江苏省专转本（高等数学）模拟试卷7（共220题）

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷7（共9套）（共220题）江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第1套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设曲线y=x2(0≤z≤1)，问t为何值时，图中的阴影部分面积S1与S2之和S1+S2最小。标准答案：当t=时S1+S2最小知识点解析：(1)选择y为积分变量(2)S=S1+S2=—t+(3)求极值S′(t)=—1=—1令S′(t)=0，驻点t=S″(t)=，＞0t=为极小值点，由单峰原理，也是最小值点当t=时S1+S2最小2、已知|a|=，|b|=1，=，求p=a+b，a=a一b的夹角。标准答案：知识点解析：(1)cos(p，q)=(2)|p|2=|a+b|2=(a+b)?(a+b)=|a|2+|b|2+2(a?b)=3+1+?1?=7又|q|2=|a—b|2=(a—b)?(a—b)=|a|2+|b|2—2(a?b)=3+1—=4—3=1故二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、设f(x)在[0，1]连续，且f(x)<1，又F(x)=(2x—1)一，证明F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点。标准答案：∵f(x)在[0，1]上连续，∴F(x)在[0，1]连续．又F(0)=一1<0，F(1)=1一一f(ε)，ε∈(0，1)f(x)<1，∴f(ε)<1，从而F(1)>0，由零点定理知F(x)在(0，1)内至少有一个零点。又F′(x)=2一f(x)>0，∴F(x)在[0，1]上严格单调增加，所以F(x)在(0，1)内最多只有一个零点，从而F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点。知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、若，则=()。A、B、2C、3D、标准答案：C知识点解析：用变量代换求极限，令=，x=，x0时，t0，====3，故选C项。5、设F(x)是f(x)的一个原函数，则dx=()。A、F()+CB、2F()+CC、F()+CD、一2F()+C标准答案：B知识点解析：==+C，故答案为B项。6、=f′(x0)，则k的值为()。A、1B、C、D、—2标准答案：B知识点解析：根据结论：=(k—1)f′(x0)k—1==7、下列无穷积分收敛的是()。A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：=，当x+∞时，，广义积分发散。=，当x+∞时，，广义积分收敛。=lnlnx，当x+∞时，lnlnx∞，广义积分发散。=2，当x+∞时,2∞，广义积分发散。8、设y=f(x)为[a，b]上的连续函数，则曲线f=f(x)，x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形面积为()。A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：对于在[a，b]上函数f(x)有时取正值，有时取负值，所以求面积时f(x)要带上绝对值。9、y=的间断点有()。A、一个B、两个C、三个D、0个标准答案：B知识点解析：其定义域为x≥3，间断点为x=4，x=5。四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)10、=2，则a=_______，b=________。标准答案：一4，3知识点解析：=2x=1时，=2并且x2+ax+b=0，所以a=一4，b=3。11、u=f(xy，x2+2y2)，其中f为可微函数，则=________。标准答案：yf′1+2xf′2知识点解析：令w=xy，v=x2+y2，则u=f(w，v)，=f′w(w，v)?y+f′v(w，v)?2x。12、已知函数f(x)=alnx+bx2+x在x=1与x=2处有极值，则a=________。，b=________。标准答案：，知识点解析：由题意可知：f′(x)=+2bx+1，f′(1)=0，f′(2)=0a=，b=。13、a，b为两个非零向量，λ为非零常数，若向量a+λb垂直于向量b，则λ等于________。标准答案：知识点解析：a+λb垂直于向量b(a+λb).b=0。14、已知f(cosx)=sin2x，则=________。标准答案：+x2+C知识点解析：f(cosx)=sin2x=1一cos2xf(x)=1一x2∫f(x一1)dx=∫[1一(x一1)2]dx=+x2+C。15、已知f(x)=ex2，f[φ(x)]=1—x，且φ(x)≥0，则φ(x)的定义域为________。标准答案：x≤0知识点解析：f[φ(x)]==1一x=eln(1—x)，所以φ(x)=，于是1一x≥1，即x≤0。五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)16、求。标准答案：因为====0，所以原式==因为====0所以原式=e0=1。知识点解析：暂无解析17、求∫(2x一1)ln2xdx。标准答案：∫(2x一1)ln2xdx=∫ln2d(x2一x)=(x2一x)ln2x一2∫(x2一x)lnxdx=(x2—x)ln2x一2∫(x—1)lnxdx=(x2—x)ln2x—2∫lnxd(—x)=(x2—x)ln2x—2(—x)lnx+2∫(—x)dx=(x2—x)ln2x一(x2—2x)lnx+x2—2x+C知识点解析：暂无解析18、计算定积分。标准答案：利用定积分换元法，被积函数中有，令x=sint，则dx=dt=cot2tdt=(cot2t—1)dt=—=1—知识点解析：暂无解析19、已知，求及。标准答案：=======知识点解析：暂无解析20、解常微分方程：x+y=xy2。标准答案：令=z，则y=，得+z=x=—1，p=，q=—1∫p(x)dx=∫—dx=—lnx，=∫—1.dx=—lnx，z=(lnx+C)elnx=(—lnx+C)x，所以y=知识点解析：暂无解析21、将函数f(x)=展开为x的幂级数，并指出收敛区间。标准答案：f(x)===—=—=(2n+1—1)xn.(＜x＜)知识点解析：暂无解析22、求过点(1，2，3)且垂直于直线的平面方程。标准答案：由题意所求平面的法向量为：n=(1，1，1)×(2，一1，1)==(2，1，一3)．根据点法式，所求平面方程为2(x一1)+(y—2)—3(z—3)=0，即2x+y—3z+5=0知识点解析：暂无解析23、如图所示，D为x2+y2≤a2与x≥0所围的区域，计算∫∫x2y2dxdy。标准答案：x2y2dxdy=dθ∫a0r2cos2θ.r2sin2θ.rdr=cos2θsin2θdθ=(cos2θ—cos4θ)θ=(I2—I4)==知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第2套一、综合题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内大于0，并满足xf’(x)=f(x)+3x2．