浙江省温州市文成县武阳书院高一下学期数学问卷5.12

武阳书院20232024学年高一数学问卷日期：5.12姓名：___________班级：___________一、单选题1．复数（其中为虚数单位）的共轭复数为（

）A． B． C． D．2．已知一个直三棱柱的高为，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的体积为（

）

A． B．2 C．4 D．53．从1，2，3，4，5中随机选取2个不同的数，则所选的2个数中恰好有1个数是质数的概率为（

）A． B． C． D．4．已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（

）A．若，且，则B．若，且，则C．若，，则D．若，，且，，则5．养鸡是农业养殖的一个重要组成部分，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速．如图为某小型养鸡场2017—2023年每年养鸡数量（单位：百只）的统计图：则该养鸡场这7年养鸡数量的第60百分位数是（

）A．45 B．60 C．80 D．856．已知在正四面体中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（

）A．B．C． D．8．如图，在直三棱柱中，，P为线段的中点，Q为线段（包括端点）上一点，则的面积的最大值为（

）

A． B． C．2 D．二、多选题（共18分，每个小题至少有两个选项，选对部分得部分分，有选错得0分）9．已知，为复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或10．甲、乙两社团各有3名男党员、3名女党员，从甲、乙两社团各随机选出1名党员参加宪法知识比赛．设事件为“从甲社团中选出的是男党员小凡”，事件为“从乙社团中选出的是男党员”，事件为“甲、乙两社团选出的都是男党员”，事件为“从甲、乙两社团中选出的是1名男党员和1名女党员”，则（

）A．与相互独立B．与相互独立C．与相互独立 D．与互斥11．如图所示，已知三棱锥的外接球的半径为为球心，为的外心，为线段的中点，若，则（

）A．线段的长度为2B．球心到平面的距离为2C．球心到直线的距离为D．直线与平面所成角的正弦值为三、填空题12．已知，，则向量在向量上的投影向量为.（用坐标表示）13．已知事件与事件相互独立，如果，，那么.14．已知在中，内角所对的边分别为，点是的重心，且，则角的大小为．四、解答题（13+15+15+17+17=77分）15．某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动.为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中抽取了100名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为，，，…，，九组，整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计样本数据的70%分位数；(2)据统计，在样本数据，，的会员中体检为“健康”的比例分别为，，，以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率.16．在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.问题：在中，角所对的边分别为，已知_________.(1)求；(2)若的外接圆半径为1，且，求.注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.17．如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点.(1)若平面平面，求点到平面的距离；(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.18．如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高．

(1)求四棱台的表面积；(2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台.①求削去部分与圆台的体积之比；②先将整个铁料圆台融化（不考虑损耗），再将全部铁水凝固成一个圆柱，当圆柱的底面半径为何值时，圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和最小.19．甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4，各场比赛相互独立，且无平局．记事件A为甲队和乙队比赛甲队输，事件B为甲队和乙队比赛乙队输，事件C为甲队和丙队比赛甲队输，事件D为乙队和丙队比赛乙队输，事件E为甲队和丙队比赛丙队输，事件F为乙队和丙队比赛丙队输．(1)求“乙队连胜四场”的概率；(2)写出用A，B，C，D，E，F表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；(3)求“需要进行第五场比赛”的概率．参考答案：1．B【分析】先对复数化简，再根据共轭复数的概念求解.【详解】，所以复数的共轭复数为.故选：B.2．C【分析】依题意画出底面的平面图形，从而求出，再根据柱体的体积公式计算可得.【详解】依题意可得底面的平面图形如下所示：

其中，，所以此三棱柱的底面积为，因为该三棱柱的高为，所以此三棱柱的体积.故选：C.3．C【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意知，数字1，2，3，4，5中共有3个质数，分别是2，3，4，从1，2，3，4，5中随机选取2个数的所有基本事件有：，共10个，其中恰好有1个数是质数的基本事件有，，共6个，所以所求概率为.故选：C．4．A【分析】根据线面位置关系中平行的有关判定和性质逐一判断即可.【详解】对于A，由面面平行的定义可知，若两个平面平行，则其中一个面内的任意一条直线平行于另一个平面，故A正确；对于B，若则或，故B错误；对于C，若，，则或异面或相交，故C错误；对于D，若，且，则，或，故D错误，故选：A.5．C【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】将样本数据从小到大排列为44，45，60，60，80，85，110．因为，所以第60百分位数是第5个数，即80，故选：C6．C【分析】根据给定条件，作出异面直线CM与AD所成角，再在三角形中求解即得.【详解】设正四面体的棱长为2，取BD的中点N，连接MN，CN，如图，

