2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.5 定积分的概念（教师用书）教案 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.5定积分的概念（教师用书）教案新人教A版选修2-2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.5定积分的概念（教师用书）教案新人教A版选修2-2教学内容分析本节课的主要教学内容来自2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用中的1.5节“定积分的概念”，新人教A版选修2-2。内容主要包括定积分的定义、性质以及定积分与微积分基本定理的联系。这部分知识与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了导数的概念及其应用，理解了瞬时变化率的思想，而定积分作为导数的逆运算，将帮助学生从新的角度认识函数图像与坐标轴之间区域的面积问题。此外，定积分的概念也与初中阶段学习的平面几何面积计算方法有关，有助于学生将新旧知识融合，形成完整的数学知识体系。核心素养目标本节课的核心素养目标旨在通过定积分概念的学习，提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。学生将通过探索定积分的定义，培养对数学概念的理解与抽象思维能力；通过分析定积分的性质和运用，加强逻辑推理和问题解决能力；结合实际情境，运用定积分解决几何、物理等领域的问题，提高数学建模和数学应用的能力。同时，鼓励学生积极参与讨论、合作探究，发展交流表达和团队合作的核心素养。这些目标与新人教A版选修2-2教材内容紧密结合，旨在全面提升学生的数学学科核心素养。重点难点及解决办法本节课的重点在于定积分的定义及其性质的掌握，难点在于定积分概念的理解以及在实际问题中的应用。解决方法和突破策略如下：

1.重点：定积分的定义及性质。通过直观的几何图形和实例，引导学生理解定积分表示的是函数图像与坐标轴之间区域的面积，强调“分割、近似、求和、取极限”的过程。结合教材中的例题和练习，让学生熟练掌握定积分的性质。

2.难点：定积分概念的理解与应用。采用以下策略突破难点：

a.利用数形结合的方法，让学生通过观察和分析图像，建立直观的定积分概念。

b.通过小组讨论、合作探究，引导学生将定积分应用于解决实际问题，如几何图形面积、物理运动问题等，提高学生的数学建模能力。

c.设计梯度性练习题，由浅入深地引导学生运用定积分，逐步提升解题技巧和思维水平。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过讲解定积分的定义、性质和定理，为学生提供清晰的知识框架，确保基本概念的准确理解。

2.讨论法：组织学生进行小组讨论，共同探讨定积分在实际问题中的应用，促进知识的内化和思维能力的提升。

3.探究法：引导学生自主探究定积分的推导过程，培养学生的发现问题和解决问题的能力。

教学手段：

1.多媒体设备：利用PPT、动画等展示定积分的几何意义和计算过程，增强直观感受，提高理解效率。

2.教学软件：运用数学软件进行定积分的数值计算和图像绘制，让学生更直观地感受定积分的计算过程。

3.实物模型：使用教具或自制模型，如面积模型，帮助学生形象地理解定积分的概念和应用。教学过程第一环节：导入新课

1.复习导入

同学们，上节课我们学习了导数的概念及其应用。我们知道，导数可以描述函数在某一点处的瞬时变化率。那么，有没有一种运算可以反过来描述函数图像与坐标轴之间区域的面积呢？今天我们将要学习一个新的概念——定积分。

2.生活实例

在我们的日常生活中，经常会遇到一些与面积有关的问题，比如计算不规则图形的面积、物体在运动过程中的路程等。通过学习定积分，我们可以更好地解决这些问题。

第二环节：新课讲解

1.定积分的定义

（1）引导学生观察函数图像与坐标轴之间区域的面积。

请同学们观察这个函数图像，我们如何计算它与x轴之间这个区域的面积呢？

（2）介绍定积分的“分割、近似、求和、取极限”过程。

我们可以将这个区域分割成无数个小的矩形，然后对每个小矩形进行近似，将它们的面积相加。当分割越来越细时，这个和的值将越来越接近这个区域的实际面积。这就是定积分的定义。

2.定积分的性质

（1）引导学生发现定积分的性质。

（2）讲解定积分的性质。

定积分具有线性性质、保号性质、可积性等。这些性质将有助于我们更好地理解和计算定积分。

3.定积分的应用

（1）引导学生思考定积分在实际问题中的应用。

那么，定积分除了可以计算面积，还有哪些实际应用呢？

（2）讲解定积分在几何、物理等领域的应用。

定积分可以用来计算物体的体积、曲线的长度、物体在运动过程中的路程等。

第三环节：课堂练习

1.让学生独立完成教材中的例题。

请同学们尝试独立完成教材中的例题，巩固定积分的计算方法。

2.学生展示解题过程，老师点评。

请几位同学展示他们的解题过程，并说明他们的思路。我会对他们的解答进行点评，指出需要注意的地方。

第四环节：巩固拓展

1.让学生完成课后练习。

为了加深对定积分的理解，请同学们完成课后练习，巩固所学知识。

2.小组讨论：定积分在实际问题中的应用。

请同学们分组讨论，探讨定积分在实际问题中的应用，如几何图形面积、物理运动问题等。

第五环节：课堂小结

本节课我们学习了定积分的定义、性质和应用。通过学习，我们了解到定积分可以描述函数图像与坐标轴之间区域的面积，以及它在几何、物理等领域的广泛应用。希望同学们能够掌握定积分的计算方法，并能够将其应用于实际问题。