若曲线y=f(x)与x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，求y=f(x)．标准答案：由xf’(x)=f(x)+3x2，可得f’(x)-f(x)=3x，所以p=q=3x．那么，∫p(x)dx=-lnx，∫q(x)e∫p(x)dx=∫3x．dx=3x．所以f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx．由题意可得：S=∫01．(3x2+Cx)dx=(x3+)|01=1+=2，所以C=2．所以f(x)=3x2+2x．知识点解析：暂无解析设g(t)=其中Dt是由x=t、y=t以及坐标轴围成的正方形区域，函数f(x)连续．2、求a的值使得g(t)连续；标准答案：如图，画出积分区域，则f(x)dxdy=∫0tdx∫0tf(x)dy=∫0tf(x)dx．即g(t)={∫0tf(x)dx，t≠a，t=0，根据函数连续定义，满足∫0tf(x)dx=f(0)=g(0)=a，所以a=0．知识点解析：暂无解析3、求g’(t)．标准答案：当t≠0时，g’(t)=(∫0tf(x)dx)’=f(t)．t=0时，g’(0)=f(h)=f(0)．所以，g’(t)=f(t)．知识点解析：暂无解析4、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入z(万元)与电台广告费用x(万元)及报纸广告费用y(万元)之间的关系有如下公式：z=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2．问：在广告费用不限的情况下，怎样才能达到最优的广告策略?标准答案：广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x，y)=R(x，y)-C(x，y)=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2又L"xx(x，y)=-4，L"xy(x，y)=-8，L"yy(x，y)=-20，故B2-AC=64-(-4)×(-20)=-16＜0．又A=-4＜0，于是点(0．75，1．25)为极大值点，也是最大值点即广告费用为0．75万元，报纸广告费用为1．25万元时，才能达到最优广告策略．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)5、设f(x)在[a，b]上连续(a＜b)，且f(x)＞0．证明方程∫ax(t)dt+∫bxdt=0．标准答案：①令F(x)=∫axf(t)dt+∫bxdt，根据积分上限函数的性质知，F(x)在[a，b]上连续且可导．又F(a)=∫aaf(t)dt+∫badt＜0，(f(x)＞0)F(b)=∫abf(t)dt+∫bbdt=∫abf(t)dt＞0，(f(x)＞0)所以由零点定理知，方程F(x)=0在(a，b)内至少有一实根．②又F’(x)=f(x)+＞0，于是F(x)在(a，b)内单调递增，F(x)在(a，b)内与x轴至少有一个交点，即方程F(x)=0在(a，b)内至少有一个实根．故由①、②知，方程∫axf(t)dt+∫bxdt=0在(a，b)内有且仅有一个实根．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、下列极限求解正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：当x→0时，为有界函数，x为无穷小量，故其乘积也为无穷小．=0，而sin(2x+1)有界，所以sin(2x+1)=0．故选D项．7、函数y=的单调减少区间为()．A、(-∞，+∞)B、(-∞，-1)∪(-1，+∞)C、(0，+∞)D、(-∞，0)标准答案：B知识点解析：y’=-＜0(x≠-1)故区间为(-∞，-1)∪(-1，+∞)．故选B项．8、定积分∫02|x-1|dx=()．A、0B、2C、-1D、1标准答案：D知识点解析：原式=∫01(1-x)dx+∫12(x-1)dx=(x-=1．9、设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线部分∫Lxdy-2ydx的值为()．A、π／2B、3π／2C、2π／3D、π／4标准答案：B知识点解析：正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，可表示为于是∫Lxdy-2ydx=∫0π／2[sinθ]dθ=π+∫0π／22sin2θdθ=10、下列结论正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：∵n→∞时，收敛，由比较判别法可知收敛．11、设f(x)=sint2dt，则f’(t)=()．A、sinx4B、2xsinx2C、2xcosx2D、2xsinx4标准答案：D知识点解析：利用变上限积分求导法则，f’(x)=sinx4(x2)’=2xsinx4．四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)12、设y=y(x)满足exy+sin(x2y)=y3，则y’(0)=_______．标准答案：1／3知识点解析：x=0，y=1，exy(y+xy’)+cos(x2y)×(2xy+x2y’)=3y2y’代入得1+0=3y’(0)，所以y’(0)=1／3．13、设函数y=2x2+ax+3在x=1处取得极小值，则a=_______．标准答案：-4知识点解析：由极值存在的必要条件知：y’|x=1=0，即4+a=0，故a=-4．14、z=ln(x+|(1，0)=_______．标准答案：1／2知识点解析：15、微分方程y’cosx-ysinx=1的通解为_______．标准答案：知识点解析：(ycosx)’=116、设|a|=1，a⊥b，则a．(a+b)=_______．标准答案：1知识点解析：a．(a+b)=a．a+a．b，又a⊥ba．b=0，a．a=|a2|=1，所以a．(a+b)=1+0=1．17、曲线y=2x与y=log2x关于_______对称．标准答案：直线y=x知识点解析：因为函数y=2x与y=log2x互为反函数，故关于直线y=x对称．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、设方程ex+ysin(x+z)=0确定z=z(x，y)，求dz．标准答案：[-1-tan(x+z)]dx-tan(x+z)dy(1)令F=ex+ysin(x+z)，F’x=ex+y[sin(x+z)+cos(x+z)]F’y=ex+ysin(x+z)，F’z=ex+ycos(x+z)(2)=-1-tan(x+z)=-tan(x+z)dz=[-1-tan(x+z)]dx-tan(x+z)dy．知识点解析：暂无解析19、计算二重积分dxdy，其中D={(x，y)|x2+y2≤2x，y≥0}．标准答案：16／9知识点解析：暂无解析20、判别的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛．标准答案：绝对收敛(1)这是任意项极数(2)∵收敛，故绝对收敛．知识点解析：暂无解析21、求的收敛半径与收敛域．标准答案：收敛半径=1＜x＜5，收敛域[-1，5)(1)∵ρ=∴收敛半径R=3有-3＜x-2＜3即-1＜x＜5．(2)当x=5时，发散(调和级数)；当x=-1时，收敛(莱布尼兹级数)．(3)级数的收敛域为[-1，5)．