材料力学Ⅱ（第7版）习题解析 刘鸿文 第十七章 矩阵位移法；第十八章 杆件的塑性变形

题型：问答题17.1图示简单杆系中，钢杆①和铝杆②的横截面面积皆为400mm2。钢的弹性模量E1=210GPa，铝的弹性模量E2答案：见题解解析：略难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.2图示圆钢杆与铝套筒在端截面刚性连接。两者的横截面面积分别为：A钢=1000mm2，A铝=500mm2。已知l=1m答案：见习题答案。解析：由铝套筒横截面上的应力，可计算出铝套筒的伸长Δl铝=σ铝E铝l，则铝套筒右端的位移u铝=Δ难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.3横截面面积A=50×20mm2答案：见习题答案。解析：仿照教材第十七章例17.1的解法，将杆件看作三个单元组成的共线杆系，写出三个杆件单元的刚度阵（三个杆件单元的刚度阵相同），1、2、3、4节点的载荷列阵为F=F1-50×103-50×103F4T，节点的位移列阵为δ=0u2难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.4图示杆系由钢和铜两种材料制成，A钢=2000mm2，答案：见习题答案。解析：仿照教材第十七章例17.1的解法。将杆件看作三个单元组成的共线杆系。分别写出三个杆件单元的刚度阵，1、2、3、4节点的载荷列阵为F=F1100×1030F4T，节点的位移列阵为δ=0u2u30.02×10难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.5在图示结构中，杆件①由钢制成，A1=2000mm2，E1=200GPa；杆件②由铜制成，A2=1000mm答案：见习题答案。解析：仿照教材第十七章习题17.1题解中的解法。分别写出杆件①和②的单元刚度方程，杆件①的节点载荷列阵为FN11FN21，节点的位移列阵为0u2；杆件②的节点载荷列阵为FN12FN22，节点的位移列阵为0u4，利用刚性杆AB的平衡方程（对难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.6图示变截面钢轴上的Me2=1.8kN∙m，Me3=1.2kN答案：见习题答案。解析：仿照教材第十七章例17.2的解法。将变截面钢轴杆件看作①和②两个杆件单元组成。分别写出杆件①和②的单元刚度方程，杆件①的节点载荷列阵为T11T21，节点的位移列阵为0φ2；杆件②的节点载荷列阵为T12T22，节点的位移列阵为φ2φ3，对节点难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.7两端固定的圆杆如图所示，直径d=80mm，Me2=12kN∙答案：见习题答案。解析：仿照教材第十七章例17.2的解法。将圆杆件看作①和②两个杆件单元组成。分别写出杆件①和②的单元刚度方程，杆件①的节点载荷列阵为T11T21，节点的位移列阵为0φ2；杆件②的节点载荷列阵为T12T22，节点的位移列阵为φ20，对节点1难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.8图示杆系中，杆件①为实心钢杆，G1=80GPa，直径d1=50mm；杆件②为空心铝杆，答案：见习题答案。解析：仿照教材第十七章例17.2的解法。将变截面圆杆件看作①和②两个杆件单元组成。分别写出杆件①和②的单元刚度方程，杆件①的节点载荷列阵为T11T21，节点的位移列阵为0φ2；杆件②的节点载荷列阵为T12T22，节点的位移列阵为φ难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.9图示简支梁的横截面为圆形，d=50mm，材料的E=200GPa答案：见习题答案。解析：仿照教材第十七章例17.3的解法。利用梁的单元刚度矩阵K，是个4×4的对称方阵，节点载荷列阵为F=FS11M11FS21M21T，难度：容易能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.10受弯杆件如图所示，已知单元①的EI=8MN∙m2，单元②的答案：见习题答案。解析：仿照教材第十七章例17.4的解法。图中是由①和②两个梁单元组成的共线杆系。先分别写出单元①和单元②的单元刚度方程，然后对每个节点写出2个平衡方程，将单元刚度方程代入各节点的平衡方程，可以建立整体刚度方程F=Kδ，K是个6×6的对称方阵，F=Fy1M1Fy2M2Fy3M3T和δ难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.11两端固定的梁如图所示，EI=8移和固定端的约束力。答案：见习题答案。解析：仿照教材第十七章例17.4的解法。图中是由①和②两个梁单元组成的共线杆系。