江苏省专转本（高等数学）模拟试卷3（共213题）

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷3（共9套）（共213题）江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第1套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、求的极值与单调区间．标准答案：(1)定义域x∈(一∞，+∞)(2)(3)可能的极值点令y’=0，得驻点y’不存在，得x=0(4)列表所以，函数在内单调增加，在内单调减少；函数在x=0点取到极大值y=0，在处取到极小值知识点解析：暂无解析2、已知曲线y=f(x)过原点且在点(x，y)处的切线斜率等于2x+y，求此曲线方程.标准答案：由题意得，y’=2x+y，y(0)=0，则变为求一阶线性非齐次微分方程特解，上式化为标准形式，y’一y=2x，代入求解公式，得y=edx(∫ex-dt2xdx+C)=ex(2∫xe-xdx+C)=ex(一2∫xde-x+C)一ex(-2xe-x+2∫e-xdx+C)=ex(-2xe-x一2e-x+C)=一2(x+1)+Cex．把y(0)=0代上式，可得C=2．所以上述微分方程特解为y=一2x-2+2ex，即为所求曲线方程．知识点解析：暂无解析3、某地域人口总数为50万，为在此地域推广某项新技术，先对其中1万人进行了培训，使其掌握此项新技术，并开始在此地域推广．设经过时间t，已掌握此新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为k(k＞0)，求x(t)．标准答案：令y=x(t)，由题意y’=ky(50—y)知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、证明曲线上任意一点的切线所截两坐标轴的截距之和等于a(a＞0)标准答案：方程两端y对x求导有所以过点(x，y)的切线方程为这里(x，y)为切线上点的流动坐标．令x=0得切线在y轴上的截距为令y=0得切线在x轴上的截距为所以两截距和为故得证．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、已知∫f(x)dx一e2x+C，则∫f(一x)dx=()．A、2e-2x+CB、C、一2e-2x+CD、标准答案：C知识点解析：原式两边分别求导得，f(x)=2e2x，再两边求导，得f’(x)=4e2x，则f’(一x)=4e-2t．∫f’(一x)dx=∫4e-2xdx=一2∫e2xd(一2x)=一2e-2x+C故选C项．6、在下列极限求解中，正确的是()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：7、下列级数中条件收敛的是()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：8、曲线y=x3-3x在开区间(0，1)内为()．A、单调上升，且上凹B、单调下降，且下凹C、单调上升，且下凹D、单调下降，且上凹标准答案：D知识点解析：当0＜x＜1时，y’=3x2一3＜0，y’’=6x＞0．曲线单调下降，且上凹，故选D项．9、若直线l与Ox平行，且与曲线y=x一ex相切，购点坐标为().A、(1，1)B、(-1，1)C、(0，一1)D、(0，1)标准答案：C知识点解析：根据题意得：y’=(1一ex)’=0→x=0，代入得y=一1．10、且f(x)在x=0处连续，则a的值为()．A、1B、0C、D、标准答案：C知识点解析：使用洛必达法则可知：根据f(x)在x=0处连续，可知四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)11、微分方程y’’+y=0满足y｜x=0=0，y’｜x=0=1的解是________________．标准答案：y=sinx知识点解析：y’’+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx．由题意得：C1=0，C2=1，所以方程的解为：y=sinx．12、若f’(2)=2，则=__________.标准答案：一12知识点解析：13、过点P(1，2，3)且与直线平行的直线方程为____________．标准答案：知识点解析：设所求的直线为l，其方向向量为，已知直线的方向向量取为n1×n2={1，一2，3)×{3，1，-2}={1，11，7}，因为两直线平行，故={1，11，7)直线方程为14、=____________.标准答案：0知识点解析：15、已知x→0时，a(1一coax)与xsinx是等级无穷小，则a=_____________．标准答案：2知识点解析：由题意，所以a=2．16、交换二重积分的次序：=___________.标准答案：知识点解析：通过作图可得出结论．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)17、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析18、求∫xln(1+2x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析19、将函数f(x)=xln(1+x)展开为x的幂函数(要求指出收敛区间)．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设，其中f(u)可导，求.标准答案：知识点解析：暂无解析21、求函数的间断点并判断其类型．标准答案：，故x=1是函数的间断点，且是第一类跳跃间断点。知识点解析：暂无解析22、求在[e，e2]上的最大值．标准答案：知识点解析：暂无解析23、求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于2x+y，并且曲线通过原点．标准答案：因为曲线在任一点的切线斜率等于2x+y，所以y’=2x+y，即p=一1，q=2x，则∫pdx=∫一dx=一x，∫qe∫pdxdx=∫2xe-xdx=-2∫xde(-x)=-2xe-x，其通解为y=e-∫pdx[∫qe∫pdxdx+C)=ex(-2xex－2e-x+C)=2x－2+Cex，又因为曲线通过原点y(0)=0，所以一2+C=0，即C=2，所以y=2ex+2x-2．