中职数学基础知识

取■单招物学.故复习

中职数学基础知识汇总

预备知识：

1.完全平方和（差）公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=as-2ab+b2

2.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

3.立方和（差）公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b）（aa+ab+b2）

第一章集合

1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。

2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

3.常用数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N+（正整数集）

4.元素与集合、集合与集合之间的关系：

（1）元素与集合是“e”与］，啜］关系。

（2）集合与集合是“G”“三”“二”“/”的关系。

注（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑中是否满足题意）

（2）一个集合含有n个元素，则它的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。

5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）

（1）A「B={x|xwA且x^B}：A与8的公共元素组成的集合

（2）AJB={x|xwA或x《B}：A与8的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。

（3）C/:U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。

注：C（Ap|B）=CA|JCBC（AJB）=CAp|CB

UUUUuIT

6.会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。

7.充分必要条件:。是4的……条件。是条件，4是结论

如果pnq,那么p是q的充分条件;q是p的必要条件.

如果poq,那么P是q的充要条件

第二章不等式

1.不等式的基本性质：（略）

注（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。

（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！

（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。

2.重要的不等式：

（1）a2+b2>2ab,当且仅当a=6时，等号成立。

⑵a+b>2jab（a,b&R+）,当且仅当a=6时，等号成立。（3）

a+b

注：一］一（算术平均数）2疯（几何平均数）

3.一元一次不等式的解法（略）

4.一元二次不等式的解法

（1）保证二次项系数为正

（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：

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职物单招和些：总督?!

(3)定解：(口诀)大于取两边，小于取中间。

5.绝对值不等式的解法

[\x\<a-a<x<a

若。>0,贝R

Ux>aox>a或x<-a

分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.

第三章函数

1.函数

(1)定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则/，对A内任一个元素x,在B中总有一个且只

有一个值y与它对应,则称f是集合A到B的函数,可记为：f:A-B,或f:x-y.其中A叫做函数f的定义域.函

数/在X=。的函数值,记作f(a),函数值的全体构成的集合C(CB),叫做函数的值域.

(2)函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。

注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。

2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则

(1)定义域的求法：使函数(的解析式)有意义的》的取值范围主

要依据：①分母不能为0,②偶次根式的被开方式20,

③特殊函数定义域：y=xo,xw。y=a*,(a>。且。wl),xeR

y=logx,(a>0且aH1),x>0

a

(2)值域的求法：y的取值范围

①正比例函数：y=丘和一次函数：y=kx+b的值域为R

②二次函数：y=ax2+bx+c的值域求法：配方法。如果x的取值范围不是R则还需画图像

③反比例函数：y=L的值域为U|j0>

X

④另求值域的方法：换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。

(3)解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。

3.函数图像的变换

(1)平移

向左平移向右平移

y=f(x)y=/W

a个单位a个单位

向上平移向下平移

->y=/W+«y=/(x)-，=/(万一。

a个单位a个单位

(2)翻折

，/、沿X轴\保留X轴上方图像

y=/W__________-y=—/(x)y=佝"y="("

上、下对折下方翻折到上方

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4.函数的奇偶性

(1)定义域关于原点对称

(2)若/(一幻=一/(幻—奇若/(—X)=/(x)f偶

注：①若奇函数在x=0处有意义，则/(0)=0

②常值函数/(x)=a(a/0)为偶函数

③/(%)=°既是奇函数又是偶函数

5.函数的单调性

r1f/(x)<f(x),称/'(x)在［a,句上为增函数

对于Vx、xw［a,6］且x<x,若<12

12121/(5)>/(北),称/'(x)在［a㈤上为减函数

增函数：X值越大，函数值越大；X值越小，函数值越小。

减函数：X值越大，函数值反而越小；X值越小，函数值反而越大。

6.二次函数

(1)二次函数的三种解析式

①一般式：/W=axz+bx+c(a/0)

②顶点式：/W=a(x-k)2+h(a*。)，其中(左J?)为顶点

③两根式—(力=。(一西二)(心0),其中七、匕是4)=0的两根

(2)图像与性质

二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：

①开口a>0f开口向上a<0—开口向下

b,b.,

x=-(-4ac-b2o

②对称轴：—顶点坐标：五'二

「△>0一直两交点+x2=-a

③A与X轴的交点：八=0->有1父点④根与系数的关系：(韦达定理)