由M是AB的中点，得，则是CM与AD所成的角或其补角，显然，取MN的中点E，连接CE，则，在中，，因此，所以直线CM与AD所成角的余弦值为.故选：C7．C【分析】根据平均数与方差的定义判断．【详解】因为，因此平均数不变，即，设其他48个数据依次为，因此，，，所以，故选：C．8．A【分析】如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得，确定的最大值，即可求解△BCQ面积的最大值.【详解】取AB的中点E，连接CE，过Q作，垂足为M，过M作，垂足为N，连接QN，PE，

则，且，点E到BC的距离为.由直三棱柱的性质知平面ABC，所以平面ABC，MN，平面ABC，则，，且，QM，平面QMN，所以平面QMN，且平面QMN，则，可知，当且仅当点Q与点P重合时，等号成立，所以面积的最大值为.故选：A.9．AC【分析】根据共轭复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可.【详解】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；B：取，，满足，但，故本选项错误；C：设，，，由，得，即，，所以，即，故本选项正确；D：取，，则，，此时且，故D不正确．故选：AC10．ACD【分析】根据相互独立事件及互斥事件的定义判断即可.【详解】由题意可得，，，.因为，所以与相互独立，故A正确；因为，所以与不相互独立，故B错误；因为，所以与相互独立，故C正确；因为，所以与互斥，故D正确.故选：ACD11．ACD【分析】对于ABC，根据三棱锥外接球的概念、结构特征和球的截面性质以及已知条件研究判断即可；对于D，根据球的截面性质找到直线与平面所成的角即可计算求解.【详解】对于A，在中，为的外心，，则，故A正确；对于B、C，连接，，，则由三棱锥的外接球的半径为3以及球的截面性质可得：球心到平面的距离为，故B错误；由为的中点，知，，所以，故正确；由球的截面性质平面平面，所以，且为在面DAB上的射影，所以为直线与平面所成角，且中，，故D正确.故选：ACD.12．【分析】根据投影向量的公式计算即可.【详解】向量在向量上的投影向量为.故答案为：.13．/【分析】根据事件独立可得概率之间的关系，从而可求.【详解】由题意知：，因为事件与事件相互独立，故，又，故，.故答案为：14．【分析】根据重心性质可得，代入已知，结合平面向量基本定理可得，然后由余弦定理可解.【详解】记的中点分别为，则，由重心性质可知，，所以，所以，即，由平面向量基本定理可知，即，所以，，因为，所以.故答案为：

15．(1)14.5(2)0.38【分析】（1）根据频率分布直方图和总体百分位数的定义直接求解即可.（2）设任取的会员数据在，，中分别为事件，，，先求出对应概率，即可求解体检为“健康”的概率.【详解】（1）解：（1）由于在的样本数据比例为：∴样本数据的70%分位数在内∴估计为：.（2）（2）设任取的会员数据在，，中分别为事件，，，∴，，设事件在该地区工会会员中任取一人体检为“健康”.16．(1)；(2).【分析】（1）选择条件①根据余弦定理边角互化可求解，选择条件②根据正弦定理边化角结合三角恒等变换求解；（2）根据余弦的和差角公式可得，进而利用正弦定理可得，，由余弦定理即可求解.【详解】（1）选择条件①：因为，在中，由余弦定理可得，化简得，由余弦定理可得，因为，所以.选择条件②：因为，由正弦定理得，.即，则，因为，，所以，因为，所以.（2）因为，所以，即，即，又因为，所以.由于的外接圆半径为，由正弦定理可得，可得，所以，由余弦定理可得，所以.17．(1)；(2)【分析】（1）利用等体积法求解点到平面的距离；（2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，结合余弦值得出，利用勾股定理可得答案.【详解】（1）连接，则，平面平面，平面平面＝AC，平面，平面，又平面，，又正方形的边长为，，，设点到平面的距离为，则，，，即点到平面的距离；（2）取的中点，连接，，，，，为二面角的平面角，，由题可知与全等，在中，，，，，，.18．(1)(2)①；②【分析】（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积；（2）①最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可得到削去部分，从而得到体积之比；②设圆柱的底面半径为，高为，根据体积相等得到，即，再表示出底面周长与侧面积，最后利用基本不等式计算可得.【详解】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取中点，连接，过点作，交于点.则，所以，所以四棱台的表面积.

（2）①若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高.则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，高，则圆台的体积为．又正四棱台的体积，所以削去部分的体积，所以削去部分与圆台的体积之比为；②设圆柱的底面半径为，高为，则，即，所以，所以圆柱的底面周长，侧面积，则圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和为，当且仅当，即时取等号，所以当圆柱的底面半径为时，圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和最小.19．(1)0.04(2)BEBE，AFAF，ADCD和BCDC；(3)【分析】（1）确定“乙队连胜四场”的事件为，根据相互独立事件的概率计