物理竞赛复赛模拟卷

物理竞赛复赛模拟卷（四）

班级：姓名：

1.光子火箭从地球起程时初始静止质量（包括燃料）为Mo,向相距为R=L8Xl（）61.y.（光年）的远方仙女

座星飞行。要求火箭在25年（火箭时间）后到达目的地。引力影响不计。

1）、忽略火箭加速和减速所需时间，试问火箭的速度应为多大？2）、设到达目的地时火箭静止质量为Mo

',试问Mo/M。’的最小值是多少？

2.如图所示，地面上的观察者认为在地面上同时发生的两个事件A和B,

在相对地面以速度巨（方平行于x轴，且与正方向同向）运动的火箭上

的观察者的判断正确的是（）

A、A早于BB、B早于A

C、A、B同时发生D、无法判断

3.如图所示，正方形均质板重G,用4根轻质杆钱链水平悬挂，外形构成边长为a的立方体，现将方板

绕铅垂对称轴旋转e角度，再用一细绳围绕四杆的中点捆住，

位置。试求绳内的张力。

4.如图所示，一小车对地以加速度aklm/d向左由静止开始作匀加速运动，―aa?

车上一人又以加速度az=2m/s2相对于车向右同时由静止开始作匀加速运动。21「

求：（1）人对地的加速度；（2）经历时间ti=ls,人对地的瞬时速度；（3）。.....Q

经历时间tz=2s,人对地的位移。

5.有一小直径为d的试管，管内装有理想气体，其中有一段质量m=2g的水银将理想气体和空气隔开。当

试管口向上时，气体在试管中的长为L(图24-30(a)中的(a)),当将管口向下时，气体在试管中长为

L2(图24-30(b)中的(b)),试求Lz/L为多少？

6.有一个两端开口、粗细均匀的U型玻璃细管，放置在竖直平面内，处在压强为P。

的大气中，两个竖直支管的高度均为h,水平管的长度为2h,玻璃细管的半径为r,r«h,

今将水平管内灌满密度为P的水银，如图所示。

I*—2h―>|

1.如将U型管两个竖直支管的开口分别封闭起来，使其管内空气压强均等于大气压

强，问当U型管向右作匀加速移动时，加速度应多大才能使水平管内水银柱长度稳定

-h

为3o

2.如将其中一个竖直支管的开口封闭起来，使其管内气体压强为latm,问当U型管绕以另一个竖直支管

(开口的)为轴作匀速转动时，转数n应为多大才能使水平管内水银柱长度稳定

-h

为3。

(U型管作以上运动时，均不考虑管内水银液面的倾斜)