\X-X=c

A<0—>无父点

I12O

⑤/(x)=ax2+bx+c为偶函数的充要条件为b=0

⑥二次函数(二次函数恒大(小)于0)

fa>0［a<0

y(x)>0ojc。图像位于工轴上方y(x)<0o，c。图像位于了轴下方

A<0A<0

⑦若二次函数对任意X都有/(/一X)=/。+X),则其对称轴是x=t。

第四章指数函数与对数函数

1.指数幕的性质与运算

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(1)根式的性质:

①”为任意正整数，=a②当〃为奇数时，y=a；当〃为偶数时，7%7=|回

③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。

⑵零次幕：。。=1(a力0)

1

(3)负数指数幕：«-«=一(a^0,neN*)

an

(4)分数指数幕：an=am(a>0,〃eN+且”>1)

(5)实数指数幕的运算法则：(«>0,771,71GR)

@am•an=am+n(2)(tZm)n=Qmn③(<7•旬"=4"«b"

2.累运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的〃次方。

［当a>0时，y=x〃在(0,+QO)上单调递增

3,然函数>=心<

［当a<0时，y=x“在(0,+oo)上单调递减

4.指数与对数的互化：ab=NologN=b(a>。且aHl)、(N>0)

5.对数基本性质：①log。=1②log1=0③GogaN=N©logaN=N

aaa

⑤log。与log。互为倒数今logb-loga=1«logb=—1—

ababalogd

b

@logb〃=—logb

amma

6.对数的基本运算：

M1

log(M•N)=logM+logNlog--logM-logN

aaaaNaa

10gN

7.换底公式：logN_fc0>0且入1)

aloga

b

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映的单招物理总饵5

(1)x&R,y>0(1)x>0,y&R

性

(2)图像经过(。」)点⑵图像经过(1Q)点

质

a>l,y=G在H上为增函数；«>l,y=logx在(0,+co)上为增函数；

(3)(3)a

0<a<l,y=〃尤在R上为减函数。0<a<l,y=log1在(0,+oo)上为减函数

a

9.利用募函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同募(次)或用换底公式或是利用

中间值0,1来过渡。

10.指数方程和对数方程：①指数式和对数式互化②同底法③换元法④取对数法

注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。

第五章数列

等差数列等比数列

每一项与前一项之差为同一个常数每一项与前一项之比为同一个常数

定a-a=a-a=...=a-a=daaa/八、

2132nn-1T=t=…=——=9000)

aaa

义12n-1

注：当公差1=0时，数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为0；

当公比为1时，数列为常数列

通项a=a+(n-l)da=aqn-i

公式n1n1

,a—aa

推(1)d=------».(1)Qn-m=，«.

n-ma

m

论

(2)Q=a+(n-m]d(2)a=aqn-m

ntnnm

(3)若根+〃=〃+q,则。+〃=a+a(3)若加+〃=。+9，则。a=aa

mnpqmnpq

中项三个数a、b、c成等差数列，则有三个数a、b、c成等比数列，则有

公式2b=a+c=b=1°

b2=ac

2

前n

0n(a+a),nv(n-l),ca(1-qn)a-aq

项和S=i=na+)ds=-4,--------=~­(qHl)

n

n2i21-q1-q

公式

1.已知前九项和S的解析式，求通项。

a-(〃=1)

仇N2)

nin-1

2.弄懂等差、等比数通项公式和前〃项和公式的证明方法。(见教材)

第六章三角函数

1.弧度和角度的互换

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180。=兀弧度1。=高弧度仪0.01745弧度1弧度=(二)。。57。18'

2.扇形弧长公式和面鼻公式［1

L=|a|-rS=_Lr=_Ia|r2(记忆法：与S=_a/i类似)

扇扇22何丈2

3.任意三角函数的定义：

,对山V邻边X对山V

sina=^M=2cosa==_tana=孔也=)