知识点解析：暂无解析22、求dy／dx=1-x+y2-xy2的通解．标准答案：y=tan(C-)(1)判别方程的类型：dy／dx=(1-x)+y2(1-x)=(1-x)(1+y2)可分离变量方程(2)=∫(1-x)dx知识点解析：暂无解析23、求y"+6y’+13y=0满足y(0)=3，y’(0)=-1的特解．标准答案：y=e-3x(3cos2x+4sin2x)(1)∵r2+6r+13=0，∴r1，2==-3±2i．(2)通解y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)．(3)特解：∵y(0)=3，∴3=C1，y’=-3e-3x(C1cos2x+C2sin2x)+e-3x(-2C1sin2x+2C2cos2x)．∵y’(0)=-1，-1=-9+2C2，∴C2=4．特解为y=e-3x(3cos2x+4sin2x)．知识点解析：暂无解析24、设y=ln，求dy．标准答案：dy=dx(1)y=ln(+1)知识点解析：暂无解析25、求由方程x2y2+y=1(y＜0)所确定y=y(x)的极值．标准答案：极大值y(0)=1(1)求驻点：2xy2+x22yy’+y’=0，令y’=0，2xy2=0，(y＞0)→驻点x=0．(2)判别极值点2y2+2x2yy’+4xyy’+2x2(y’2+yy")+y"=0，当x=0时y=1代入上式2+0+0+0+y"(0)=0，y"(0)=-2＜0．x=0为极大值点．(3)极大值y(0)=1．知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第3套一、综合题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．标准答案：函数的定义域为(-∞，+∞)，f’(x)=3x2-3，令f’(x)=0，得驻点x1=-1，x2=1，列表得：函数f(x)的单调增区间为(-∞，-1)和(1，+∞)，单调减区间为[-1，1]．f(-1)=3为极大值，f(1)=-1为极小值．知识点解析：暂无解析已知一平面图形由抛物线y=x2、y=-x2+8围成．2、求此平面图形的面积；标准答案：用定积分求面积和体积，如图，所围平面图形的面积为S=∫-22(8-x2-2x2)dx=64／3知识点解析：暂无解析3、求此平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积．标准答案：此平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积为V=π∫04()2dy+π∫48()2dy=16π．知识点解析：暂无解析已知某厂生产x件产品的成本C=25000+200x+x2(单位：元)．试问：4、要使平均成本最小，应生产多少件产品?标准答案：设平均成本为y，则y=(25000+200x+x2)，y’=-，令y’=0，得x=10000，此即为所求．知识点解析：暂无解析5、若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?标准答案：设利润为L，则L=500x-(25000+200x+x2)，L’=500-200-x．令L’=0，得x=6000，此即为所求．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)6、当x＞0时，证明成立．标准答案：(1)变形：ln(1+)=ln(1+x)-lnx，这是对数函数的增量形式令f(t)=lnt，t∈[x，1+x]．(2)f(t)=lnt在[x，1+x]应用拉格朗日中值定理：ln(1+x)-lnx=(x+1-x)，故有(x＞0)证毕。知识点解析：暂无解析7、设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=-1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e-x．标准答案：(1)∵F(x)．G(x)=-1，∴F’(x)G(x)+F(x)G’(x)=0→f(x)G(x)+F(x)=0→f(x)=0→F2(x)=f2(x)．(2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即f(x)=f’(x)，=1lnf(x)=x+C1，f(x)=Cex由f(0)=1，得C=1故有f(x)=ex(ii)若F(x)=-f(x)，即f(x)=-f’(x)→lnf(x)=-x+C2，f(x)=Ce-x．由f(0)=1，得C=1．故有f(x)=e-x证毕．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、已知∫f(x)dx=e2x+C，则∫f’(-x)dx=()．A、2e-2x+CB、e-2x+CC、-2e-2x+CD、-e-2x+C标准答案：C知识点解析：原式两边分别求导得，f(x)=2e2x，再两边求导，得f’(x)=4e2x，则f’(-x)=4e-2t．∫f’(-x)dx=∫4e-2xdx=-2∫e2xd(-2x)=-2e-2x+C故选C项．9、在下列极限求解中，正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：10、下列级数中条件收敛的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：为交错级数，且其通项的绝对值趋于0，据莱布尼兹准则知，它是收敛级数．另外∑|an|=∑发散，据第一比较准则知∑|an|发散，故此级数条件收敛．11、曲线y=x3-3x在开区间(0，1)内为()．A、单调上升，且上凹B、单调下降，且下凹C、单调上升，且下凹D、单调下降，且上凹标准答案：D知识点解析：当0＜x＜1时，y’=3x2-3＜0，y"=6x＞0．曲线单调下降，且上凹，故选D项．12、若直线l与Ox平行，且与曲线y=x-ex相切，则切点坐标为()．A、(1，1)B、(-1，1)C、(0，-1)D、(0，1)标准答案：C知识点解析：根据题意得：y’=(1-ex)’=0x=0，代入得y=-1．13、f(x)=且f(x)在x=0处连续，则a的值为()．A、1B、0C、5／2D、-标准答案：C知识点解析：使用洛必达法则可知：根据f(x)在x=0处连续，可知a=-四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)14、设f(x)=(x500-1)g(x)，其中g(x)在x=1处连续，g(1)=4，则f’(1)=_______．标准答案：2000知识点解析：=．4(因为g(x)在x=1处连续且g(1)=4)=2000．15、y=y(x)由ln(x+y)=exy确定，则x=0处的切线方程为_______．标准答案：y-e=(e2-1)x知识点解析：由ln(x+y)=exy，得(1+y’)=exy(y+xy’)，x=0，y=e，(1+y’)=e，k=y’(0)=e2-1，所以方程为：y-e=(e2-1)x．16、∫-11(1+x3)dx=_______．标准答案：6／13知识点解析：∫-11(1+x3)dx=∫-11x1／3dx+∫-11x10／3dx=．17、标准答案：1知识点解析：18、若函数f(x)=为连续函数，则a+b=_______．标准答案：1知识点解析：b=-1，所以a+b=1．19、设函数y=2x2ax+3在x=1处取得极小值，则a=_______．