2021-2022学年山西省朔州市怀仁市第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年山西省朔州市怀仁市第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．在正方体中，底面的对角线交于点，且，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空间向量的减法可得结果.【详解】如下图所示：.故选：A.2．如果直线与直线垂直，那么的值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据两条直线垂直列方程，化简求得的值.【详解】由于直线与直线垂直，所以.故选：A3．在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于(

)A． B．0 C．3 D．0或3【答案】D【分析】根据等比中项和等差数列通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为d，∵，构成等比数列，∴，解得d＝0或3.故选：D.4．双曲线的渐近线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的性质得出渐近线方程.【详解】因为，所以双曲线的渐近线方程是故选：C5．若动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，则此动圆与直线（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】B【分析】根据题意得定点为抛物线的焦点，为准线，进而根据抛物线的定义判断即可.【详解】解：由题知，定点为抛物线的焦点，为准线，因为动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，所以根据抛物线的定义得动圆的圆心到直线的距离等于圆心到定点，即圆心到直线的距离等于动圆的半径，所以动圆与直线相切.故选：B6．正三棱柱各棱长均为为棱的中点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用点面距公式求得正确答案.【详解】设分别是的中点，根据正三棱柱的性质可知两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，.设平面的法向量为，则，故可设，所以点到平面的距离为.故选：C7．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数法判断其单调性即可.【详解】当时，，排除C选项；求导，令，得或，当或时，，当时，，所以在和上递增，在上递减，故选：B8．若直线被圆截得的弦长为4，则的最大值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根据弦长求得的关系式，结合基本不等式求得的最大值.【详解】圆的圆心为，半径为，所以直线过圆心，即，由于为正数，所以，当且仅当时，等号成立.故选：A9．下列求导运算错误的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【分析】根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则计算即可.【详解】，故A求导正确；，则，故B求导错误.，故C求导正确；，故D求导正确.故选：B.10．中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得A．78石 B．76石 C．75石 D．74石【答案】A【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差，再由等差数列的前n项和的，能求出甲应该分得78石，得到答案．【详解】由题意，今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，所以，所以，解得石．甲应该分得78石．故选A．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和基本量的运算，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．等差数列是递增数列，且公差为，满足，前项和为，下列选项错误的是（

）A． B．C．当时最小 D．时的最小值为【答案】C【分析】利用数列的单调性结合等差数列的定义可判断A选项；利用可得出、的等量关系，可判断B选项；求出，利用二次函数的基本性质可判断C选项；解不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，因为等差数列是递增数列，则，A对；对于B选项，因为，即，可得，B对；对于C选项，，所以，当或时，最小，C错；对于D选项，，因为，解得，故时的最小值为，D对.故选：C.12．将正方形沿对角线翻折，使平面与平面的夹角为，如下四个结论错误的是(

)A．B．是等边三角形C．直线与平面所成的角为D．与所成的角为【答案】C【分析】证明线面垂直，得到线线垂直判断①；求解三角形可得的形状判定②；求解线面角判断③；求解三角形，可得是等边三角形判断④．【详解】取中点，连结，，则，，平面AEC，平面，∴，故A正确；设折叠前正方形的边长为2，则，，平面平面，且平面平面，AE⊥BD，平面ABD，平面，∴，＝AD＝CD，即是等边三角形，故B正确；∵面，与平面所成的线面角的平面角是，故C错误；取中点，中点，连结，，，则，，为异面直线，所成的角，∵，，，是等边三角形，则，故D正确．故选：C．二、填空题13．在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为__________.【答案】【分析】由题知，进而根据向量数量积运算的坐标表示求解即可.【详解】解：因为向量，所以，所以故答案为：14．在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为__________.【答案】【分析】直线与椭圆相交，求交点，利用列式求解即可.【详解】联立方程得，因为，所以,即，所以，.故答案为：.15．已知函数，若递增数列满足，则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】根据的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于是递增数列，所以.所以的取值范围是.故答案为：16．数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设是方程的根，选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，则与轴交点的横坐标称为的一次近似值，在点处作曲线的切线.则与轴交点的横坐标称为的二次近似值.重复上述过程，用逐步逼近.若给定方程，取，则__________.【答案】【分析】根据牛顿迭代法的知识求得.【详解】构造函数，，切线的方程为，与轴交点的横坐标为.，所以切线的方程为，与轴交点的横坐标为.故答案为：三、解答题17．在平面直角坐标系中，已知.(1)求直线的方程；(2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合点斜式求得直线的方程.（2）设，根据已知条件列方程，化简求得的轨迹方程.【详解】(1)，于是直线的方程为，即(2)设动点，于是，代入坐标得，化简得，于是动点的轨迹方程为18．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.设数列的前项和为，且__________.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）若选①：根据，利用数列通项与前n项和的关系求解；若选②：构造利用等比数列的定义求解；（2）根据（1）得到，再利用错位相减法求解.【详解】(1)解:若选①：，当时，，当时，满足上式，故若选②：易得于是数列是以为首项，2为公比的等比数列，(2)若选①：由（1）得，从而，，作差得，于是若选②由（1）得，从而，，作差得，于是19．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.(1)若长为，把蒙古包的体积表示为的函数；(2)求蒙古包体积的最大值.【答案】(1)，其中.(2).【分析】（1）利用柱体和椎体体积公式求得的函数表达式.（2）利用导数求得体积的最大值.【详解】(1)正六边形的边长（0），底面积，于是，其中.(2)，，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，.综上，当时，蒙古包体积最大，且最大体积为.20．在长方体中，，点分别在上，且.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析.(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；（2）以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由面面角的空间向量求解方法可得答案.【详解】(1)证明：长方体中，平面，又平面，又平面，又平面同理可证，而平面，平面(2)解：以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.从而，，，由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，，则，从而，令，则，得平面的一个法向量为由图示得平面与平面所成的角为锐角，平面与平面所成的角的余弦值为21．已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积．【详解】（1）由已知得，，解得，又，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，由得，①设、的坐标分别为，（），中点为，则，，因为是等腰△的底边，所以．所以的斜率为，解得，此时方程①为．解得，，所以，，所以，此时，点到直线：的距离，所以△的面积．【解析】1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键．22．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.（1）求f(x)的极值点；（2）若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；（3）已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）极大值点为，极小值点为；（2）；（3）.【分析】（1）求导，讨论导函数的正负得出函数的单调性，根据函数的单调性可求得其极值点；（2）由（1）可知函数的单调性及极值，结合数形结合分析可得的范围；（3）由题意分离参数即在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，求出其在上的最小值即可得到答案.【详解】（1），令，得，当时，f′(x)>0，当，f′(x)<0，所以函数在上单