斜边r斜边r邻边X

4.特殊三角函数值

兀兀兀71

a0=00—=3Oo一=45o—=6Oo—=9Oo

6432

sinaVo£V2V3V4

2TT2~2

£

cosa3V3V2Vo

~2TT~22

tana0於12

T不存在

5.三角函数的符号判定

(1)口诀：一全二正弦，三切四余弦。(三角函数中为正的，其余的为负)

(2)图像记忆法

6.三角函数基本公式

sma

tana=(可用于化简、证明等)

cosa

sinsa+cossa=1(可用于已知sina求cosa；或者反过来运用)

7.诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。

71

解释：指k-_+a(keZ),若左为奇数，则函数名要改变，若左为偶数函数名不变。

7.已知三角函数值求角a：

(1)确定角a所在的象限;(2)求出函数值的绝对值对应的锐角。’；(3)写出满足条件的0~27t的角；(4)加上周期(同

终边的角的集合)

8.和角、倍角公式

⑴和角公式：sin(a±p)=sinacosp±cosasinp注意正负号相同

cos(a±p)=cosacosp+sinasinp注意正负号相反

tana±tanP

tan(a±P)

1+tanatanP

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职勤单招新■丝：曲售JI

⑵二倍角公式:sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

2tana

tan2a=

1-tan2a

.a,7；--------

⑶半角公式:sin,,'1-cosacos0=±,'1+cosa

=

2N^~2V~■2-

9.三角函数的图像与性质

⑴定义域R，值域[-A,A]

2兀

（2）周期：T——

3

（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将1的系数提出来，再看是怎样平移的。

（4）y=4sinx+/?cosx=Ja2+/72sin（x+（p）

10.正弦定理

a=b=c=2R（R为AABC的外接圆半径）

sinAsinBsinC

其他形式：（1）a=2RsinAb=2RsmBc=2RsmC（注意理解记忆，可只记一个）

（2）A::c=sinA:sinB:sinC

11.余弦定理

b2+C2-（72

02=+2-2bcncosA——-------（注意理解记忆，可只记一个）

C2bc

12.三角形面积公式

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111职—单招一学总复习

S=一次?sinC=_bcsinA=_〃csinB(注意理解记忆，可只记一个)

AABC222

a+b+c

73海伦公式：S=JP(P_a)(P_b)(P_c)(其中尸为A4BC的半周长,P=--------)

AABCv2

第七章平面向量一

1.向量的概念

(1)定义：既有大小又有方向的量。

(2)向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A,终点为B的向量表示为京。

(3)向量的模(长度)"A方|或|而

(4)零向量：长度为0,方向任意。

单位向量：长度为1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。

反(负)向量：大小相等，方向相反的两个向量。

2,向量的运算

(1)图形法则

三角形法则平形四边形法则

(2)计算法则

加法：AB+BC=AC减法：AB—AC=CA

(3)运算律：加法交换律、结合律注：乘法(内积)不具有结合律

3.数乘向量：(1)模为：|九(2)方向：九为正与。相同；九为负与。相反。

4.AB的坐标：终点B的坐标减去起点A的坐标。A5=(x-x,y-y)

BABA

5.向量共线(平行)：三唯一实数入，使得。=大6。(可证平行、三点共线问题等)

6平面向量分解定理：如果e,e是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量。，都存在唯一的

12

一对实数X,X,使得a=xe+xe。

121122

7.注意A4BC中，重心(三条中线交点)、外心(外接圆圆心：三边垂直平分线交点)、内心(内切圆圆心：三角平分

线交点)、垂心(三高线的交点)

8.向量的内积(数量积)

(1)向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围［0,兀］。

(2)内积公式：a-b=\a\\b\COS<a,b>

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取■单招物学.故复习

9.向量内积的性质：

(1)cos<g,??>=a'b(夹角公式)(2)力,方0方1=0

出㈤

(3)a・a=|a|2或|a|=Ja-a(长度公式)

10.向量的直角坐标运算：(1)A8=(x-x,y-y)

BABA

(2)设a=(x,y),6=(%,〉)，贝ija±b={x±x,y±y)Xa=(Xx,ky)a-b=xx+yy

11221212111212

11.中点坐标公式：若A(x,y),B(x,y),点M(x,y)是线段AB的中点则x=9=匕,y=

112222

12.向量平行、垂直的充要条件：设。=(%,y),方=(x,y),贝ij

1122

a=(相对应坐标比值相等)