8.(1)所示为一凹球面镜，球心为C,内盛透明液体，已知C至液面高度CE为40.0cm,主轴CO上有一

物A,物离液面高度AE恰好为30.0cm时，物A的实像和物处于同一高度。实验时光圈直径很小，可以保

证近轴光线成像。试求该透明液体的折射率n。

(2)体温计横截面如图所示，已知细水银柱A离圆柱面顶点0的距离为2R,Rr-

为该圆柱面半径，C为圆柱面中心轴位置。玻璃的折射率n=3/2,E代表人眼，乡〃「

求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚实、正倒和放大倍数。豆三”5后

^2R—>

9.如图所示，两个固定的均匀带电球面A和B分别带电4Q和Q(Q>0)。两球心之间的距离d远大于两球

的半径，两球心的连线MN与两球面的相交处都开有足够小的孔，因小孔而损失的电量可以忽略不计。一

带负电的质点静止地放置在A球左侧某处P点，且在MN直线上。设质点从P点释放后刚好能穿越三个小

孔，并通过B球的球心。试求质点开始时所在的P点与A球球心的距离x应为多少？

10.如图所示，在真空中有4个半径为a的不带电的相同导体球，球心分别位于边长为r(r»a)的正方

形的四个顶点上。首先，让球1带电荷Q(Q>

0),然后取一细金属丝，其一端固定于球1

上，另一端分别依次与球2、3、4、大地接触,

每次接触时间都足以使它们达到静电平衡。

设分布在细金属丝上的电荷可忽略不计。试N

求流入大地的电量的表达式。

物理竞赛复赛模拟卷（四）解答

1.光子火箭从地球起程时初始静止质量（包括燃料）为Mo,向相距为R=L8X10iy.（光年）的远方仙女

座星飞行。要求火箭在25年（火箭时间）后到达目的地。引力影响不计。

1）、忽略火箭加速和减速所需时间，试问火箭的速度应为多大？2）、设到达目的地时火箭静止质量为M„

:试问Mo/M。’的最小值是多少？

分析：光子火箭是一种设想的飞行器，它利用“燃料”物质向后辐射定向光束，使火箭获得向前的动量。

求解第1问，可先将火箭时间的=25a（年）变换成地球时间7,然后由距离R求出所需的火箭速度。

火箭到达目的地时，比值加；是不定的，所谓最小比值是指火箭刚好能到达目的地，亦即火箭的终速度

为零，所需“燃料”量最少。利用上题（本章题11）的结果即可求解第2问。

解：D火箭加速和减速所需时间可略，故火箭以恒定速度〃飞越全程，走完全程所需火箭时间（本征时

间）为7=25。（年工利用时间膨胀公式，相应的地球时间为

R

v

解出

可见，火箭几乎应以光速飞行。

（2）、火箭从静止开始加速至上述速度火箭的静止质量从Mo变为M,然后作匀速运动，火箭质量不变。

%

最后火箭作减速运动，比值最小时，到达目的地时的终速刚好为零，火箭质量从M变为最终质量加；。

加速阶段的质量变化可应用上题（本章题11）的（3）式求出。因光子火箭喷射的是光子，以光速c离开

火箭，即-c,于是有

]

M（1-ygV

“0J+尸，（1）

°=氏'为加速阶段的终速度，也是减速阶段性的初速度。对减速阶段，可应用上题（本章题11）的（4）

式，式中的mo以减速阶段的初质量M代入。又因减速时必须向前辐射光子，故口=-5即有

M

玩'

J+夕(2)

由（IX（2）式，得

2.如图52-1所示，地面上的观察者认为在地面上同时发生的两个事件A和

<\ii

B,在相对地面以速度〃（力平行于x轴，且与正方向同向）运动的火箭上

的观察者的判断正确的是（）

A、A早于BB、B早于A

C、A、B同时发生D、无法判断

解：在地面（S系）上，^=xB-xA,^t=tli-tA=0>在火箭（S'系）

图52-1

UX./\

—(“A-XB)

C-

因r>0,〃>0,故A/VO。即从火箭上观察，B事件在前，A事件在后，选B。

3.如图11-195所示，正方形均质板重G,用4根轻质杆较链水平悬挂，外形构成边长为a的立方体，现

将方板绕铅垂对称轴旋转。角度，再用一细绳围绕四杆的中点捆住，使板平衡

于。角位置。试求绳内的张力。

分析：初看此题，一般都会觉的比较复杂，因为题中校链就有8个，加上4根

轻质杆与绳子有4个接触点，一共有12个受力点，而且初看甚至想象不出木板

旋转9角度以后整个系统是什么样子，即使把各个受力点的力逐个画出来也无

济于事。应该先想一想哪些点都是对称的（等价的），找出最基本的部分，再把

空间方向确定下来，然后好画出各个力点的受力情况。

解：把木板绕铅垂对称轴旋转6角度以后，系统虽然不是一个很对称的立方体,

但把系统绕铅直轴旋转90度的整数倍，系统的与自身重合，说明四根轻杆的受

力情况是完全一样的。系统处于平衡状态，把四根轻杆，木板，绳组成的部分

看成刚体，则刚体受四个较接部分的力而平衡，重力方向的平衡可以得出，竖直方向对每根轻杆的拉力T

上为：

4T上=G(1)

而较接处是否对轻杆有水平方向的作用力，暂时还不好确定，不过可以为N〃，从

俯图来看四根轻杆的受力情况（如图11T96所示）：

图11-196

图中虚线表示正方形对角线的外延部分，如果N〃不在对角线方向上，则四个N〃对0点有一个力偶矩，将

使得下面的部分旋转，与平衡假设相矛盾，因此水平弹力必然在对角线方向，要么都向外，要么都向里（设

向外为正，这种设法不会影响结果）。

同样的道理，把木板隔离开来，可知木板对轻杆往下的拉力下为:

下

4T=G(2)

而水平方向的作用力必沿对角线方向（否则木板旋转），木板对杆的作用

力向里向外的性质与上端较链的方向相同，否则以绳对杆的作用点为支

点，力矩无法平衡。

下面再看整个系统的俯视图（如图11-197所示），把轻杆隔离出来作为平

衡的刚性杆，利用力的平衡条件和力矩的平衡条件可求出拉力T的大小。

绳作用在每根转杆的中点，在俯视图上不难看出，绳子构成一个正方形，

且在水平面内，因而可以知道绳对轻杆仅有水平面内，因而可以知道绳对

轻杆仅有水平面内的拉力，轻杆在竖直方向上力的平衡是满足的：

T上=T下(3)

取一根轻杆为研究对象不难求出N〃与N7的关系，以及N〃与丁〃的关系，设绳的张力为「则水平合力

X方向水平力平衡:

.J,.0股.0

7V//sin-=7V//sin-

(4)

y方向水平力平衡:

N；cos、+N"cos?-TH=42T

(5)

在过轻杆的竖直面内来分析力矩平衡（只研究平面内转矩），如图11T98。

对于A点，力矩平衡

N'“sin—•aJcosS=T卜•V2asin—

22(6)

联合(2)、⑷、⑸、(6)式可得

Gcos-

2

T=

2jcos6

->a24.如图12-30所示，一小车对地以加速度ai=lm/s2向左由静止开始作匀加速运动，车

~~上一人又以加速度a=201/-相对于车向右同时由静止开始作匀加速运动。求：（1）人对

。......地的加速度；（2）经历时间t1=ls,人对地的瞬时速度；（3）经历时间t2=2s,人对地的

位移。

图12-30解：（1）°人地人车车地

与a?方向相反选a?为正方向

则

a人地=2m/s?一网52

—Imls2

"人车=2m/s

(2)t=ls时,

“车地=一1袖s

V人地=2m/s-im/s

=im/s

2

“人地=Im/s

(3)

—'xa'Xt2=5=—xlx22=2m

22

5.有一小直径为d的试管，管内装有理想气体，其中有一段质量m=2g的水银将理想气体和空气隔开。当

试管口向上时，气体在试管中的长为L(图24-30(a)中的(a)),当将管口向下时，气体在试管中长为

L(图24-30(b)中的(b)),试求L2/L为多少？

解：如果是等温过程，可得理想气体的状态方程

PV=常数

对于上述两种情况，可有

PM=6匕

现在考虑在每一情况作用中在气体上的压强，如图24-30(b)所示，可得

W

匕_片_大气,J

匕一八一2一上

大气S

式中S为试管内部的截面积，W为水银的重量，W=mg,则

v“尸大气+鳖

匕=S4=人IS

Xs4P大气mg

S

消去S得

J_P大气+

L4Mg

大气—

'P7Rl2

6.有一个两端开口、粗细均匀的U型玻璃细管，放置在竖直平面内，处在压强为P。

的大气中,两个竖直支管的高度均为h,水平管的长度为2h,玻璃细管的半径为r,r«h,

今将水平管内灌满密度为P的水银，如图24-54(a)所示。

1.如将U型管两个竖直支管的开口分别封闭起来，使其管内空气压强均等于大气压图24-54(a)

强，问当U型管向右作匀加速移动时，加速度应多大才能使水平管内水银柱长度稳定为3。

2.如将其中一个竖直支管的开口封闭起来，使其管内气体压强为latm,问当U型管绕以另一个竖直支管

5/7

（开口的）为轴作匀速转动时，转数n应为多大才能使水平管内水银柱长度稳定为§o

（U型管作以上运动时，均不考虑管内水银液面的倾斜）।|]—

解：1、当U型管向右加速移动时，水平管内的水银柱将向左边的竖直支管中移1/,!