先分别写出单元①和单元②的单元刚度方程，然后对每个节点写出2个平衡方程，将单元刚度方程代入各节点的平衡方程，可以建立整体刚度方程F=Kδ，K是个6×6的对称方阵，F=Fy1M110×1030难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.12图示等截面钢梁直径d=50mm答案：见习题答案。解析：仿照教材第十七章例17.4的解法。图中是由①和②两个梁单元组成的共线杆系。先分别写出单元①和单元②的单元刚度方程，然后对每个节点写出2个平衡方程，将单元刚度方程代入各节点的平衡方程，可以建立整体刚度方程F=Kδ，K是个6×6的对称方阵，F=Fy1M1Fy20-4×1030难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.13图示钢梁E=200GPa，I答案：见习题答案。解析：仿照教材第十七章例17.5的解法。图中是由①和②两个梁单元组成的共线杆系，其中梁单元①上作用均布载荷，属于有中间载荷的情形，需将其处理成等效节点载荷，17.117.5计算中间载荷经等效后杆系结构的节点位移和节点载荷，（2）计算有中间载荷作用的两端固定梁的问题。将两种情形叠加，即得到原问题的解。难度：难能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.14图示连续梁的右端支座C比A、B两支座高δ。若EI为已知，试作梁的弯矩图。答案：见习题答案。解析：仿照教材第十七章例17.4的解法。图中是由梁AB（记为梁单元①）和梁BC（记为梁单元②）两个梁单元组成的共线杆系。先分别写出单元①和单元②的单元刚度方程，然后对每个节点写出2个平衡方程，将单元刚度方程代入各节点的平衡方程，可以建立整体刚度方程F=Kδ，K是个6×6的对称方阵，F=Fy10Fy20Fy3难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.15设图示各梁的EI已知，试求各支座约束力并作弯矩图。答案：见习题答案。解析：图中是由①和②两个梁单元组成的共线杆系。对于仅有节点载荷的情形，仿照教材第十七章例17.4的解法进行求解；对于有中间载荷的情形，仿照教材第十七章例17.5的解法进行求解。难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.16图示简支工字形截面梁受偏心拉力作用，横截面的尺寸如右图所示。若e=10mm，E答案：见习题答案。解析：图中简支工字型梁受偏心拉力作用时，是组合变形（拉伸和弯曲的组合）杆的问题。可参考教材第十七章例17.6的解法进行求解。单元刚度矩阵可由式（17.9）中抽掉与扭转变形相关的行和列即可，即抽掉式（17.9）中第三行和第七行及第三列和第七列，得到单元刚度方程为F=Kδ，K是个6×6的对称方阵，δ=00θ1u20θ2T和难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.17等截面圆杆的Ip=2I=16000mm答案：见习题答案。解析：参考教材第十七章例17.6的解法进行求解。将等截面圆杆看作由梁单元①（节点1和2之间的部分）和梁单元②（节点2和3之间的部分）两个梁单元组成的共线杆系。其中梁单元②作用有中间载荷，需按第十七章第17.5节所述的方法处理。梁单元①和②都是组合变形（扭转和弯曲的组合）杆的问题。先写出梁单元①和②的单元刚度方程，然后集成整体刚度方程，最后完成求解。难度：难能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.18图示桁架各杆件横截面面积均为800mm2，且均为钢杆，答案：见习题答案。解析：静定和超静桁架内力和节点位移的求解。有斜方向的杆（各单元的轴线不重合），需要用到坐标变换，参考教材第十七章例17.7的解法进行求解。难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.19对弯曲与拉伸（压缩）的组合变形杆件，试证单元刚度矩阵的坐标变换公式仍为式（17.13），即k答案：略解析：参考教材第十七章第17.7节所述的推导方法可完成证明。难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.20图示刚架各杆件EI和EA均相等，E=200GPa，A=2000mm2，I答案：见习题答案。解析：超静刚架问题的求解。将刚架看作由梁单元①和②两个梁单元组成的非共线杆系。梁单元①是竖直杆，需要用到坐标变换技术，参考教材第十七章例17.8的解法进行求解。图（b）的梁单元①上有中间载荷，需应用等效节点载荷处理技术。难度：难能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题17.21写出图示刚架的整体刚度方程。设刚架各杆件的EI和EA皆相等，且E=200GPa，A=30答案：略解析：超静刚架问题的求解。