专题2.7 有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（解析版）VIP

专题2.7有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】有理数的乘方1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：.在中，叫做底数，n叫做指数.【要点提示】（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．【知识点二】乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．【要点提示】(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．【知识点三】科学记数法1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.【要点提示】（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】科学记数法与近似数【例1】（2022七年级·全国·专题练习）世界上最大的沙漠──非洲的撒哈拉沙漠可以粗略地看成是一个长方形，撒哈拉沙漠的长度大约是5149900m，沙层的深度大约是366cm．已知撒哈拉沙漠中沙的体积约为33345km3．请分别按下列要求取近似数．（1）将撒哈拉沙漠的长度用科学记数法表示；（2）将撒哈拉沙漠中沙层的深度四舍五入到10cm；（3）将撒哈拉沙漠中沙的体积保留2个有效数字．【答案】(1)5.1499×106m(2)3.7×102cm(3)3.3×104km3【分析】(1)根据较大数的科学记数法的表示方法求解即可；(2)利用近似数精确度的确定方法求解即可；(3))利用近似数精确度的确定方法求解即可．解：（1）撒哈拉沙漠的长度大约是5149900m＝5.1499×106m；（2）沙层的深度大约是366cm≈3.7×102cm；（3）撒哈拉沙漠中沙的体积约为33345km3≈3.3×104km3．【点拨】本题考查了科学记数法和近似数的知识，熟知较大数的科学记数法的表示方法及近似数精确度的确定方法是解决问题的关键．【变式1】（2024·河北邯郸·三模）新华社消息，2024年春节假期我国国内旅游出游4.74亿人次．先将数据“4.74亿”精确到亿位，再用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了科学记数法，以及近似数，先将数据“4.74亿”利用四舍五入精确到亿位，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数（确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位）表示该数即可．解：“4.74亿”精确到亿位为5亿，5亿，故选：A．【变式2】（23-24七年级上·江西九江·期中）小明量得课桌长为米，四舍五入到十分位为米．【答案】【分析】本题考查了近似数、四舍五入的方法，熟记定义和方法是解题关键．四舍五入到十分位就是对这个数十分位以后的数进行四舍五入即可．解：把四舍五入到十分位是，故答案为：．【题型2】有理数幂的概念的理解【例2】（2023七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．（1）；（2）；（3）（个m）．【答案】(1)底数是，指数是5(2)底数是，指数是6；(3)底数是m，指数是【分析】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可；（2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可；（3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可．（1）解：，其中底数是，指数是5；（2）解：其中底数是，指数是6；（3）解：（个m），其中底数是m，指数是．【点拨】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘．【变式1】（23-24七年级上·福建泉州·期末）代数式可表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了乘方的意义：表示几个相同因数的积的运算；由乘方的意义即可求解．解：，故选：C．【变式2】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）底数是，指数是4的幂可以写成．【答案】【分析】本题考查了幂的概念，关键是注意分数为底时，需要把底数加括号．根据幂的书写规则即可求解．解：底数为，指数为4，得，故答案为：．【题型3】有理数乘方运算【例3】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；．（1）求；（2）求的值；【答案】(1)16(2)64【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键．（1）由，可得，计算求解即可；（2）根据，计算求解即可．（1）解：∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：正确的结果为（

）A．8052 B． C．4 D．【答案】D【分析】本题主要考查有理数的乘方以及有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．根据有理数的乘方以及有理数的乘法解决本题．解：．故选：D．【变式2】（23-24七年级下·宁夏银川·期中）．【答案】/【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，分别计算乘方再算乘法即可．解：，故答案为：．【题型4】乘方运算中的符号规律问题【例4】（21-22七年级上·全国·课后作业）已知m，n是正整数，若．化简：（1）；

（2）．【答案】（1）；（2）0【分析】（1）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，然后求解即可；（2）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，为奇数，然后求解即可；解：，则为偶数，为奇数（1），（2），，【点拨】此题考查了有理数乘方的有关性质，解题的关键是根据题意判定出为偶数，为奇数．【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可．解：①，②，③，④，∴其中结果等于的是：①②③④．故选：D．【点拨】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”．【变式2】（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算：【答案】0【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可．解：原式，故答案为：0．【题型5】有理数乘方的应用【例5】（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细．（1）将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？（2）若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）【答案】(1)128(2)【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键．（1）根据题意列式计算即可得出答案；（2）根据题意列式计算即可得出答案．（1）解：由题意得：（根）∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根．（2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是．∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀，∴8次后，平均每一根面条横截面积．【变式1】（23-24六年级上·山东烟台·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（

）A．34 B．194 C．1234 D．6154【答案】B【分析】本题主要考查了用数字表示事件，理解题意是解题的关键．根据题意列式即可．解：．故选B．【变式2】（21-22七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是下部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，受此启发，则．【答案】【分析】本题考查了有理数的乘方的应用；根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，进而即可求解．解：由题意可知，部分①面积是，部分②面积是，部分③面积是，…，则阴影部分的面积是，阴影部分的面积是；∴．故答案为：．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·湖北武汉·中考真题）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．解：，故选：C．【例2】（2022·西藏·中考真题）已知，都是实数，若，则．【答案】【分析】根据绝对值，偶次幂的非负性求出，，再代入计算即可．∵，∴，，即，，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了绝对值，偶次幂的非负性，求出，的值是解本题的关键．2、拓展延伸【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，解答下列问题：（1）由，可得_____，_____．（2）若，求的值．【答案】(1)，；(2)2【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法，解题的关键是掌握有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法．（1）根据绝对值的定