动,其稳定的位置是留在水平管内的水银柱所受的水平方向的合力等于使其以恒3丁）------%”

定加速度a向右运动时所需的力。由于竖直支管内空气在膨胀或压缩前后的温度

相等，根据气态方程有图24-54（b）

S为管的截面积，图24-54（b）中，A、B两处压强分别为:

1,

PA=%+个Pgh

PB=PI

而留在水平管内的水银柱质量

m=—phS

其运动方程为（PA—PB）S=ma

由以上各式可得

a=(9po+4pgh)/(20ph)

2.当U型管以开口的竖直支管为轴转动时，水平管内的水银柱将向封闭的竖直支管+5"

中移动，其稳定位置是水平管内的水银柱所受的水平方向的合力，正好等于这段水；

银柱作匀速圆周运动所需的向心力。由于封闭竖直支管内空气在压缩前后的温度相

等，根据气态方程有

PohS=aphS

图24-54(c)

S为管的截面积。图24-54（c）中A、B两处的压强分别为

PA=P+-

PB=Po

留在水平管内的水银柱的质量

m=—phS

其运动方程为

(pA-pB)S=ma)'R=4兀"n\nR

由以上各式可得

n=[(9/%+6/Jg/z)/(140^2/?/?2))2

7.有一块透明光学材料，由折射率略有不同的许多相互平行的，厚度d=0.1mm

的薄层紧密连接构成，图33-40表示各薄层互相垂直的一个截面，若最下面一出

层的折射率为no,从它往上数第K层的折射率为m=n°-K,,其中n0=l.4,v=0.025,----------------------------«4

今有一光线以入射角i=60°射向0点，求此光线在这块材料内能达到的最大

深度？逐勺2f

解：设光线进入材料后的折射角为r,则根据折射定律有sini=〃o・sinr,二^济二"

一生-4,图33-40

此光线从最下面一层进入向上数第一层时，入射角为2,折射角为

同样根据折射定律有

也即"OS。。

光线从第一层进入第二层时，同样可得

/?1•cos00=n2cos

综合以上分析可得:

。几

•cos0=］cos=n2cosa=........=nK•cos(/)K

因为〃K=〃O-KX°.OO25,所以COS@K随着K的增大而增大，念则随着K的增大而减小，即光线在顺

序变化的介质中传播时将偏向折射率变大的方向。满足上式又当C0S°K最接近1的K值即为光线能进入的

最深薄层的序号，光线在这个薄层上将发生全反射，然后又逐层返回下面最后射出透明材料。

因此求出能满足下式的K的最大值

HQ-Kv

因为n0•cos。。=nasinr=sini

代入上式得：

sini

cos

TIQ-Kv

”/i-sinz1.41-0.866…”

K<0-----=-----------=21.76

解得:v0.025

取小于21.76的最大整数，得K=2L即在n。上面第21层下表面就是光线能到达的最深处，所以光线在这

块透明材料内能达到的最大深度是

h-（K+\）d=22x0.\mm-2.2mm.

8.（1）图33-98所示为一凹球面镜，球心为C,内盛透明液体，已知C至液面高度CE为40.0cm,主轴

C0上有一物A,物离液面高度AE恰好为30.0cm时，物A的实像和物处于同一高度。实验时光圈直径很小,

可以保证近轴光线成像。试求该透明液体的折射率n。

（2）体温计横截面如图33-99所示，已知细水银柱A离圆柱面顶点。的距离为2R,R为该圆柱面半径，C

为圆柱面中心轴位置。玻璃的折射率n=3/2,E代表人眼，求图示横截面上人眼广~7~落、

所见水银柱像的位置、虚实、正倒和放大倍数。m彩一»