%y

22

■V■■，

aj_6=。•b=0+yy=0(两个向量垂直则它们的内积为o)

1212

11.长度公式

(1)向量长度公式：设£=(x,y),则"|=Jx2+y2

(2)两点间距离公式：设点A(x,>),B(x,y),贝ij|AB|=J(x-x)2+(y-y)2

1122v2121

12.向量平移

P—1+Q

(1)平移公式：点尸(x,y)平移向量a=(a,a)至忸(总y),贝R1记忆法：“新=旧+向量”

12[y，=y+a

《力图像平移：>=〃x)的图像平移向量之=(。，a)后得到的函数解析式为：y-a=f(x-a)

1221

第八章平面解析几何

1.曲线c上的点与方程/(苍田=0之间的关系：

(1)曲线C上点的坐标都是方程b(x,y)=0的解；

(2)以方程b(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上。

则曲线C叫做方程F{x,y)=0的曲线，方程F{x,y)=0叫做曲线C的方程。

2.求曲线方程的方法及步骤：(1)设动点的坐标为(x,y)；(2)写出动点在曲线上的充要条件；(3)用了,>的关系式

表示这个条件列出的方程；(4)化简方程(不需要的全部约掉)；(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果

方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。

3.两曲线的交点：联立方程组求解即可。

4.直线：

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职物单招和些：M与5

(1)倾斜角一条直线/向上的方向与无轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是［0,兀)

。斜率：①倾斜角为90°的直线没有斜率；②左=tana(倾斜角的正切)

③经过两点P(x,y),尸(x,y)的直线的斜率长=展1(XNX)

111222X-X12

21

(3)直线的方程

①两点式：卜一匕=x-'i②斜截式：y=kx+b

y-yx-x

2121

③点斜式：y-y=k(x-x)④一般式：Ax+By+C=0

00

注：1.若直线/方程为3x+4y+5=0,则与/平行的直线可设为3x+4y+C=0；与/垂直的直线可设为4X-3Y+C=0

2.求直线的方程最后要化成一般式。

(4)两条直线的位置关系

1：y=kx+bI：y=kx+bIAx-\-Bx+C=0IAx+Bx+C=0

11122211112222

ABC

1与/平行k=k且Z?wbf=fWf

121212ABC

ABC

1与1重合k=k且b=b—i-=­»-=—e-

121212

A09B0C

AB

1与/相交k手kfW-1"

1212B

A9；?

1±zk,k=-1AA+BB=0

12121212

注：系数为0的情况可画图像来判定。

⑸点到直线的距离

|Ax+By+C|

①点P(x,y)到直线'+3y+C=0的距离：d=_qn—

00JA2+82

5.圆的方程

(1)标准方程：(x—。)2+(y->)2=r2(r>0)其中圆心(a,》)，半径r。

(2)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+£2-4F>0)

DE.也江_V'D2+E2-4F

圆心(一区'一2半径：R-------2-------

(4)直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离"和半径r比较。

d<ro相交；d=ro相切；d>ro相离

6.椭圆

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醺热堂■招和学心管习

动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数2a

几何定义

+\PF\=2a

2

标准方程兰+匕=1（焦点在》轴上）汇+竺=1（焦点在y轴上）

Q2b2b2Q2

图像一yj%

a,b,c的关系42=62+02注意：通常题目会隐藏这个条件

对称轴与对称中心X轴：长轴长2a；y轴：短轴长2b；0（0,0）

顶点坐标（土a,0）（0,±。）

焦点坐标（土c,0）焦距2c注：要特别注意焦点在哪个轴上

C*b2

离心率e=_=,1--<1

a\a2

7,双曲线

动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数2a

几何定义

II\~\PF||=2a

12

X2V2」V2%2,

标准方程R-瓦=1（焦点在X轴上）血-最=1（焦点在y轴上）

J7

图像0

a,b,c的关系C2=〃2+匕2注意：通常题目会隐藏这个条件

对称轴与对称中心X轴：实轴长2a；y轴:虚轴长2匕；0（0,0）

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顶点坐标(±4,0)

