与到A−2,1【考点5：抛物线的实际应用】【典例5】一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.

(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.【变式51】北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为x2100+y225=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，0,365为顶点的抛物线的一部分（从点C(1)求航天器变轨时点C的坐标；(2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离.【变式52】如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，OP=10km，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．【变式53】如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为12dm，镜深2dm．(1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位dm）．一、单选题1．抛物线x2=−8y的准线方程是（A．x=132 B．y=−2 2．已知抛物线y=14x2上一点A的纵坐标为4，则点A．1716 B．5 C．6 D．3．已知抛物线C：y2=mx过点2,5，则抛物线CA．x=58 B．x=−58 C．4．设F为抛物线y2=8x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则AF+A．6 B．8 C．10 D．125．设抛物线C：y2=3x的焦点为F，点A为曲线C第一象限上的一点，若A．π3 B．π4 C．2π6．点P到直线y=3的距离比到点F0,−1的距离大2，则点P的轨迹方程为（

A．y2=2x B．y2=−4x C．7．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，若AB=16，则点M到A．4 B．6 C．7 D．88．抛物线y=−6x2的焦点为（A．−32,0 B．0,−124 9．若动圆M与圆C:x−22A．x2=8y C．y2=2x 二、多选题10．设抛物线C:x2=4y的焦点为F，点A,B是CA．抛物线C的准线方程为y=−1B．若AF=4，那么点A的横坐标为C．若AF+BF=8，则线段ABD．以线段AF为直径的圆与x轴相切三、填空题11．以抛物线x2=2y的焦点为圆心，且与x212．过点1,0作直线与y2=4x交于A，B两点，若|AB|=4，则直线AB的倾斜角为四、解答题13．已知抛物线C：y2=2pxp>0(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF，求点14．已知抛物线