知识点解析：暂无解析24、求微分方程满足初始条件y｜x=0=2，y’｜x=0=一1的特解．标准答案：所求方程属于y’’=f(y’，y)型，不包含x．令y’=p，两边对x求导，有原方程化为两边积分得ln(1+p2)=lny+lnC1所以1+p2=C1y．曲初始条件y(0)=2，y’(0)=-1确定C1=1，于是有1+p2=y或再注意y’(0)=一1，可知积分即得通解由初始条件y(0)=2，得C2=2，因此所求特解为知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第2套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、A点(1，1)为y=x2上一点，过点A的切线为l．求l，y=x2与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．49标准答案：设A点坐标为(x，x02)，由y’=2x，得切线方程为y—x02=2x0(x—x0)或由已知所以x0=1，过点A(1，1)的切线方程为2x—y一1=0．切线与x轴交点为于是知识点解析：暂无解析2、设函数f(x)=ax2+bx2+cx一9具有如下性质；(1)在点x=一1的左侧临近单调减少；(2)在点x=一1的右侧临近单调增加；(3)其图形在点(1，2)的两侧凹凸性发生改变．试确定a，b，c的值．标准答案：由题意，得f’(一1)=0，驻点为(一1，0)，f’’(1)=0，点(1，0)为拐点，f(1)=2，分别代入方程f’(x)=3ax2+2bx+c,f’’(x)=6ax+2b，f(x)=ax3+bx2+cx一9得解得a=一1，b=3，c=9．知识点解析：暂无解析3、已知某厂生产x件产品的成本为，产品产量x与价榴P之间的关系为：．求：(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品?(2)当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润．标准答案：(1)平均成本令得x=1000，由经济意义知平均成本有最小值且驻点唯一，故x=1000是最小值点，即当生产1000件产品时平均成本最小．由经济意义知利润有最大值且驻点唯一，故x=1600是最大值点．即当企业生产1600件产品时，可获最大利润．最大利润是L(1600)=167000(元)．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、证明：当｜x｜≤2时，｜3x—x3｜≤2．标准答案：令f(x)=3x—x2，x∈[一2，2]，f’(x)一3—3x2=0,x=±1，f(一1)=一2，f(1)=2，f(2)=一2，f(-2)=2；所以fmin=一2，fmin=2，故一2≤f(x)≤2，即｜3x—x3｜≤2．知识点解析：暂无解析5、已知f(x)有二阶连续导数，证明标准答案：知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、若x→0时，与xsinx是等价无穷小，则a=()．A、1B、一4D、3标准答案：B知识点解析：当x=0时，，xsinx~x2于是，根据题设有故a=一4．7、下列函数中，在[一1，1]上满足罗尔中值定理条件的是()．A、B、f(x)=x+5C、D、f(x)=x+1标准答案：A知识点解析：B、C和D不满足罗尔定理的f(a)=f(b)条件．8、设I=∫01dy∫02y(x，y)dx+∫13dy∫03-yf(x，y)dx，交换积分次序后I=()．A、∫03dx∫03-xf(x，y)dyB、∫02dx∫03-xf(x，y)dyC、D、标准答案：C知识点解析：通过图形得出结论．9、已知，则下列正确的是()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：10、xyy’=1，y(1)=1的解是()．A、xB、y2=2lnx+1C、y2=lnxD、y2=x标准答案：B知识点解析：又因为f(1)=1所以1=21n1+C，那么C=1．所以y2=2lnx+1.11、设为正项级数，如下说法正确的是()．A、若必收敛B、若必收敛C、若必定收敛D、若如果必定收敛标准答案：C知识点解析：选项A当u0取时，不对，排除．B选项。≤t＜∞不对，应是1＜1，必收敛，D仍然可用条件收敛，且是发散的，故排除，所以选C.四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)12、设f(x)=(x500一1)g(x)，其中g(x)在x=1处连续，g(1)=4，则f’(1)=___________．标准答案：2000知识点解析：13、y=y(x)由ln(x+y)=exy确定，则x=0处的切线方程为_____________．标准答案：y—e=(e2—1)x知识点解析：14、=_________。标准答案：知识点解析：15、=___________.标准答案：1知识点解析：16、若函数为连续函数，则a+b=_________．标准答案：1知识点解析：17、设函数y=2x2+ax+3在x=1处取得极小值，则a=___________．标准答案：一4知识点解析：由极值存在的必要条件知：y’｜x=0=0，即4+a=0，故a=一4．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、求的极限．标准答案：因为所以知识点解析：暂无解析19、求∫(2x一1)ln2xdx．标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算定积分标准答案：利用定积分换元法，被积函数中有知识点解析：暂无解析21、已知标准答案：知识点解析：暂无解析22、解常微分方程：标准答案：知识点解析：暂无解析23、将函数展开为x的幂级数,并指出收敛区间.标准答案：知识点解析：暂无解析24、求过点(1，2，3)且垂直于直线的平面方程．