第六环节：作业布置

1.完成课后练习。

2.预习下一节课的内容。

3.思考定积分在实际生活中的应用，下节课分享。知识点梳理1.定积分的定义

-“分割、近似、求和、取极限”的过程

-定积分表示函数图像与坐标轴之间区域的面积

2.定积分的性质

-线性性质：对于常数a和b，定积分满足(aF(x)+bG(x))dx=a∫F(x)dx+b∫G(x)dx

-保号性质：若f(x)在区间[a,b]上恒大于等于0（或小于等于0），则∫f(x)dx在[a,b]上的值非负（或非正）

-可积性：若f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积

3.定积分的计算

-定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式

-定积分的换元积分法

-定积分的分部积分法

4.定积分的应用

-计算平面区域的面积

-计算物体的体积

-计算曲线的长度

-计算物体在运动过程中的路程

-解决物理、几何、经济等领域的相关问题

5.定积分与导数的关系

-微积分基本定理：若f(x)在区间[a,b]上连续，则∫f(x)dx的导数F(x)等于f(x)

-定积分的反导数：若F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数

6.定积分的近似计算

-数值积分方法：梯形法则、辛普森法则等

-计算机辅助计算：利用数学软件进行定积分的数值计算板书设计①定积分的定义与性质

-定积分：“分割、近似、求和、取极限”

-面积表示：∫f(x)dx

-性质：

-线性性质：a∫F(x)dx+b∫G(x)dx

-保号性质：f(x)≥0→∫f(x)dx≥0

-可积性：连续→可积

②定积分的计算与应用

-计算公式：牛顿-莱布尼茨公式

-换元积分法：换元、求导、积分

-分部积分法：部分、求导、积分

-应用：

-面积、体积、曲线长度

-物理运动：路程、位移

③定积分与导数的关系

-微积分基本定理：∫f(x)dx的导数=f(x)

-反导数：∫f(x)dx=F(x)+C

设计说明：

1.板书采用直观的图形与文字结合，如用图形表示定积分的面积概念，增强视觉效果。

2.重点知识点用不同颜色的粉笔标注，突出重点，便于学生记忆。

3.板书结构条理清晰，从定义到性质，再到计算与应用，最后到与导数的关系，逻辑层次分明。

4.在适当位置加入有趣的插图或符号，如小箭头表示换元积分的方向，增加板书的趣味性。

5.鼓励学生在课堂上积极参与，将他们的解题过程和答案展示在板上，提高学生的参与感和成就感。教学反思二、核心素养目标

1.数学抽象：学生能够从实际问题中抽象出定积分的数学模型，理解定积分在几何和物理等领域的应用，提高数学抽象能力。

2.逻辑推理：学生通过探讨定积分的定义、性质和计算方法，运用逻辑推理解决问题，培养严密的逻辑思维。

3.数学建模：学生能够运用定积分解决实际问题，如计算曲线围成的面积、物体的位移等，提高数学建模能力。

4.数据分析：学生通过分析定积分的计算过程，学会从数据中提取有用信息，进行推理和预测。

5.数学交流：在课堂讨论和合作探究中，学生能够清晰、准确地表达自己的观点，倾听他人意见，提高数学交流能力。

6.跨学科整合：学生能够将定积分知识与其他学科知识相结合，如物理学中的动量、化学中的浓度等，实现跨学科知识整合。作业布置与反馈作业布置：

1.请同学们完成教材第1章的练习题5.1、5.2和5.3，这些题目涵盖了定积分的定义、性质以及计算方法，旨在巩固课堂所学知识。

2.结合生活实际，设计一道应用定积分解决的问题，并给出详细的解题过程。例如，计算某个不规则图形的面积，或分析物体在运动过程中的位移等。

3.预习下一节课内容，了解定积分在微积分基本定理中的应用。

作业反馈：

1.在批改作业过程中，关注学生对定积分定义的理解，以及他们在计算过程中的准确性。

2.对于学生在作业中存在的问题，如计算错误、概念混淆等，及时指出并提供针对性的改进建议。

3.针对不同学生的作业情况，进行个性化指导，提高他们的解题能力和数学素养。

4.在课堂上对学生的作业进行点评，分享优秀作业案例，激发学生的学习兴趣和竞争意识。

5.鼓励学生积极参与作业讨论，相互学习、相互促进，提高作业质量。典型例题讲解例题1：计算定积分∫(3x^2-2x+1)dx，其中a=1，b=2。

解答：根据定积分的计算公式，有

∫(3x^2-2x+1)dx=[3/3x^3-2/2x^2+1x]|fromatob

=[3/3(2)^3-2/2(2)^2+1(2)]-[3/3(1)^3-2/2(1)^2+1(1)]

=[3/3(8)-2/2(4)+2]-[3/3(1)-2/2(1)+1]

=[8-4+2]-[1-1+1]

=6-1

=5

例题2：计算定积分∫(4-2x)dx，其中a=0，b=1。

解答：根据定积分的计算公式，有

∫(4-2x)dx=[4x-x^2/2]|fromatob

=[4(1)-(1)^2/2]-[4(0)-(0)^2/2]

=[4-1/2]-[0-0]

=3.5-0

=3.5

例题3：计算定积分∫(x^3)dx，其中a=0，b=1。

解答：根据定积分的计算公式，有

∫(x^3)dx=[x^4/4]|fromatob

=[(1)^4/4]-[(0)^4/4]

=[1/4]-[0]

=1/4