分析：（1）通过折射定律和光圈足够小的条件可求出液体的折射率。（2）注意L--一'一少E

在近轴条件下的近似，再通过几何知识即可求解。尸2AT

解：（1）主轴上物A发出的光线AB,经液体界面折射后沿BD方向入射球面镜时，图33-99

只要BD延长线过球心C,光线经球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原

理，折回的光线相交于A（图33-100）。

对空气、液体界面用折射定律有

sinz=n-sinr

siniBE/AB

n=----=————

sinrBE/CB

当光圈足够小时，BTE,因此有AE30.0

（2）先考虑主轴上点物A发出的两条光线，其一沿主轴方向ACOE入射界面，无偏折

地出射，进入人眼E。其二沿AP方向以入射角，斜入射界面P点，折射角为r。折射

光线PQ要能进入人眼E,P点应非常靠近0点，或者入射角’和折射角r应很小。若

角度以弧度量度，在小角（近轴）近似下，折射定律〃sini=sinr可写为山。这

图33-100

两条光线反向延长，在主轴上相交于小，屋即为物A之虚像点（图33-101）。

对NAPA'用正弦定律，得

sinZArPA_sin（4一i）_sini

TATP~

在小角（近轴）近似下：

sinZ.AfPA=ZA/PA=ni—i,sini=i

上式可写为7/b-2R~Td

解上式得

2-n2-3/2

为了分析成像倒立和放大情况，将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体AB,即然A~A'是一对共轿点，

只要选从B发出的任一条光线经界面折射后，反向延长线与过A'点垂轴线相交于夕，夕是点物B虚像

点，即A'夕是物AB之正立虚像。

选从B点发出过圆柱面轴心C的光线BC。该光线对界面来B',一“；

说是正入射（入射角为零），故无偏折地出射，反向延长BC

线交过A'垂轴线于"，从AA'B'CsAABC得

W~^C3R

图33-101

放大率

9.如图41-83所示，两个固定的均匀带电球面A和B分别带电4Q和Q（Q>0）。两球心之间的距离d远大

于两球的半径，两球心的连线MN与两球面的相交处都开有足够小的孔，因小孔而损失的电量可以忽略不

计。一带负电的质点静止地放置在A球左侧某处P点，且在MN直线上。设质点从P点释放后刚好能穿越

三个小孔，并通过B球的球心。试求质点开始时所在的P点与A球球心的距离x应为多少？

分析：质点释放后，由于质点带负电，A球和

B球带正电，故质点先加速，穿过A球内时，/>一一、

不受A球的电场力作用，但仍受B球的电场p//\

力，进一步加速。在两球之间时，存在一质血---9-------------p---------9P---j,

点所受合力为零的点，设此点为S,且由于A\A/'\B）

球所带电量大于B球带电量,S点应离B球较、J，'--

近。所以质点从A球内出来后到S点这段距1X一|-------d------

离内作减速运动，从S点到B球的第一个孔

这段距离内作加速运动。因此，为了使质点图41-83

能到达B球的球心，第一个必要条件是，质

点必须通过S点，即质点在S点的速度至少应大于零或至少等于零。若质点能通过S点，则如上述，从S

点到B球的第一个孔期间，质点沿MN向右加速。由于质点在B球内不受B球的电场力作用，但仍受A球

向左的引力，质点减速，因此为了使用期质点能通过B球的球心，第二个必要条件是，质点在B球球心处

的速度应大于零或至少等于零。

本题的关键在于带电体系的电势能与带电质点的动能之和，在该质点运动过程中守恒。因此质点刚好能通

过S点的条件可表示为，质点在P点和S点时，带电体系的电势能相等（注意，质点在P点静止）。同样,

若质点在S点时带电体系的电势能大于（或等于）质点在B球球心时带电体系的电势能，则表明质点若能

通过S点，就必定能通过(或刚好到达)B球球心。

解：根据分析，在MN直线上在A球和B球之间有一个S点，带电质点在S点受力为零。设S点与A球和

B球球心的距离为(和"2,则

埠名

r\+r2=d

由以上两式，可解出

2,1

r<=—d；r=J

337

带电质点从P点静止释放后，刚好能够到达S点的条件是，它在P点和S点的电势能相等，即

笈4。(-<?)。(-q)_G4。(-q)4左。(-4)

鼠।K-KIK

x无+df]r2

式中-q(q>0)是带电质点的电量。把上面解出的八和八2代入，得

x=|(V10-l)c/

为了判断带电质点刚好到达S点后，能否通过B球球心，需比较它在S点的电势能％与它在B球球心处

的电势能卬8的大小，因

ws=k^l+k^l=-k2Qi

r\r2d

%人用+个…%力

式中RB为B球的半径。由题设

RB«d

419

----1------->一

故dRBd

即卬8>%

因此，带电质点只要能到达S点，就必定能通过B球球心。于是，所求开始时P点与A球球心的距离x即

为上述结果，即

10.如图41-88所示，在真空中有4个半径为a的不带电的相同导体球，球心分别位于边长为r(r»a)