标准答案：-4知识点解析：由极值存在的必要条件知：y’|x=1=0，即4+a=0，故a=-4．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)20、求(1+xlnx)lnx的极限．标准答案：因为(-x)=0，所以所以原式=e0=1．知识点解析：暂无解析21、求∫(2x-1)ln2xdx．标准答案：∫(2x-1)ln2xdx=∫ln2xd(x2-x)=(x2-x)ln2x-2∫(x2-x)lnxdx=(x2-x)ln2x-2∫(x-1)lnxdx=(x2-x)ln2x-2∫lnxd(-x)=(x2-x)ln2x-2(dx=(x2-x)ln2x-(x2-2x)lnx+x2-2x+C．知识点解析：暂无解析22、计算定积分标准答案：利用定积分换元法，被积函数中有，令x=sint，则知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、解常微分方程：x+y=xy2．标准答案：令，q=-1∫p(x)dx=∫-dx=-lnx，∫q(x)e∫p(x)dxdx=∫-1dx=lnx，z=(lnx+C)elnx=(lnx+C)x，所以y=知识点解析：暂无解析25、将函数f(x)=展开为x的幂级数，并指出收敛区间．标准答案：知识点解析：暂无解析26、求过点(1，2，3)且垂直于直线的平面方程．标准答案：由题意所求平面的法向量为：n=(1，1，1)×(2，-1，1)==(2．1．-3)．根据点法式，所求平面方程为2(x-1)+y(-2)-3(z-3)=0，即2x+y-3x+5=0．知识点解析：暂无解析27、如图所示，D为x2+y2≤a2与x≥0所围的区域，计算x2y2dxdy．标准答案：x2y2dxdy=dθ∫0ar2cos2θ．r2sin2θ．rdr=cos2θsin2θdθ=(cos2θ-cos4θ)dθ=(I2-I4)=知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第4套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、试求由抛物线(y一2)2=x一1和与抛物线相切于纵坐标y0=3处的切线以及x轴所围成图形面积。标准答案：抛物线(y一2)2=x一1，顶点在(1，2)，开口向右，切点纵坐标为3，则x坐标为2，则切线斜率为k=，而y′=，所以k=，切线方程y一3=，改写成x=2y一4，S=∫30[(y—2)2+1—(2y—4)]dy=9知识点解析：暂无解析2、从半径为R的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为最大?标准答案：设余下部分的圆心角为φ时所卷成的漏斗容积V最大，漏斗的底半径为r，高为h，则2πr=Rφ，h=，V=πr2h=r2，V′=，r=R此时φ=，即当余下的圆心角为φ=时漏斗容积最大。知识点解析：暂无解析3、某工厂生产过程中，次品率与日生产量关系是y(x)=，其中x为正数，每生产一件产品可赢利A元，但生产一件次品要损失元，问为了获得最大盈利，每大的生产量为多少?标准答案：设日生产量为x件，日利润为u元，则日次品数为xy件，日正品数为(x—xy)件，因为当x≥50时次品率为1，为获最大利润故必0≤x<50。于是日利润为u=A(x—xy)一xy，(0≤x<50)u′=A(1—y—xy′)——令u′=0，得y+xy′=将y=代入，解得x=51±，即x≈42．8或x≈59．25，舍去x≈59．25．比较U(0)=0，U(42)=166．4，u(43)=189．9的值，故日生产量为43件时，获得最大盈利。知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、证明：函数f(x)=在x=0处连续，在x=0处不可导。标准答案：因为，所以=0，又f(0)=0，所以函数f(x)在x=0处连续。因为==，==，所以函数f(x)在x=0处不可导。知识点解析：暂无解析5、证明：当x>0时，(x2—1)lnx≥(x一1)。标准答案：令F(x)=lnx一，显然，F(x)在(0，+∞)上连续。由于F′(x)=，故F(x)在(0，+∞)上单调递增，于是，当0＜x＜1时，F(x)＜F(1)=0，即lnx＜，又(x2一1)lnx＞(x一1)2，故(x2一1)lnx＞(x一1)2；当x≥1时，F(x)≥F(1)=0，即lnx≥，又x2一1≥0，故(x2—1)lnx≥(x一1)2知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、设=e2，则m的值为()。A、B、2C、一2D、标准答案：C知识点解析：=一2。7、当x→0时，在下列变量中为无穷小量的是()。A、ex一1B、C、D、标准答案：A知识点解析：选项A：(ex一1)=0：选项B：=1：选项C：=e；选项D：=1。8、∫41|x2—3x+2|dx的值为()。A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：∫41|x2—3x+2|dx=∫21(—x2+3x—2)dx+∫42(x2—3x+2)dx=9、下列说法不正确的是()。A、是发散的B、是发散的C、是收敛的D、是发散的标准答案：D知识点解析：un==ln(n+1)—lnn，Sn=u1+2+…+un=ln(n+1)，=∞所以是发散的；因为不存在，所以是发散的；un=；是收敛的，由比较审敛法知也收敛。因为=0<1，由比值审敛法可知所给的级数是收敛的。10、在下面曲面中，为旋转抛物面的是()。A、x2+y2=z2B、x2+y2+2z2=1C、D、x2+y2=2x标准答案：C知识点解析：A项为圆锥面，B项为球面。11、设f(x，y)=+(y一1)ln(x2.y)，贝f′x(x，1)=()。A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：f(x，1)=，故。四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)12、定积分∫20|x—1|dx=_________。标准答案：1知识点解析：∫20|x—1|dx=∫10(1—x)dx+∫21(x—1)dx=(x—)|10+(—x)|21=+=1。13、曲线y=4—的拐点是_________。标准答案：(1，4)知识点解析：y′=，y″=当x=1时，y″==0。当x∈(一∞，1)时，y″<0，而当x∈(1，+∞)时，y″>0，当x=1时，y=4，所以拐点是(1，4)。14、若f(x)=，则f[f(f(x))]=_________。标准答案：x知识点解析：f[f(f(x))]=====x。15、已知a，b均为单位向量，且a.b=，则以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为_________。标准答案：知识点解析：根据向量叉积，以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为S=|a|.|b|sinθ=|a×b|，由已知，|a|=1，|b|=1，a.b=|a|.|b|cosθ=，所以cosθ=，可得sinθ=，可得平行四边形面积为|a×b|=|a||b|sinθ=。16、的收敛半径和收敛域为_________。标准答案：，[，]知识点解析：an=，R===，当x=时，级数=，收敛；当x=时，级数=收敛。故原级数收敛域为[，]17、若z=，则=_________。