标准答案：由题意所求平面的法向量为：根据点法式，所求平面方程为2(x—1)+y(一2)一3(z一3)=0，即2x+y一3z+5=0．知识点解析：暂无解析25、如图所示，D为x2+y2≤a2与x≥0所围的区域，计算.标准答案：知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第3套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设曲线y=x2(0≤x≤1)，问t为何值时，图中的阴影部分面积S1与S2之和S1+S2最小．标准答案：当t=1／4时S1+S2最小(1)选择y为积分变量(2)S=S1+S2=∫0t(3)求极值S’(t)=-1令S’(t)=0，驻点t=1／4S’(t)=2．＞0t=1／4为极小值点，由单峰原理，也是最小值点∴当t=1／4时S1+S2最小．知识点解析：暂无解析2、已知|a|=，|b|=1，()=π／6，p=a+b，q=a-b的夹角()．标准答案：arccos(1)cos(p，q)=(2)∵|p|2=|a+b|2=(a+b)．(a+b)=|a|2+|b|2+2(c．b)=3+1+2=7，又|q|2=|a-b|2=(a-b)．(a-b)=|a|2+|b|2-2(a．b)=3+1-2=4-3=1，知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：对x＞0，则x2+≥12成立．标准答案：令f(x)=x2+，f’(x)=2x-=0，解得：x=2，故f(2)=4+8=12，f(+∞)=+∞，f(0+0)=+∞，fmin(x)=12，即x2+≥12．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、设(1-mx)1／x=e2，则m的值为()．A、1／2B、2C、-2D、-标准答案：C知识点解析：]-m=e-m=e2m=-2．5、当x→0时，在下列变量中为无穷小量的是()．A、ex-1B、C、(1+x)1／xD、标准答案：A知识点解析：选项A：(ex-1)=0；选项B：=1；选项C：(1+x)1／x=e；选项D：=1．6、∫14|x2-3x+2|dx的值为()．A、11／3B、29／6C、9／6D、-标准答案：B知识点解析：∫14|x2-3x+2|dx=∫12(-x2+3x-2)dx+∫24(x2-3x+2)dx=(-+2x)|24=29／6．7、下列说法不正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：un=ln=ln(n+1)-lnn，Sn=u1+u2+…+un=ln(n+1)，是收敛的，由比较审敛法知也收敛．由比值审敛法可知所给的级数是收敛的．8、在下面曲面中，为旋转抛物面的是()．A、x2+y2=z2B、x2+y2+2z2=1C、D、x2+y2=2x标准答案：C知识点解析：A项为圆锥面，B项为球面．9、设f(x，y)=+(y-1)ln(x2．y)，则f’x(x，1)=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：f(x，1)=1／x，故f’x(x，1)=四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)10、=2，则a=_______，b=_______．标准答案：-4，3知识点解析：=2并且x2+ax+b=0，所以a=-4，b=3．11、u=f(xy，x2+2y2)，其中f为可微函数，则=_______．标准答案：yf’1+2f’2知识点解析：令w=xy，v=x2+y2，则u=f(w，v)，=f’w(w，v)．y+f’v(w，v)．2x．12、已知函数f(x)=alnx+bx2+x在x=1与x=2处有极值，则a=_______，b=_______．标准答案：知识点解析：由题意可知：f’(x)=+2bx+1，f’(1)=0，f’(2)=013、a，b为两个非零矢量，λ为非零常数，若向量a+λb垂直于向量b，则λ等于_______．标准答案：知识点解析：a+λb垂直于向量b(a+λb)．b=0．14、已知f(cosx)=sin2x，则∫f(x-1)dx=_______．标准答案：-+x2+C知识点解析：f(cosx)=sin2x=1-cos2xf(x)=1-x2∫f(x-1)dx=∫[1-(x-1)2]dx=-+x2+C．15、已知f(x)=，f[φ(x)]=1-x，且φ(x)≥0，φ(x)的定义域为_______．标准答案：x≤0知识点解析：f[φ(x)]==1-x=eln(1-x)，所以φ(x)=，于是1-x≥1，即x≤0．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、设z=xy+x2f(y／x)，其中f(u)为可微函数，求标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：原式=∫(1+lnx)3／2+C．知识点解析：暂无解析20、已知曲线y=f(x)经过原点，并且在原点处的切线平行于直线2x+y-3=0，若f’(x)=3ax2+6，且f(x)在x=1处取得极值，试确定a，b的值，并求出函数y=f(x)的表达式．标准答案：由“过原点的切线平行于2x+y-3=0”，可知：f’(x)|x=0=(3ax2+b)|x=0=-2b=-2．“f(x)在x=1处取得极值”(连续、可导f’(x)|x=1=(3ax2+b)|x=1=0a=2／3∴f’(x)=2x2-2y=f(x)=∫(2x2-2)dx=x3-2x+C1，又y(0)=0，得C1=0x3-2x．知识点解析：暂无解析21、计算-xy]dσ，其中D：x2+y2≤1．标准答案：-xy)d6=∫02πdθ∫01[r-r2sinθcosθ]rdr．=∫02πdθ∫01r2dr-∫02πdθ∫01r3sinθcosθdr=r3sinθcosθ|01dθ=π．知识点解析：暂无解析22、求微分方程y"-2y’-3y=3x+1的通解．标准答案：对应齐次方程的特征方程为λ2-2λ-3=0，得λ1=-1，λ2=3．于是对应齐次方程的通解为=C1e-x+C2e3x(其中C1，C2是任意常数)．