焦点坐标(±c0)焦距2c注：要特别注意焦点在哪个轴上

cI.b2

离心率e=_=11+—>1

a\a2

h,a

>=±怎(焦点在X轴上)二±X(焦点在y轴上)

渐近线

ab

注：等轴双曲线：(1)实轴长和虚轴长相等na=b(2)离心率e=12(3)渐近线>=±x

8.抛物线

到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹

几何

定义\MF\^d(d为抛物线上一点M到准线的距离)

焦点

X轴正半轴X轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴

位置

2；

忆Ar"Jp

图像1匕犬

HI

2

-2-2-[

标准

y2=22%(p〉0)y2=-2px(p>0)X2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

焦点吗,0)W/，o)F(O^)“o,2)

坐标222

准线x_—Pp

y=--y=—

方程2222

顶点0(0.0)

对称

x轴y轴

轴

离心6=1

率

注(1)P的几何意义表示焦点到准线的距离。

(2)掌握焦点在哪个轴上的判断方法

(3)圆锥曲线中凡涉及到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式：

|AB|=<1+左2+X)2-4%X

1212

(4)圆锥曲线中最重要的是它本身的定义！！做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的!

第九章立体几何

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1.空间的基本要素：点、线、面

注：用集合符号表示空间中点(元素)、线(集合)、面(集合)的关系

2.平面的基本性质

(1)三个公理：

①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

②如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。

③经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

(2)三个推论：

①经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

②经过两条相交直线，有且只有一个平面。

③经过两条平行直线，有且只有一个平面。

3.两条直线的位置关系：

(1)相交：有且只有一个公共点，记作“aHb=A-

(2)平行：。•过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。

氏平行于同一条直线的两条直线平行

(3)异面：

①定义：不同在任何一个平面内的两条直线

②异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于2­的角。注意在找异面直线之间的夹

角时可作其中一条的平行线，让它们相交。

4.直线和平面的位置关系：

(1)直线在平面内：Ica

(2)直线与平面相交：/Ca=A

(3)直线与平面平行

①定义：没有公共点，记作：/〃a

②判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。

③性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交线平行。

5.两个平面的位置关系

(1)相交：aPP=/

(2)平行：

①定义：没有公共点，记作：“a〃p”

②判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行

③性质：以两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行

b.平行于同一平面的两个平面平行4

c夹在两平行平面间的平行线段相等/

小两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例.［

6.直线与平面所成的角：//苏J

(1)定义：直线与它在平面内的射影所成的角//

(2)范围：［0,匚］

2

7.直线与平面垂直

(1)判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直

第13页共17页岐山县职教中心

职物单招和些：总督?!

(2)性质：

①如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线；

②垂直于同一平面的两直线平行；

③垂直于同一直线的两平面平行。

8.两个平面垂直

(1)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。

(2)性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直。

9.二面角

(1)定义：过二面角a—/—P的棱上一点。，分别在两半平面内引棱/的垂线。4、0B,则NA08为二面角的

平面角

(2)范围：［。,兀］

(3)二面角的平面角构造：

①按定义，在棱上取一点。，分别在两半平面内引棱的垂线。4、0B,则NA08即是

②作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于3、OB,NA08即是

第十章排列、组合与二项式定理

L分类用加法：N=m+m+.....+m分步用乘法：N=mm....m

12n12n

n\

2有序为排列：Pm=n(n-1)(n-2)...(zz-m+1)=-------

n(n-ni)\

Pmn(n-1)(n-2)...(zi-m+1)n\

无序为组合：Cm=_n_=-----------------------------=----------

npm!m\(n—m)\

mm

阶乘：P〃-n!=n(n-1)(n-2)...x3x2x1

n

规定：0!=1Co=1

n

注(1)做排列组合题的原则：先特殊，后一般！

(2)在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；另外的思考方法：一般法、排除法、分类讨论法、机会均等法等等。

3组合数的两个性质：(1)Cm=Cn-,n(2)=C，"+C"一

nnn+1nn

4.二项式定理：

(a+b)n=C