标准答案：(，)知识点解析：=，=，把(1，一1)代入即可。五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、设方程确定x2+y2+z2—4z=0确定z=z(x，y)，求。标准答案：知识点解析：(1)F=x2+y2+z2一4z，F′x=2x，F′y=2y，F′z=2z一4。(2)(3)19、计算I=(x+y)dxdy，其中D：x2+y2≤2x。标准答案：π知识点解析：(1)画出积分区域D(2)I=D关于x轴对称，Y关于y为奇函数，=0I==π20、判别的敛散性。标准答案：收敛知识点解析：解法(1)：这是正项级数，且收敛|q|=＜1，由比较法非极限形式知收敛。解法(2)：收敛，收敛，由性质知也收敛。21、将f(x)=展开成x的幂级数。标准答案：(一1＜x＜1)知识点解析：解法(1)：f(x)=x=x=，收敛域：||<1，|x|<1|x|<1即一1＜x＜1，解法(2)：f(x)==(一1＜x＜1)22、求xydx+=0满足y(一1)=2的特解。标准答案：y=知识点解析：(1)可分离变量方程。(2)，，lny=+C1，lny=+C1。(3)y=，又y(一1)=2，C=2，特解y=23、已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为r1、2=1±2i，求此微分方程。标准答案：y″一2y′+5y=0知识点解析：(1)特征方程：(r一1—2i)(r一1+2i)=0，(r一1)2一(2i)2=0，(r一1)2一4i2=0(i2=一1)，r2一2r+1+4=0，r2一2r+5=0。(2)微分方程：y″一2y′+5y=0。24、设y=xarcsin+，求y′及y″。标准答案：、知识点解析：(1)y′==(2)y″=25、求曲线y=x2+的凹凸区间与拐点。标准答案：拐点(0，一1)及(1，)；(一∞，0)，(1，+∞)为凹区间，(0，1)为凸区间知识点解析：(1)定义域(一∞，+∞)。(2)y′=y″=令y″=0，y″==0，得x=0；y″不存在的点为x=1。(3)列表江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第5套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内大于0，并满足xf’(x)=f(x)+3x2．若曲线y=f(x)与x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，求y=f(x)．标准答案：由xf’(x)=f(x)+3x2，可得知识点解析：暂无解析2、设其中Dt是由x=t、y=t以及坐标轴围成的正方形区域，函数f(x)连续．(1)求a的值使得g(t)连续；(2)求g’(t)．标准答案：如图，画出积分区域，则知识点解析：暂无解析3、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入z(万元)与电台广告费用x(万元)及报纸广告费用y(万元)之间的关系有如下公式：z=15+14z+32y一8xy一2x2—10y2．问：在广告费用不限的情况下，怎样才能达到最优的广告策略?标准答案：广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x，y)=R(x，y)一C(x，y)=15+14x+32y一8xy一2x2—10y2一(x+y)=15+13x+31y一8xy一2x2一10y2又Lxx’’(x，y)=一4，Lxy’’(x，y)=一8，Lyy’’(x，y)=一20，故B2一AC=64一(一4)×(一20)=一16＜0．又A=一4＜0，于是点(0．75，1．25)为极大值点，也是最大值点即广告费用为0．75万元，报纸广告费用为1.25万元时，才能达到最优广告策略．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f’’(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x-1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F’’(ξ)=0．标准答案：设G(x)=F(x)一(x-2)f(1)，则G(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，而G(1)=f(1)，G(2)=f(2)，于是由f(2)=f(1)=0知G(1)=G(2)．由罗尔定理知在(1，2)内至少有一点ξ1使G1(ξ1)=0，即F’(ξ1)=f(1)．又由F’(x)=f(x)+(x一1)f’(x)知F’(1)=f(1)．显然F’(x)=f(x)+(x一1)f’(x)在[1，ξ1]上满足罗尔定理条件．于是在(1，ξ1)内至少有一点ξ使F’;(ξ)=0，即在(1，2)内至少有一点ξ使F’’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、若=()．A、B、2C、3D、标准答案：C知识点解析：用变量代换求极限，令[*]，故选C项．6、设F(x)是f(x)的一个原函数，则=()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：故答案为B项．7、则k的值为()．A、1B、C、D、一2标准答案：B知识点解析：根据结论：8、下列无穷积分收敛的是()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：9、设y=f(x)为[a,b]士的连续函数，则曲线y=f(x)，x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形面积为()．A、∫abf(x)dxB、｜∫abf(x)dx｜C、∫ab(x)｜dxD、∫abf(x)dx标准答案：C知识点解析：对于在[a，b]上函数f(x)有时取正值，有时取负值，所以求面积时f(x)要带上绝对值．10、的间断点有()．A、一个B、两个C、三个D、0个标准答案：B知识点解析：其定义域为x≥3，间断点为x=4，x=5．四、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)11、函数y’’(0)=________．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设u=exysinx，=_________.标准答案：exy(ysinx+cosx)知识点解析：13、交换二次积分得∫01dx∫0xf(z，y)dy+∫12dx∫02-xf(x，y)dy=___________.标准答案：∫01dy∫y2-yf(x,y)dx知识点解析：暂无解析14、幂级数的收敛半径R=_________．标准答案：知识点解析：暂无解析五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、若f(x)在x=0处连续，求a，b，c.标准答案：因为f(x)在x=0处连续，所以f(0一0)一f(0+0)=f(0)，得：b=ce-4=1所以c=e4,b=1，a为任意实数．知识点解析：暂无解析16、求不定积分∫x2e-xdx．标准答案：∫x2e-xxdx=一∫x2d(e-x)=一x2e-x=+2∫dx=一x2e-x－2∫xd(ex)一一x2e-x一2xe-x一2e-x+C知识点解析：暂无解析17、求标准答案：知识点解析：暂无解析18、求函数哪一点上的切线与直线y=x成60°角?