因为u=0不是特征根，所以可设方程的特解为y*=Ax+B，将其代入原方程，得A=-1，B=1／3，即y*=-x+故微分方程y"-2y’-3y=3x+1的通解为y=+y*=C1e-x+C2e3x-x+．(其中C1，C2是任意常数)．知识点解析：暂无解析23、判断级数的收敛区域．标准答案：因为=1，所以所给幂级数的收敛半径为R=1／ρ=1，收敛区间为(-1，1)当x=-1时，幂级数为P=1／2的P一级数，所以发散．当x=1时，幂级数为交错级数，且是收敛的．知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第4套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、在直角坐标系的第一象限内作4x2+y2=1的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标．标准答案：根据题意画出图形：设切点为(X，Y)=(X，)，由4x2+y2=1求导得：切线方程为y-(x-X)．令x=0得y=令y=0得x=X+所以切点坐标为知识点解析：暂无解析2、某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是x，y(千件)，甲厂的月生产成本是C1=x2-2x+5(千元)，乙厂的月生产成本是C2=y2+2y+3(千元)．若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本．标准答案：本题为求函数z=f(x，y)=x2+y2-2x+2y+8在条件x+y-8=0下的条件极值．(1)用拉格朗日乘数法总成本f(x，y)=x2+y2-2x+2y+8，约束条件φ(x，y)=x+y-8=0，作辅助函数F(x，y)=x2+y2-2x+2y+8+λ(x+y-8)．解得x=5，y=3．由于驻点(5，3)唯一，实际中确有最小值．所以当x=5千件，y=3千件时使总成本最小，最小成本为f(5，3)=38千元．(2)化条件极值为无条件极值总成本为z=f(x，y)=x2+y2-2x+2y+8，约束条件x+y-8=0，将y=8-x代入f(x，y)中，得z=x2+(8-x)2-2x+2(8-x)+8=2x2-20x+88z’x=4x-20，令z’x=0，得x=5．因为z"xx=4＞0，所以x=5时z取极小值，又因为极值点唯一，所以x=5时，z取最小值，此时y=3，故x=5千件，y=3千件时，总成本最小．最小成本为：f(5，3)=38千元．知识点解析：暂无解析3、把一根长为口的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小．标准答案：设围成圆形的长度为x，面积设为S1，则围成正方形的长度为a-x，而面积记为S2，则S(x)=S1(x)+S2(x)=π((0≤x≤a)．S’(x)=)＜0．所以x=时，圆形面积与正方形面积之和最小．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、证明：当-x2成立．标准答案：设f(x)=1-cosx-x2，则f’(x)=sinx-，令f’(x)=sinx-内解得x=0．由f"(0)=1-内的最小值是f(0)=0．故当-＜x＜π／2时，f(x)=1-cosx-x2≥0，即cosx≤1-x2．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、在下列的极限求解中，正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因为=0，而sin(x2+1)有界，所以原式=0．6、下列级数收敛的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选项A，很明显是一个发散级数(指数函数的增长速度高于幂函数增长速度)．B项用比较法通项，P≤1，发散，对于C，由于不存在，根据定义可知该级数发散，可排除．D项，根据莱布尼兹判别法，an=，an≥0，an单调下降，且an=0，收敛，故此级数条件收敛．7、设a=-i+j+2k，b=3i+4k，用b0表示b方向上的单位向量，则向量a在b上的投影为()．A、b0B、b0C、b0D、-b0标准答案：B知识点解析：根据矢量b在a上的投影公式proja(b)=a．8、设f(x)在x=x0处可导，，则f’(x0)=()．A、-4B、-2C、2D、4标准答案：B知识点解析：9、函数y=2xln-3的水平渐近线方程是()．A、y=1B、y=2C、y=3D、y=0标准答案：C知识点解析：=6．lne-3=6-3=3．10、下列不定积分计算正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)11、设函数f(x)=在点x=0处连续，则常数k=_______．标准答案：ln2知识点解析：由连续的定义，=ex=f(0)=2，所以k=ln2．12、若f(x)为可导的偶函数，则f’(0)=_______．标准答案：0知识点解析：(1)∵f(x)为偶函数，∴(-x)=f(x)．(2)∵f(x)可导，∴-f’(-x)=’(x)故-f’(0)=f’(0)，2f’(0)=0即f’(0)=0．13、设f(x)=-2∫01f(x)dx，则∫01f(x)dx=_______．标准答案：π／12知识点解析：令∫01f(x)dx=A，∫01f(x)dx=∫01dx-∫012AdxA=arctanx|01-2A，A=π／12．14、设a={m，3，-4)与b={2，m，3)互相垂直，则m=_______．标准答案：12／5知识点解析：∵a⊥b，∴．ab=0，2m+3m-12=0，故m=12／5．15、平面x-y+z+3=0与平面2x-2y+2z+3=0之间的距离d=_______．标准答案：知识点解析：16、设z=ln(1+)，则dz|(1，2)=_______．标准答案：知识点解析：五、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)17、标准答案：原式==e-1．知识点解析：暂无解析18、z=arctan，求dz．