将刚架看作由梁单元①、②和③三个梁单元组成的非共线杆系。梁单元①和③是竖直杆，需要用到坐标变换技术，在梁单元②上有中间载荷，需应用等效节点载荷处理技术。难度：难能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十七章矩阵位移法题型：问答题18.1图示结构的水平杆为刚杆，1、2两杆由同一理想弹塑性材料制成，横截面面积皆为A。试求使结构开始出现塑性变形的载荷F1和极限载荷F答案：见习题答案。解析：按线弹性小变形问题计算，是一次超静定问题。变形协调方程是∆l2=2∆l1，由于两杆的材料相同，横截面面积相同，由胡克定律∆l=FNlEA可知，FN2=2FN1。当载荷逐渐增加时，杆2横截面上的拉应力首先达到屈服极限，即对应开始出现塑性变形的载荷F1。由于两杆均是理想弹塑性难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十八章杆件的塑性变形题型：问答题18.2图示杆件的上端固定，下端与固定支座间有0.02mm的间隙。材料为理想弹塑性材料。E=200GPa，σs=220MPa。杆件在AB部分的横截面面积为200mm2，BC部分为100mm2。若作用于截面B上的载荷F答案：见习题答案。0.02mm在杆的底端与固定支座接触之前，载荷F全部由杆件的AB段承担，BC段的轴力等于零，这个阶段，F-δ成线性关系，这个阶段载荷的最大值是杆的底端与固定支座恰好接触时的载荷F1。（2）继续加载，当杆的底端与固定支座接触之后，先按线弹性小变形问题计算，是一次超静定问题，变形协调方程是杆件的AB段的伸长∆l1与杆件的BC段的缩短量∆l2（假设BC段受压）之差等于间隙δ，可以分别计算出AB段的轴力FN1和BC段的轴力FN2，进一步可判断出AB段的应力将首先达到屈服极限，此时对应的载荷为F2，在这个阶段，F-δ也成线性关系，但斜率跟前面一个阶段不同。（3）再继续加载，AB段的载荷保持σsA不变，BC段因仍处于弹性阶段，载荷可以继续增长，直到BC段横截面上的压应力也达到屈服极限时，即对应极限载荷Fp，在这个阶段，F-δ还难度：难能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十八章杆件的塑性变形题型：问答题18.3试求图示结构开始出现塑性变形时的载荷F1和极限载荷Fp。设材料是理想弹塑性的，且各杆件的材料相同，横截面面积皆为答案：见习题答案。解析：先按线弹性小变形问题计算，是一次超静定问题。建立协调方程，然后解出三根杆的轴力。根据解出三根杆轴力的大小，判定轴力的绝对值最大的那根杆横截面上的应力首先达到屈服极限，即对应开始出现塑性变形的载荷F1。经分析可知，竖杆横截面上的应力首先达到屈服极限。对于本结构，经分析发现，只要斜杆横截面上的应力也达到屈服应力时，即对应极限载荷F难度：难能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十八章杆件的塑性变形题型：问答题18.4设材料单向拉伸的应力-应变关系为σ=Cεn，式中C及n皆为常数，且0≤n≤1。若单向压缩的应力答案：见题解。难度：难能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十八章杆件的塑性变形题型：问答题18.5由理想弹塑性材料制成的圆轴，受扭时横截面上已形成塑性区，沿半径应力分布如图所示。试证明相应的扭矩是T答案：略解析：将截面分层两个区域，在0≤ρ≤c区域内，切应力呈线性分布，即τ=ρcτs，在c难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十八章杆件的塑性变形题型：问答题18.6在图示梁的截面C和D上，分别作用集中力F和βF，这里β是一个正的系数，且0<β<1。试求极限载荷Fp。并问答案：见习题答案。解析：先按线弹性小变形问题计算，是一次超静定问题。解除支座B的约束，代之以竖直向上的集中力FB，建立协调方程wB=0，然后算出FB，再计算出支座B的弯矩MB、集中力F作用的截面C的弯矩MC以及固定端截面A的弯矩MA。当MB=MC时，此时可以确定出β=β0难度：难能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十八章杆件的塑性变形题型：问答题18.7图示左端固定、右端铰支的梁，受两个相等的载荷F作用。试求载荷的极限值。答案：见习题答案。解析：当左端的固定端截面处及两个集中力作用的截面处，这三个截面的任意两个形成塑性铰，梁即丧失承载能力。利用虚功原理，分别计算出现任意两个塑性铰情形的极限载荷，有三种情况，取三种情况结果的最小值。难度：难能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：第十八章杆件的塑性变形题型：问答题18.8双跨梁上的载荷如图所示，试求载荷的极限值。答案：见习题答案。解析：当左端的固定端截