的正方形的四个顶点上。首先，让球1带电荷Q(Q>0),然后取一细金属丝，其一端固定于球1上，另一

端分别依次与球2、3、4、大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡。设分布在细金属丝上的

电荷可忽略不计。试求流入大地的电量的表达式。

解：当球1与球2连接后，用Q：和金分别表示球1和球2上的电量,

可得Q2=Q；=Q/2。球1与球3连接后，因球1和球3处于对称

位置，其电量Q：和Qs相等，故可得03=2“=0/4.球1与球4连

图41-88

接后，电荷分布呈不对称状态，设连接后球1和球4上的电量分别

为5与Q”。它们可利用等电势方法求出，即

U,^kQJa+kQJr+kQ./(V2r)+kQJr

U4=kQ、/a+kQ2/(^2r)+kQ3/r+kQJa

以上各式中，计算各球上的电荷在另一球处引起的电势时，利用了r»a的条件。由于4=04,且

QI+Q4=Q1=Q/4,

故a=0{l-a(V2-l)/[V2(r-a)]}/8

04=g{l+a(V2-l)/[V2(r-«)]}/8

利用r»a的条件，略去二阶小量，上式可写成

Q,=e[l-a(V2-l)/(V2r)]/8

04=汕+4凤1)/(⑸]/8

最后将球1与球4断开并把球1接地。设接地后球1所带电量为⑴，电势为“，则球1的电势为

U[-kQt/a+kQ2/r+kQ5(^2r^+kQA/r-0

%=-。(。2+°3/收+。4)”

=—aQb/8+1/(4V2)+(V2—11/(80)]/r

--«e[5/8+l/(4V2)]/r

此时球1上带负电，故流入大地的电量0入地为

。入地=Q\+|%|

=°|1-a(V2-1)/V2r]/8+游/8+1/(4⑸/r

=Q[l+a(5+V2-l+72/2)/r]/8

=e[l+a(4+3V2/2)/r]/8

J2)

Q

8

答:

物理竞赛复赛模拟卷（五）

1.设法使边长为L的正方形环在任何情况下均以匀速度v沿着它的AB边方向运动，在其运动的空间区域

内有一匀强电场，场强E垂直于环的运动速度。运动期间，环始终在同一平面上，电场E相对于环平面的

倾角为e。设环上串有大量小球，这些小球象珠子串在项链上那

样被串在环上。小球的大小可忽略，各球都带有电量q»今在相

对于环不动的参照系中设法让这些小球均以匀速u沿环边运动，

各边上相邻两球的间距均为a,且L远大于a（参见图52-2）,环

是用不导电的线制作的，在相对于环不动的参照系中它有均匀的

电荷线密度，正好把全部小球的电荷完全抵消掉。

考虑相对论效应，在一个从其上看环的运动速度为v的惯性参照

系上计算以下各量：

1、环路各边上相邻两个小球之间的距离aAB,aec,a®和aw；

2、环路各边净电量（各边上线电荷与小球电荷之和）Q叫QBC,QS

和QOA;