标准答案：知识点解析：暂无解析19、∫xf(x)dx=arcsinx+C，求∫标准答案：知识点解析：暂无解析20、若函数y=y(x)是由参数方程标准答案：由参数方程求导法则知识点解析：暂无解析21、设y=f(x)满足y"-3y’+2y=2ex，其图形在(0，1)处与曲线y=x2-x+1在该点处切线重合，求f(x)表达式．标准答案：r2-3r+2=0r1=1，r2=2，所以Y=C1ex+C2e2x，y*=Axex，则y*’=A(1+x)ex，y*"=A(2+x)ex，代入原方程得A(2+x)ex-3A(1+x)ex+2Axex=2ex，化简得A=-2．所以y*=2xex，所以y=C1ex+C2e2x-2xex，则y’=C1ex+2C2e2x-2(1+x)ex根据已知条件，图像经过点(0，1)，所以有y(0)=1；又切线的斜率k=(2x-1)|x=0=-1，所以有y’(0)=-1，这样就得到了两个初始条件，分别代入得C1+C2=1，C1+2C2-2=-1，解得C1=1，C2=0，因此y=ex-2xex．知识点解析：暂无解析22、求直线在平面x+y+2z-1=0上的投影线方程．标准答案：知识点解析：暂无解析23、求二重积分[1+x3-(x2+y2)]dxdy，其中D为x2+y2≤2ay．标准答案：由对称性知x3dxdy=0原式=∫0πdθ∫02asinθ(1-r2)rdr=∫0π()|02asinθdθ=∫0π(2a2sin2θ-4a4sin4θ)dθ=2∫0π／2(2a2sin2θ-4a4sin4θ)dθ=4a2∫0π／2sin2θdθ-8a4∫0π／2sin4θdθ=4a2．πa4．本题也可以这样做，[1+x3-(x2+y2)]dxdy=(x2+y2)dxdy=(x2+y2)dxdy=πa2-∫0πdθ∫02asinθr2．rdr=…=πa2-πa4．这里的πa2就是积分区域的面积，即半径为a的圆的面积，这里x2+y2=2ayx2+(y-a)2=a2，即圆心为(0，a)，半径为a的圆．知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第5套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、求曲线的切线方程及法平面方程．标准答案：该点为t=1时的对应点，所以过该点切线方程的方向向量为所求切线方程为：法平面方程为：即：2x一8y+16z一1=0．知识点解析：暂无解析2、从(0，0)作抛物线y=1+x2的切线，求：(1)由切线、抛物线所围成区域的面积；(2)上述图形绕y轴旋转所得的旋转体积．标准答案：设切点为(x0，1+x02)，k=y’=2x0，则切线方程y=2x0x，那么1+x02=2x02，所以x0=±1，即切线方程为y=±2x，知识点解析：暂无解析3、甲、乙两村合用一变压器(如图)，若两村用同样型号线架设输电线，问变压器设在输电干线何处时，用线最短?标准答案：设变压器所在地C距A处x公里，两村输电线总长为y，则移项，平方，整理得1.25x2+6x一9=0．解得x=1．2，由于驻点唯一(负值舍去)．故变压器放在距A地1．2km处，所需电线最短．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、证明函数f(x)=在x=0处连续，在x=0处不可导．标准答案：因为所以又f(0)=0，所以函数f(x)在x=0处连续．所以函数f(x)在x=0处不可导．知识点解析：暂无解析5、证明：当x＞一1时，标准答案：令F(x)=显然，F(x)在(0，+∞)上连续．由于F’(x)=故F(x)在(0，+∞)上单调递增，于是，当0＜x＜1时，F(x)＜F(1)=0，即又(x2—1)lnx＞(x-1)2，故(x2—1)lnx＞(x一1)2；当x≥1时，F(x)≥F(1)=0，即又x2一1≥0，故(x2—1)lnx≥(x一1)2．综上所述，当x＞0时，总有(x2—1)lnx≥(x一1)2．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：7、要使f(x)=在点x=0处连续，应给f(0)补充定义的数值是()．A、kmB、C、lnkmD、ekm标准答案：A知识点解析：∴f(0)=km，选A项．8、设f(x2)=x4+x2+1，则f’(1)=()．A、1B、3C、一1D、一3标准答案：C知识点解析：(1)∵f(x2)=(x2)2+x2+1，∴f(x)=x2+x+1．(2)f’(x)=2x+1，f’(一1)=一2+1=一1，选C项．9、已知f(x)=(x一3)(x一4)(x一5)，则f’(x)=0有()．A、一个实根B、两个实根C、三个实根D、无实根标准答案：B知识点解析：(1)∵f(x)在[3，4]连续在(3，4)，可导且f(3)=f(4)=0，∴f(x)在[3，4]满足罗尔定理条件，故有f’(ξ1)=0(3＜ξ1＜4)．(2)同理f(x)在[4，5]满足罗尔定理有f’(ξ2)=0，4＜ξ2＜5．综上所述，f’(x)=0在(3，5)至少有两个实根(3)f’(x)=0是一元二次方程，至多有两个根，故选B项．10、已知f(x)的一个原函数为cosx，g(x)的一个原函数为x2，则f[g(x)]的一个原函数为()．A、x2B、cos2xC、cosx2D、cosx标准答案：B知识点解析：(1)∵f(x)=(cosx)’=一sinx，g(x)=(x2)’=2x，∴f[g(x)]=一sin2x．(2)∵(cos2x)’=2cosx(-sinx)=一sin2x，∴选B项．11、设e-x是f(x)的一个原函数，则∫xf(x)dx=()．A、e-x(x+1)+CB、-e-x(x+1)+CC、e-x(1一x)+CD、e-x(x一1)+C标准答案：A知识点解析：∵F(x)=e-x，f(x)=F’(x)=一e-x，∴原式=∫xdF(x)=xF(x)-∫F(x)dx=xe-x一∫e-xdx=(x+1)e-x+C选A项．四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)12、设y=y(x)满足exy+sin(x2y)=y3，则y’(0)=_______．标准答案：知识点解析：x=0，y=1，exy(y+xy’)+cos(x2y)×(2xy+x2y’)=3y2y’代入得1+0=3y’(0)，所以y’(0)=13、设函数y=2x2+ax+3在x=1处取得极小值，则a=_______．