标准答案：设切线斜率为k2＜0，y=x→k1=1知识点解析：暂无解析19、u=f(x+y，x2，ysinx)，求标准答案：知识点解析：暂无解析20、求微分方程xy’一y=x2ex的通解．标准答案：原方程化为：知识点解析：暂无解析21、求级数的和数．标准答案：∴对上式两边求导得：对上式两边再次求导，得：于是，对上式两边取x=1，得知识点解析：暂无解析22、当k为何值时，广义积分收敛?当k为何值时，这个广义积分发散?又当k为何值时，广义积分取得最小值?标准答案：当k≠1时，即，当k＞1时，广义积分收敛；当k≤1时，广义积分发散．令f’(k)=0，得驻点但当k＜k0时，f’(k)＜0；当k＞k0时，f’(k)＞0，所以，当k=k0=时，广义积分取极小值，也就是最小值．知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第6套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、在直角坐标系的第一象限内作4x2+y2=1的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标。标准答案：根据题意画出图形：设切点为(x，y)=(x，)，由4x2+y2=1求导得：8x+2y=0，=，k==切线方程为y—=令x=0得y=+=令y=0得x=X+=则S(X)=求S(X)的最小值即求的最大值，令F(X)=则F′(X)=+X=0，解得X=唯一驻点．所以切点坐标为知识点解析：暂无解析2、某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是x，y(千件)，甲厂的月生产成本是C1=x2一2x+5(千元)，乙厂的月生产成本是C2=y2+2y+3(千元)。若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本。标准答案：本题为求函数z=f(x，y)=x2+y2一2x+2y+8在条件x+y一8=0下的条件极值。方法一：用拉格朗日乘数法总成本f(x，y)=x2+y2一2x+2y+8，约束条件φ(x，y)=x+y一8，作辅助函数F(x，y)=x2+y2一2x+2y+8+λ(x+y一8)，令，解得x=5，y=3，由于驻点(5，3)唯一，实际中确有最小值。所以当x=5千件，y=3千件时使总成本最小，最小成本为f(5，3)=38千元。方法二：化条件极值为无条件极值总成本为z=f(x，y)=x2+y2一2x+2y+8，约束条件x+y一8=0，将y=8一x代入f(x，y)中，得z=x2+(8一x)2一2x+2(8一x)+8=2x2一20x+88z′x=4x一20，令z′x=0，得x=5。因为z″xx4>0，所以x=5时z取极小值，又因为极值点唯一，所以x=5时，z取最小值，此时y=3，故x=5千件，y=3千件时，总成本最小，最小成本为：f(5，3)=38千元。知识点解析：暂无解析3、把一根长为a的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小。标准答案：设围成圆形的长度为x，面积设为S1，则围成正方形的长度为a一x，而面积记为S2，则S(x)=S1(x)+S2(x)=+=+，(0≤x≤a)S′(x)=+(x—a)=0，得x=所以x=时，圆形面积与正方形面积之和最小。知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、设f(x)在[a，b]上连续(a＜b)，且f(x)＞0，证明：=0标准答案：①令F(x)=根据积分上限函数的性质知，F(x)在[a，b]上连续且可导，又F(a)=+=＜0，(f(x)＞0)F(b)=+=＞0，(f(x)＞0)所以由零点定理知，方程F(x)=0在(a，b)内至少有一实根。②又F′(x)=f(x)+>0，于是F(x)在(a，b)内单调递增，F(x)在(a，b)内与x轴只有一个交点，即方程F(x)=0在(a，b)内只有一个实根，故由①、②知，方程+=0在(a，b)内有且仅有一个实根。知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、下列极限求解正确的是()。A、=1B、=1C、=eD、sin(2x+1)=0标准答案：D知识点解析：xlnx==0，=e—1，当x→0时，为有界函数，x为无穷小量，故其乘积也为无穷小。=0，=0，而sin(2x+1)有界，所以sin(2x+1)=0，故选D项。6、函数y=的单调减少区间为()。A、(一∞，+∞)B、(一∞，一1)U(一1，+∞)C、(0，+∞)D、(一∞，0)标准答案：B知识点解析：y′=<0(x≠一1)故区间为(一∞，一1)U(一1，+∞)，故选B项。7、定积分∫20|x一1|dx=()。A、0B、2C、一1D、1标准答案：D知识点解析：原式=∫10(1—x)dx+∫21(x—1)dx==1。8、设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线部分∫Lxdy一2ydx的值为()。A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，可表示为于是∫Lxdy—2ydx=dθ=π+=9、下列结论正确的是()。A、收敛B、收敛C、收敛D、收敛标准答案：A知识点解析：∵n→∞时，，即=1，又收敛，由比较判别法可知收敛。∵=1，而调和级数发散，所以发散。=2≠0，原式发散。不存在，原式发散。10、设f(x)=，则f′(x)=()。A、sinx4B、2xsinx2C、2xcosx2D、2xsinx4标准答案：D知识点解析：利用变上限积分求导法则，f′(x)=sinx4(x2)′=2xsinx4。四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)11、=_________。标准答案：e6知识点解析：12、设f(x)=在x=0处连续，则a=_________。标准答案：一1知识点解析：f(x)=f(0)=aa=—113、y=+1的水平渐近线是_________。标准答案：y=1知识点解析：=114、已知=1，则k的值为_________。标准答案：知识点解析：15、设曲线y=x2+x+2上点M处的斜率为一3，则点M的坐标是_________。标准答案：(一2，4)知识点解析：y′=2x+1=一3x=一2，代入到原方程得y=4。16、设向量a，b，令|a+b|=|a一b|，a={3，一5，8}，b={一1，1，z}，则z=_________。标准答案：1知识点解析：因为a+b={2，一4，8+z}，a—b={4，一6，8—2}，由|a+b|=|a—b|有，解得z=1。五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)17、求。标准答案：原式==e—1知识点解析：暂无解析18、已知z=arctan，求dz。标准答案：，dz==知识点解析：暂无解析19、已知∫xf(x)dx=arcsinx+C，求。标准答案：xf(x)=(arcsinx)′=，则f(x)=，=+C=+C知识点解析：暂无解析20、若函数y=y(x)是由参数方程所确定，求，。