3、使环与小球系统受到转动作用的电力矩模量M；

4、环与小球系统和电场之间相互作用的电势能W。

所有解答均需用题中给定的量来描述。

2.如图11-189所示，一块均匀的细长木板以倾角。静止地放在两根水

平的固定平行细木棒A和B之间。若两棒相距为d,两棒和木板间的摩

擦因数均为u,试求木板重心G与木棒A之间的距离。

图11-189

3.A、B两点相距s,将s平分为n等份。今让一物体（可视为质点）从A点由静止开始向B做加速运动,

但每过一个等分点，加速度都增加a/n。试求该物体到达B点的速度。

4.一个质点从静止开始，先以加速度出作匀加速运动，后以大小为az的加

速度作匀减速直线运动，直至静止，质点运动的总时间为t,则运动的总位

移是多少？

5.如图24-29所示，截面均匀，下端A封闭的细长试管AB竖直放置，管下端A内封有长为L。的空气，管

中间是长为4L。的水银柱，管上端B有长为L。的空气。管中间有长为L=4L„的水银柱管上端B有长为U,的

空气。开始时，管上端B与大气连通，大气压强为p°=2pgL,其中P为水银密度。

（1）如果先将B端封闭，再将试管缓慢转过180°,试问管中A端空气柱长度晨与BB

端空气柱长度LB各为多少？

水

（2）如果B端始终与大气连通，不封闭，先将试管缓慢倒转180°,再缓慢回转180°

银彳=4%

复原。试问最后管中A端空气柱长度4与B端空气柱长度品各为多少L。？柱V

设倒转过程均在大气环境下进行，温度不变。空

图24-29

6.某水银气压计的玻璃管顶端高出水银槽液面1m。如图24-33所示，因上部混入少量

空气，使其读数不准。当气温为27。3标准气压计读数仍为76cmHg时，该气压计读数

为70cmHg。

（1）在相同气温下，若用该气压计测量气压，测得读数为68cmHg,则实际气压应为多

少厘米汞柱？

（2）若在气温为-31时，用该气压计测得气压读数仍为70cmHg,则实际气压应为多

少厘米汞柱？

图

24-33

7.如图24-61所示，有一个直立的气缸，气缸底到气缸口的距离为L℃m,用一厚度和质量均可忽略不计

的刚性活塞A,把一定质量的空气封在气缸内，活塞与气缸间的摩擦可忽略。平衡时活塞上表面与气缸口

的距离很小（计算时可忽略不计），周围大气的压强为HocmHgo现把盛有水银的一个瓶子放在活塞上（瓶

子的质量可忽略），平衡时活塞到气缸底的距离为Lem。若不是把这瓶水银放在活塞上，而是把瓶内水银

缓缓不断地倒在活塞上方，这时活塞向下移，压缩气体，直到活塞不再下移，求此时活塞在气缸内可能的

位置以及与之相对应的条件（即题中给出量之间应满足的关系），设气体的温度不变。

8.有一根玻璃管，它的内、外半径分别为r和R,充满发光液，在彳射线的影响下，发光液会发出绿光。

对于绿光，玻璃和液体的折射率分别为m和

r

如果有人从外表面观察，玻璃管的厚度似乎为零，请问比值R必须满足何条件？

9.薄壁透明圆柱形玻璃容器浮于水面,容器的内底面与容器外水面的高度差为h,_v-D—>

容器的内直径为D.在容器底正中放有一个小物体A(图33-109)»实验证明，二不

在水面上方容器外侧存在一个看不见A的“盲区”。已知水的折射率为n=4/3,二二h

sin48°36'=0.75,假定水面与玻璃表面垂直，试确定此盲区的范围。----A1

10.如图33-119所示，一个附着有小珠的屏，当入射光聚焦在小珠的后表面时会把入射光反射回光源。对

在水中(n=4/3)穿紧身衣潜水者来说，理想情况下小珠要用折射率多大的

材料？

11.一条窄的激光束在折射率为m的媒质中传播，射向半径为R的透明球。球心到

光束的距离为L,光束宽度比球的半径小得多，球是由折射率为m的光疏媒质制作的。

试求光束与原方向的偏角。

12.两个相距很远的铜球，已知其半径和电势分别是：n=6cm,Ui=300V；n=4cm,U2=150V„将这两个铜

球用细铜丝连接达到静电平衡后，问此时电能损耗了多少？

13.真空中，有五个电量均为q的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为R、R/2,R/4、R/8、R/16,彼此

内切于P点。球心分别为6、。2、。3、0八05o求。5与6间的电势差。

14.有一带正电的孤立导体A。另外，从无穷远处将不带电的导体B移至A的附近，试证明:

(1)。后0

(2)UA>UB>0

其中5A为导体A的电荷面密度，UA和UB为导体A和B的电势。

物理竞赛复赛模拟卷（五）解答

1.设法使边长为L的正方形环在任何情况下均以匀速度v沿着它的AB边方向运动，在其运动的空间区域

内有一匀强电场，场强E垂直于环的运动速度。运动期间，环始终在同一平面上，电场E相对于环平面的

倾角为e。设环上串有大量小球，这些小球象珠子串在项链上那

样被串在环上。小球的大小可忽略，各球都带有电量q。今在相

对于环不动的参照系中设法让这些小球均以匀速u沿环边运动，

各边上相邻两球的间距均为a,且L远大于a（参见图52-2）,环

是用不导电的线制作的，在相对于环不动的参照系中它有均匀的

电荷线密度，正好把全部小球的电荷完全抵消掉。

考虑相对论效应，在一个从其上看环的运动速度为v的惯性参照

系上计算以下各量：

1、环路各边上相邻两个小球之间的距离aAB,aec,a®和aw；

2、环路各边净电量（各边上线电荷与小球电荷之和）Q叫QBC,QS

和QOA;