标准答案：一4知识点解析：由极值存在的必要条件知：y’|x=1=0，即4+a=0，故a=一4．14、=_________.标准答案：1知识点解析：15、设则f’(1)=__________．标准答案：2知识点解析：16、曲线在点(1，1，1)处的切线方程为__________．标准答案：知识点解析：所给曲线的方程不是参数方程，曲线是空间两张曲面的交线．令y=t，则可将曲线的方程化为参数方程而点，所以，曲线在点t=1处的切向量为T=s={2，1，5}，故切线方程为．而法平面方程为2.(x-1)+1.(y-t)+5.(z-1)=0，即2x+y+5z-8=0．17、函数在点(1，2，3)处的全微分是___________．标准答案：一24dx+12dy+8ln2dz知识点解析：五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：设arctanx=t,x=tant，则：知识点解析：暂无解析20、z=(x+y)exy，求dz．标准答案：因为=exy+(x+y)exy.y=(1+xy+y2)exy所以dz=(1+xy+y2)exydx+(1+xy+x2)exydy．知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、求y’一(cosx)y=esinx满足y(0)=1的解．标准答案：这是一阶线性非齐次微分方程，其中P(x)=一cosx，Q(x)=esinx．于是方程的通解为：y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]=e-∫(-cosx)dx[∫esinxe∫(-cosx)dxdx+C]=esinx(∫esinxe-sinxdx+C)=esinx(x+C)．由y(0)=1，得C=1，故所求解为：y=esinx(x+1)．知识点解析：暂无解析23、设z=xf(x2，xy)，其中f(u，v)的二阶偏导数存在，求标准答案：知识点解析：暂无解析24、求函数y=x—ln(x+1)的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间．标准答案：①函数的定义域为(一1，+∞)；令y’=0，得驻点x=0．于是函数的曲线恒为凹的曲线弧，即凹区间为：(一1，+∞)；③又-1＜x＜0时，y’＜0，函数递减；0＜x＜+∞时，y’＞0，函数递增，故函数单调递减区间为：(一1，0)；递增区间为：(0，+∞)；且函数在x=0处取得一极小值f(0)=0．知识点解析：暂无解析25、求幂级数的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第6套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设函数g(x)=问g(x)是否有间断点、不可导点?若有请指出．标准答案：g(一1)=一1，∴g(x)在x=一1处连续．g(8)=2，∴g(x)在x=8处连续．∴x=一1是g(x)的不可导点．∴x=8是g(x)的可导点．于是知g(x)在(一∞，+∞)内连续，没有间断点；x=一1是g(x)的不可导点．知识点解析：暂无解析2、某厂生产某产品，年产量为x(百台)，总成本C(万元)，其中固定成本为2万元，每产1百台成本增加1万元，市场上每年可销售此种产品4百台，其销售总收入R(x)是x的函数，问每年生产多少台时总利润最大?标准答案：设销售量为x百台，c(x)=2+x，则利润函数计算L(0)=一2，L(3)==2．5，L(4)=2，L(+∞)=一∞．由此可得：Lmax=2．5=L(3)，所以每年生产3百台时总利润最大．知识点解析：暂无解析3、设有抛物线y=4x—x2，(1)抛物线上哪一点处的切线平行于x轴?写出该切线方程．(2)求由抛物线与其水平切线及y轴围成的平面图形面积．(3)求该平面图形绕轴旋转所成的旋转体体积．标准答案：y=4x一x2，y’=4—2x(1)要切线平行于x轴，令y’=4-2x=0，得x=2，代入y=4x一x2得y=4，故抛物线y=4x—x2上(2，4)处的切线平行于x轴，该切线方程为y=4．(2)由抛物线与其水平切线y=4及y轴围成的平面图形面积为(3)该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积为该平面图形绕y轴旋转所成的旋转体体积为知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、设f(x)在[a，b]上连续(a＜b)，且f(x)＞0．证明方程标准答案：根据积分上限函数的性质知，F(x)在[a，b]上连续且可导．所以由零点定理知，方程F(x)=0在(a，b)内至少有一实根．②又F’(x)=f(x)+＞0，于是F(x)在(a，b)内单调递增，F(x)在(a，b)内与x轴至少有一个交点，即方程F(x)=0在(a，b)内至少有一个实根．故由①、②知，方程在(a，b)内有且仅有一个实根．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、若则下列正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：6、下列函数在[一1，1]上满足罗尔定理条件的是()．A、y=exB、y=1+|x|C、y=1一x2D、标准答案：C知识点解析：逐一验证：对于A项，y=ex,e-1≠e，不满足f(一1)=f(1)，选项B，y=1+|x|，在x=0处不可导，不满足，D项y=．在x=0处不连续，故排除，选C项．7、．设f(x)=x(x2一12)(x2一22)…(x2一n2)，则f’(0)=()．A、(n!)2B、(一1)n(n!)2C、n!D、(一1)nn!标准答案：B知识点解析：令g(x)=(x2一12)(x2一22)…(x2一n2)f(x)=x.g(x)f’(x)=g(x)+xg’(x)f’(0)=g(0)+0=(一1)2(一2)2……(一n)2=(一1)n(n!)2选B项．