标准答案：由参数方程求导法则=知识点解析：暂无解析21、设y=f(x)满足y″—3y′+2y=2ex，其图形在(0，1)处与曲线y=x2—x+1在该点处切线重合，求f(x)表达式。标准答案：r2一3r+2=Or1=1，r2=2，所以y=C1ex+C2e2x，y″=Axex，则y″=A(1+x)ex，=A(2+x)ex，代入原方程得A(2+x)ex一3A(1+x)ex+2Axex=2ex，化简得A=一2，所以y*=2xex，所以y=C1e2x+C2e2x一2xex，则y′=C1ex+2C2e2x一2(1+x)ex根据已知条件，图像经过点(0，1)，所以有y(0)=1；又切线的斜率k=(2x一1)|x=0=一1，所以有y′(0)=一1，这样就得到了两个初始条件，分别代入得C1+C2=1，C1+2C2—2=一1，解得C1=1，C2=0，因此y=一ex一2xex。知识点解析：暂无解析22、求直线在平面x+y+2z一1=0上的投影线方程。标准答案：知识点解析：暂无解析23、求二重积分[1+x3一(x2+y2)]dxdy，其中D为x2+y2≤2ay。标准答案：由对称性知=0原式=(1—r2)rdr=dθ=(2a2sin2θ—4a4sin4θ)dθ=(2a2sin2θ—4a4sin4θ)dθ=4a2sin2θdθ—8a4sin4θdθ=4a2—8a4=πa2—πa4本题也可以这样做，[1+x3—(x2+y2)]dxdy=dxdy+x3dxdy—(x2+y2)dxdy=dxdy—(x2+y2)dxdy=πa2—r2.rdr=…=πa2—πa4这里的πa2就是积分区域的面积，即半径为a的圆的面积，这里x2+y2=2ayx2+(y—a)2=a2，即圆心为(0，a)，半径为a的圆。知识点解析：暂无解析24、将函数y=xlnx在x=1处展开为幂级数，并指出成立范围。标准答案：y=xlnx=(x一1)lnx+lnx=(x一1)ln(1+x一1)+ln(1+x一1)=(x一1)(x一1)n+1+(x一1)n+1=(x一1)n+2+(x一1)n+2+(x一1)=(x一1)+(x一1)n+2=(x一1)+(x一1)n+2=(x一1)+(x一1)n+2，又一1＜x—1≤1，所以0＜x≤2。注：一般来说，一个题目中用到两个幂级数展开公式的时候，需要把它们合并到一起。知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第7套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、已知三点：A(1，0，一1)，B(1，一2，0)，C(一1，2，一1)，(1)求；(2)求以A、B、C为顶点的三角形面积。标准答案：一4，知识点解析：(1)∵={0，一2，1}，={一2，2，0}，∴={0，一2，1}.{一2，2，0}=0—4+0=一4．(2)∵S△ABC=，又=={一2，一2，一4}，∴S△ABC==2、求由曲线y=，y=x2所围平面图形分别绕x轴、y轴旋转的旋转体的体积Vx和Vv。标准答案：，知识点解析：(1)画出平面图形x4+x2一2=0交点(一1，1)或(1，1)。(2)==(3)Vy==二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、设函数f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明在(a，b)内至少存在一点ε使得f′(ε)g(ε)+2f(ε)g′(ε)=0。标准答案：设F(x)=f(x)g2(x)，由题设条件知，F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，并且F(a)=F(b)=0，所以由罗尔中值定理得，在(a，b)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，即f′(ξ)g2(ξ)+2f(ξ)g(ξ)g′(ξ)=0，由于g(ξ)≠0，得f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)=0。知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、=1，则常数k等于()。A、1B、2C、4D、任意实数标准答案：B知识点解析：由题意可知，x=2时，x2—3x+k=0k=2。5、下列命题中正确的是()A、若x0是f(x)的极值点，则必有f′(x0)=0B、若f(x)在(a，b)内有极大值也有极小值，则极大值必大于极小值C、若f′(x0)=0，则x0必是f(x)的极值点D、若f(x)在点x0处可导，且点x0是f(x)的极值点，则必有f′(x0)=0标准答案：D知识点解析：根据极值存在的必要条件与充分条件。6、若x=2是函数y=x—ln的可导极值点，则常数a值为()。A、一1B、C、D、1标准答案：C知识点解析：y=x—=0由题意得f′(2)=0，可知a=。7、若y=arctanex，则dy=()。A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：8、=0是级数收敛的()条件。A、充分B、必要C、充分必要D、既非充分又非必要标准答案：B知识点解析：由级数收敛定义、性质可知答案为B项。9、设函数f(x)=x(x—1)(x—2)(x—3)，则方程f′(x)=0的实根个数为()。A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：由于f(x)是四次多项式，故f′(x)=0是三次方程，有3个实根。四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)10、如果f(x)=在x=0处连续，那么a=__________。标准答案：0知识点解析：=f(0)，那么a=0。11、设，则=___________。标准答案：tant知识点解析：===tant。12、点M(2，一3，4)到平面3x+2y+z+3=0的距离d=__________。标准答案：知识点解析：根据点M(x1，y1，z1)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=。13、设函数y=y(x)是由方程ex—ey一sin(xy)确定，则=__________。标准答案：1知识点解析：对方程两边求导得：ex一eyy′=cosxy.(y+xy′)，根据x的值求出y值，则可得出=1。14、函数f(x)=arctanx在[一1，1]上满足拉格朗日中值定理的点是=__________。标准答案：知识点解析：设点ε，根据拉格朗日定理，则此点满足f(1)—f(一1)=f′(ε)[1一(一1)]，所以点ε等于。15、交换积分次序f(x，y)dx=__________。标准答案：知识点解析：通过作图可得出结论。五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)16、求。标准答案：知识点解析：暂无解析17、求。标准答案：设arctanx=t，x=tant，则：I=dx=.sec2tdt=∫tantcost.etdt=∫etsintdt=∫sintdet=etsint—∫etcostdt=etsint—∫costdet=etsint—costet一∫etsintdt=etsint—costet一I则I=etsint—etcost+C，所以原式=+C知识点解析：暂无解析18、已知z=(x+y)exy，求dz。