2023-2024学年上海市东新区南汇中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2023-2024学年上海市东新区南汇中学高一（上）月考数学试卷（12月份）一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）函数恒过定点的坐标为．2．（3分）已知，则化简的结果是．3．（3分）函数的定义域为．4．（3分）若函数，，，则函数值域为．5．（3分）已知，实数的取值范围为．6．（3分）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的是．①；②；③；④；⑤（请填入全部正确的序号）7．（3分）记，那么．8．（3分）已知定义在上的奇函数在，上是减函数，若，则实数的取值范围是．9．（3分）已知函数满足：对任意非零实数，均有，则（3）．10．（3分）已知的定义域为，，则的定义域是．11．（3分）已知函数是定义在上的偶函数，令，若实数满足，则（a）（c）．12．（3分）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是．二、选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）已知，，“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件14．（3分）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是A． B． C． D．15．（3分）已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则的解集为A．，， B．，， C．， D．，，16．（3分）记，已知、均是定义在实数集上的函数，设，，有下列两个命题：①若函数、都是偶函数，则也是偶函数；②若函数、都是奇函数，则也是奇函数．则关于两个命题判断正确的是A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误三、解答题（17题8分，18、19题每题10分，20题12分，21题12分，共52分）17．（8分）设集合为函数的定义域，集合为函数的定义域，若，求实数的取值范围．18．（10分）已知函数，其中实数为常数．（1）若，解关于的方程；（2）若函数是奇函数，求实数的值．19．（10分）用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为，为药物进入人体时的速率，是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中为停药时的人体血药浓度．（Ⅰ）求出函数的解析式；（Ⅱ）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（保留小数点后一位，参考数据，20．（12分）已知函数的表达式为．（1）若，，，求函数的值域；（2）当，时，求函数的最小值（a）；（3）对于（2）中的函数（a），是否存在实数，，同时满足下列两个条件：；当（a）的定义域为，，其值域为，；若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数的定义域，若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数．（1）判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由；（2）若函数是定义在，上的“无奇”函数，求实数的取值范围；（3）若函数是“无奇”函数，求实数的取值范围．

参考答案一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）函数恒过定点的坐标为．解：函数且，令，得（1），可得它的图象恒过定点故答案为：．2．（3分）已知，则化简的结果是．解：．故答案为：．3．（3分）函数的定义域为，．解：令，得，所以函数的定义域为，．故答案为：，．4．（3分）若函数，，，则函数值域为．解：函数，，，因为函数在，上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值为，又（1），（2），所以的最大值为4，则的值域为．故答案为：．5．（3分）已知，实数的取值范围为．解：，，，故答案为：．6．（3分）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的是②⑤．①；②；③；④；⑤（请填入全部正确的序号）解：由于函数的定义域为，，故它的图像不可能关于原点成中心对称，故排除①；由于函数是上的增函数，且是奇函数，故它的图像关于原点成中心对称，故②满足条件；由于函数的定义域为，，故它的图像不可能关于原点成中心对称，故排除③；由于函数是上的减函数，故排除④；由于函数是上的增函数，且是奇函数，故它的图像关于原点成中心对称，故⑤满足条件，故答案为：③⑤．7．（3分）记，那么1．解：，则．故答案为：1．8．（3分）已知定义在上的奇函数在，上是减函数，若，则实数的取值范围是，．解：是奇函数，在，上是减函数，在上单调递减，，，即，，解得．故答案为：，．9．（3分）已知函数满足：对任意非零实数，均有，则（3）7．解：，取，则，即（3）．故答案为：7．10．（3分）已知的定义域为，，则的定义域是，．解：函数的定义域为，，，．在函数中，，．故答案为：，．11．（3分）已知函数是定义在上的偶函数，令，若实数满足，则（a）（c）2022．解：根据题意，若实数满足，则有，因为是定义在上的偶函数，所以，所以（a）（c）．故答案为：2022．12．（3分）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是，．解：令，解得，令，解得，因为函数的值域为，，又当时，，，则函数的最大值只能在时取，所以，且函数的最大值必须大于等于0，则，综上，实数的范围为，，故答案为：，．二、选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）已知，，“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解：但，若不是正数，则，没有意义，若，则根据对数函数在定义域内单调递增可知，是的必要不充分条件，故选：．14．（3分）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是A． B． C． D．解：根据题意，，令，有，与轴交点为，令，可得，解可得，即其图象与轴交点也为，由于且，则函数与坐标轴的交点都在正半轴上，排除、，当时，为减函数，的图象可以由的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，而在和上都是减函数，排除．故选：．15．（3分）已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则的解集为A．，， B．，， C．， D．，，解：任意的，有，则函数在上单调递增，函数为定义在上的奇函数，故函数在上单调递增，又因为，故（1），又，画出函数简图，如图所示：当时，，即，；当时，，即，；当时，不成立．综上所述：，，．故选：．16．（3分）记，已知、均是定义在实数集上的函数，设，，有下列两个命题：①若函数、都是偶函数，则也是偶函数；②若函数、都是奇函数，则也是奇函数．则关于两个命题判断正确的是A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误解：由题意得，①若函数、都是偶函数，则，也是偶函数，；②函数、都是奇函数，则显然不是上的奇函数．故选：．三、解答题（17题8分，18、19题每题10分，20题12分，21题12分，共52分）17．（8分）设集合为函数的定义域，集合为函数的定义域，若，求实数的取值范围．解：，，因为，所以，即，解得，故实数的取值范围为，．18．（10分）已知函数，其中实数为常数．（1）若，解关于的方程；（2）若函数是奇函数，求实数的值．解：（1）因为，则，解得，则，即，整理得，则，或，解得或．故方程的根为1或．（2）函数是奇函数，又的定义域为，则，解得；当时，，则，满足为奇函数，故．19．（10分）用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为，为药物进入人体时的速率，是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中为停药时的人体血药浓度．（Ⅰ）求出函数的解析式；（Ⅱ）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（保留小数点后一位，参考数据，解：（Ⅰ）令，则，由图象可知，图象经过，两点，则有，解得，所以；（Ⅱ）由题意可知，有治疗效果的浓度在4到15之间，所以浓度在15时为最迟停止注射时间，故，解得，浓度在从15时降到4时为最长间隔时间，故，即，两边同时取以2为底的对数，则有，即，所以，所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．20．（12分）已知函数的表达式为．（1）若，，，求函数的值域；（2）当，时，求函数的最小值（a）；（3）对于（2）中的函数（a），是否存在实数，，同时满足下列两个条件：；当（a）的定义域为，，其值域为，；若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．解：（1）当时，，，，，，则，，函数的值域为，；（2）令，，，即，则，①当时，则在，上单调递增，则；②当时，则在，上单调递减，在，上单调递增，则（a）（a）；③当时，则在，上单调递减，则（a）（3），综上所述，（a）；（3）假设满足题意的，存在，由（2）得（a），，（a），（a）在上是严格减函数，（a）在，上的值域为，，又（a）在，上的值域为，，则，，，又，则，又，则，与矛盾，故不存在满足条件的实数，．21．（12分）设函数的定义域，若对任