8、设f(x)=alnx+bx3一3x在x=1，x=2取得极值，则a，b为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：∴a=3—2b．——①(2)∵f’(2)=0，a=6—8b，——②①一②得6b—3=0得代入①得a=2故a=2，答案选B项．9、设e-2x是f(x)的一个原函数，则A、2e-2xB、8e-2xC、一2e-2xD、4e-2x标准答案：D知识点解析：(2)∵F(x)=e-2x，∴f(x)=(e-2x)’=一2e-2x．(3)原式=一2(一2)e-2x=4e-2x选D项．10、若f(x)的一个原函数为ln2x，则∫xf’(x)dx=()．A、lnx—ln2x+CB、2lnx+ln2x+CC、2lnx—ln2x+CD、lnx+ln2x+C标准答案：C知识点解析：F(x)=ln2x，∫xf’(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx=2lnx-ln2x+C，选C项．四、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、设标准答案：exy(ysinx+cosx)知识点解析：=exy.ysinx+exy.cosx=exy(ysinx+cosx)．13、交换二次积分得∫01dx∫0xf(x,y)dy+∫12dx∫02-xf(x，y)dy=_______．标准答案：∫01dy∫y2-yf(x，y)dx知识点解析：暂无解析14、幂级数的收敛半径R=_______．标准答案：知识点解析：暂无解析五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、设y=xtanx，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析16、分析f(x)=的间断点，并指明其类型．标准答案：间断点为一1，1．f(一1一0)=一1，f(一1+0)=1，x=一1，第一类跳跃间断．f(1一0)=1，f(1+0)=一1，x=1，第一类跳跃间断．知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、设z=f(2x+3y，xy)其中f具有二阶连续偏导数，求标准答案：根据复合函数求偏导数法则，为方便表示令μ=2x+3y，v=xy，=2fμ’+yfv’。=2(fmn.3+fmn.x)+y(ymn.3mn.x)+fv’．因为二阶偏导在定义域内连续，所以fmn=fm"，合并得=6fmn+(2x+3y)fmn+xyfmn+fv’．知识点解析：暂无解析19、在一1和2之间求值C，使y=一x，y=2x，y=1+Cx所围图形面积最小．标准答案：三直线所围区域如图，设其面积为S(C)，则：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、求2yy’+2xy2=的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析22、计算二重积分其中D是第一象限内圆x2+y2=2x及直线y=0所围成的区域．标准答案：知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第7套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设函数y=f(x)满足方程xy’+y=x，且．(1)求f(x)；(2)求f(x)的单调增加区间．标准答案：(1)经整理得一阶线性微分方程知识点解析：暂无解析2、某公司年产量为x百台机床，总成本为C万元，其中固定成本为2万元，每产1百台增加1万元，市场上每年可销售此商品4百台，其销售总收入R(x)(单位：万元)是x的函数，问每年生产多少台利润最大?标准答案：设每年的产量为x百台时利润为y万元．故每年生产3百台时利润最大为万元．知识点解析：暂无解析3、若f(x)在x=0处连续，求k，a的值．标准答案：根据连续的条件：知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、证明：当｜x｜≤1时，则｜4x一x4｜≤5成立．标准答案：令f(x)=4x一x4，则f’(x)=4—4x3=0，x=1．所以f(一1)=一4—1=一5，f(1)=4—1=3．故fmax(x)=3，fmin(x)=一5，所以一5≤f(x)≤3．那么｜4x一x4｜≤5成立．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、已知f(x)=2|x|，则f’(0)=()．A、2|x|ln2B、2xln2C、2-xln2D、不存在标准答案：D知识点解析：暂无解析6、下列积分收敛的是()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：暂无解析7、下列极限中正确的是()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：暂无解析8、y=xx，则下列正确的是()．A、y’=xx-1B、dy=xxlnxdxC、y’=xx(lnx+1)D、y’=xxdx标准答案：C知识点解析：暂无解析9、与平面x+y+z=1平行的直线方程是()．A、B、x一1=y一1=z一2C、D、x一2y+z=3标准答案：C知识点解析：暂无解析10、下列哪个结论是正确的().A、收敛B、绝对收敛C、绝对收敛D、收敛标准答案：C知识点解析：暂无解析四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)11、=___________.标准答案：eε知识点解析：12、设在x=0处连续，则a=_____________．标准答案：一1知识点解析：13、的水平渐近线是_________．标准答案：y=1知识点解析：14、,则k的值为________．标准答案：知识点解析：15、设曲线y=x2+x+2上点M处的斜率为一3，则点M的坐标是_________．标准答案：(一2，4)知识点解析：y’=2x+1=一3→=x=一2，代入到原方程得y=4．16、设向量a，b，令｜a+b｜=｜a一b｜，a=(3，一5，8)，b={一1，1，z}．则z=__________．