3、使环与小球系统受到转动作用的电力矩模量M；

4、环与小球系统和电场之间相互作用的电势能W。

所有解答均需用题中给定的量来描述。

注意：物体的电荷量与测量参照系的选择无关。

图52-2只画出了各矢量之间的相对方向。

略去电磁辐射。

有关的相对论公式如下:

（1）设惯性参照系S'以匀速度v相对另一参照系S运动。两参照系对应的坐标轴彼此平行，t=0时坐标

原点重合，速度v沿x轴正方向。

若在S'系测得一个质点以速度"'沿X’轴运动，那么在S系测得该质点的速度应为

/+V

其方向沿X轴正方向（相对论速度求和公式）。

（2）如果一个物体的静止长度为4）,当它以速度v沿其长度方向相对某观察者运动时，那么该观察者测

得此物体长度L为

解：1、令S为观察到环路以速度V运动的实验室参照系，S'为环路参照系（S'系的X轴与V同向，沿

着DA边的方向，z'轴则垂直于环路所在平面）。S系各轴平行于5'系各对应轴，S与5'系的坐标原点在

t=0时重合。

（1）AB边

建立与AB边上的小球一起运动的参照系它的各坐标轴与S,5'系的坐标轴平行。相对S'具有速

度u。

据洛仑兹收缩，S”测得的AB边上相邻两个小球之间的距离a＞为

a

(只要叫是在相对小球静止的参照系中测得的相邻两球间距，上式对任何一条边均成立。)

据相对论速度求和公式，S系中的观察者认为AB边上诸球具有的速度为

M+V

LtAn=-------------.

再据洛仑兹收缩，此观察者将测得AB边上相邻两球的间距为

Ogi-Mr

VL,(3)

将(1),(2)式代入到(3)式，可得：

aAB=------------Q

UV

1t+不

CoG1)

(2)CD边

对S系中的观察者而言，CD边上小球的速度为

V-U

忧CD~

UV

]一2

c,(5)

再据洛仑兹收缩有

aCD=

VL,(6)

将(D,(5)式代入到(6)式，便得

aco=~~^ra

[2

C(7)

(3)DA边

在5'系中，令DA边上的某一小球在‘0时刻位于x；=4=1=°处。在同一时刻邻近的一个小球应位于

h=0,%=a,6=0处。

各球相对于S系的空一时坐标可由洛仑兹变换式给出

(8)

据此，第一个小球在S系中有

月

=0,Z[=0(9)

第二个小球则为

a马

y2=,=o(10)

?

h=r^-o

FT

由于乙=，2,S系中这两个小球之间的距离便为

aDAT(*2—西)2+(为一力)2+(Z2-Z1)2]"2,(H)

即得

aDA=a。(12)

(4)BC边

重复上述相似的讨论，可得

anc=a(13)

(其实，由于DA,BC边与v垂直，无洛仑兹收缩，故"以二°叱=4。)

2、在环路参照系5'中，每一条边线上的电荷量为

%(14)

在此已考虑到L/a为各边上的小球数。由于电荷是运动不变量，在实验室参照系S中测得的各边线电荷量

也为此值。

(I)AB边

在实验室参照系中，AB边上各球电荷量之和为

t2

I

°AB,b=------------q

aAB(15)

此式系由AB边上小球数乘以每一小球电荷量(运动不变量)来获得。(15)式右边第一项中的分子为S系

中观察者测得的运动收缩边长，分母则为相邻小球的间距。

将(4)式代入到(15)式中，可得：

1WVI

(16)

将(14)式和(16)式相加，便得AB边上总电荷量

八L

QAB=

ac(17)