标准答案：因为=exy+(x+y)exy.y=(1+xy+y2)exy=(1+xy+x2)exy所以dz=(1+xy+y2)exydx+(1+xy+x2)exydy。知识点解析：暂无解析19、求。标准答案：=知识点解析：暂无解析20、求y′一(cosx)y=esinx满足y(0)=1的解。标准答案：这是一阶线性非齐次微分方程，其中P(x)=一cosx，Q(x)=esin。于是方程的通解为：y=e-∫p(x)dx[∫Q(x)e-∫p(x)dxdx+C]=e-∫(cosx)dx[∫esinxe∫(-cosx)dxdx+C]=esinx(∫esinxe-sinx+C)=esinx(x+C)．由y(0)=1，得C=1，故所求解为：y=esinx(x+1)知识点解析：暂无解析21、设z=xf(x2，xy)，其中f(u，v)的二阶偏导数存在，求、。标准答案：，=2x+x(+)=2x+2x3+x2知识点解析：暂无解析22、求函数y=x—ln(x+1)的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间。标准答案：①函数的定义域为(一1，+∞)；②∵y′=1一，令y′=0，得驻点x=0．又y″=>0，x∈(一1，+∞)，于是函数的曲线恒为凹的曲线弧，即凹区间为：(一1，+∞)；③又一10，函数递增，故函数单调递减区间为：(一1，0)；递增区间为：(0，+∞)；且函数在x=0处取得一极小值f(0)=0。知识点解析：暂无解析23、求幂级数的收敛域。标准答案：令x一5=t，则原式=，收敛半径为：R==1，当t=1时，级数发散；当t=一1时，级数收敛。所以级数的收敛域为[一1，1)，那么级数的收敛域为[4，6)。知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第8套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设函数y=f(x)满足方程xy’+y=x，且。(1)求f(x)；(2)求f(x)的单调增加区间。标准答案：解：(1)经整理得一阶线性微分方程知识点解析：暂无解析2、某公司年产量为x百台机床，总成本为C万元，其中固定成本为2万元，每产1百台增加1万元，市场上每年可销售此商品4百台，其销售总收入R(x)(单位：万元)是x的函数，问每年生产多少台利润最大?标准答案：解：设每年的产量为x百台时利润为y万元。令y’=0得x=3。计算y(0)=-2，y(3)=，y(4)=2。故每年生产3百台时利润最大为y(3)=万元。知识点解析：暂无解析3、若f(x)在x=0处连续，求k，a的值。标准答案：知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、证明曲线上任意一点的切线所截两坐标轴的截距之和等于a。(a>0)标准答案：证明：方程两端y对x求导有，所以，过点(x，y)的切线方程为Y－y＝(X-x)，这里(X，Y)为切线上点的流动坐标。令X=0得切线在y轴上的截距为Y=y+，令Y=0得切线在x轴上的截距为X=x+，所以两截距和为，故得证。知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、已知f(x)=2｜x｜，则f’(0)=()。A、2｜x｜ln2B、2xln2C、2-x1n2D、不存在标准答案：D知识点解析：暂无解析6、下列积分收敛的是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析7、下列极限中正确的是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析8、y=xx，则下列正确的是()。A、y’=xxx-1B、dy=xxlnxdxC、y’=xx(lnx+1)D、y’=xxdx标准答案：C知识点解析：暂无解析9、与平面x+y+z=1平行的直线方程是()。A、B、x-1=y-1=z-2C、D、z-2y+z=3标准答案：C知识点解析：暂无解析10、下列哪个结论是正确的()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)11、如果在x=0处连续，那么a＝＿＿＿＿＿＿。标准答案：0知识点解析：＝f(0)，那么a=0。12、设＝＿＿＿＿＿＿。标准答案：tant知识点解析：。13、点M(2，-3，4)到平面3x+2y+z+3=0的距离d＝＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：根据点M(x1，y1，z1，)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为。14、设函数y=y(x)是由方程ex-ey=sin(xy)确定，则＝＿＿＿＿＿＿。标准答案：1知识点解析：对方程两边求导得：ex－eyy’＝cosxy·xy’，根据x的值求出y值，则可得出y’｜x=1＝1。15、函数f(x)=arctanx在[-1，1]上满足拉格朗日中值定理的点是＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：设点ε，根据拉格朗日定理，则此点满足f(1)-f(-1)=f’(ε)[1-(-1)]，所以点ε等于。16、交换积分次序＝＿＿＿＿＿＿。标准答案：∫0edx∫0lnxf(x,y)dy知识点解析：通过作图可得出结论。五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)17、已知F(x)在0点连续，F(x)是f(x)+2sinx在0处的导数并且f(x)连续在0处导数为f’(0)=6，求。标准答案：解：=f’(0)+2=6+2=8。知识点解析：暂无解析18、计算。标准答案：解：原式=。知识点解析：暂无解析19、求。标准答案：解：令x=atant，dx=，当x=a时，t=。当x=+∞时，t=，所以原式。知识点解析：暂无解析20、设f(x)=x-cos2x，求f(x)的极值。标准答案：解：f’(x)=+2sin2x=0sin2x=则：2x=+kπ(k∈Z)。f”(x)=4cos2x，f”(+kπ)=4cos(+2kπ)=>0。故当x=+kπ时取得最小值，且。知识点解析：暂无解析21、求微分方程yy”－y’2＝0的通解。标准答案：解：设y’=p，则y”=，代入微分方程yy”-y’2=0得：=p2，即p=0或=p，由p=0得y=C1；由，所以(其中C1，C2为任意常数)，综上所述，。知识点解析：暂无解析22、若z=z(x，y)是由方程x2+y2+z2=3xyz所确定的隐函数，求。标准答案：解：根据方程x2+y2+z2=3xyz，两边对x求导：。知识点解析：暂无解析23、求的收敛半径和收敛域。标准答案：解：令y=2x+1，原级数=，Ry=1，。当y=1时，发散；当y=-1时，收敛，所以y的收敛区间为[-1，1)，相应的x的收敛区间为[-1，0)。知识点解析：暂无解析24、平面π通过直线，且垂直于平面x+2y+3z=1，求平面π的方程。标准答案：解：设π方程为(x-2y+z-1)+λ(2x-y+2z-1)=0，即：(1+2λ)x+(-2-λ)y+(1+2λ)z+(-1-λ)=0，那么n={1+2λ，-2-λ，1+2λ｝，由于π垂直于x+2y+3z=1，所以(1+2λ)+2(-2-λ)+3(1+2λ)=0λ=0，即平面π的方程为x-2y+z=1。知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第9套一