标准答案：1知识点解析：因为a+b={2，一4，8+z)，a一b={4，一6，8一z)，由｜a+b｜=｜a一b｜有五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)17、设函数y=y(x)由方程ex-ey=xy确定，求。标准答案：方程ex一ey=xy，两边对x求导数得ex一ey.y’=y+xy’，故知识点解析：暂无解析18、y=(1一x2)cosx，求y(n)．标准答案：y(n)=(1一x2)(cosx)2(n)+Cn1(1一x2)’(cosx)(n-1)，Cm2(1一x2)’’(cosx)(n-2)[*]知识点解析：19、求标准答案：设知识点解析：暂无解析20、计算定积分标准答案：设知识点解析：暂无解析21、计算标准答案：知识点解析：暂无解析22、求微分方程x2y’=xy—y2的通解．标准答案：将原方程变形为：则y’=P+xp’，代入原方程得：xp’=一p2，分离变量得，两边积分，得知识点解析：暂无解析23、z=f(x2一y2，xy)，求标准答案：知识点解析：暂无解析24、已知(1)f(x)在x=0处连续，求a；(2)求f’(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第8套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、已知三点：A(1，0，一1)，B(1，一2，0)，C(一1，2，一1)，(1)求；(2)求以A、B、C为顶点的三角形面积．标准答案：知识点解析：2、求由曲线，y=x2所围平面图形分别绕x轴、y轴旋转的体积Vx及Vy．标准答案：知识点解析：(1)画出平面图形二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明曲线上任意一点的切线所截两坐标轴的截距之和等于a．(a＞0)标准答案：方程两端y对x求导有所以过点(x，y)的切线方程为，这里(X，Y)为切线上点的流动坐标．令X=0得切线在y轴上的截距为令Y=0得切线在x轴上的截距为所以两截距和为故得证．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、设的收敛半径R为()．A、R=2B、R=1C、D、标准答案：D知识点解析：，当2x2＜1时级数收敛，所以故选D.5、设函数在x=0处可导，则a的取值范围是()．A、a=1B、a＞1C、0＜a＜1D、a≤0标准答案：B知识点解析：可以得出a＞0,，当a一1>0即a＞1时极限存在．故选B.6、设直线，则L1与L2的夹角为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：7、下列说法不正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：8、在下面曲面中，为旋转抛物面的是()．A、x2+y2=z2B、x2+y2+2z2=1C、D、x2+y2=2x标准答案：C知识点解析：A项为圆锥面，B项为球面．9、设f(x，y)=+(y一1)ln(x2.y)，则fx’(x，1)=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)10、标准答案：知识点解析：本题是考查幂指函数求极限，先把极限变形为此题是形如1∞型的不定式，可以利用两个重要极限公式的推广公式求解：11、函数f(x)=2x2一x+1在区间[一1，3]上满足拉格朗日中值定理的ξ=________．标准答案：ξ=1知识点解析：由已知可得f’(x)=4x一1，令4x一1=，解该方程即为满足拉格朗日定理的ξ=1．12、其中D为以点O(0，0)、A(1，0)、B(0，2)为顶点的三角形区域．标准答案：一1知识点解析：∫01xf’(x)dx=∫01xdf(x)=xf(x)|01一∫01f(x)dx=f(1)一3=2-3=一1．13、设f(x，y)=标准答案：知识点解析：14、交换二次积分次序标准答案：知识点解析：由原二次积分可知原函数的积分区域D如图a，显然原二次积分是按X一型看待的，现在我们按照Y一型看待，如图b，则原二次积分可以写成15、微分方程yy’+xey=0满足y|x=1=0的特解为_______．标准答案：知识点解析：分离变量得一ye-ydy=xdx，两边积分得∫-ye-ydy=∫xdx，解得(y+1)e-y=代入y|x=1=0，得即特解为(y+1)e-y=五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算：∫01xln(x+1)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求方程xy’+y一ex=0满足初始条件y|x=1=e的特解．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设其中f具有二阶连续偏导数，求标准答案：知识点解析：暂无解析21、求积分标准答案：知识点解析：暂无解析22、将函数y=cos2x展成关于x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析23、计算．其中D是由直线y=x，2y=x及x=1围成的区域．标准答案：积分区域D如图所示，从被积函数的特点知，该积分应化为“先对y积分，后对x积分”的二次积分．知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第9套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设z=f(yex，xy2)，其中f具有二阶连续导数，求.标准答案：令yex为第1变量，xy2为第2变量知识点解析：暂无解析2、求曲线的凹凸区间与拐点．标准答案：由上表可见，在区间(一∞，一1)和(0，1)内，曲线上凹，在区间(一1，0)和(1，+∞)内，曲线下凹，点(0，0)为拐点．知识点解析：暂无解析3、求由方程所确定的隐函数z=z(x，y)的全微分．标准答案：知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、设f(