2.3一元二次不等式课件高一上学期数学

第2章一元二次函数、方程和不等式2.3一元二次不等式湘教版

数学

必修第一

册课标要求1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,理解一元二次不等式的现实意义.2.能够借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函数的图象,理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有

未知数,并且未知数的最高次数是

的不等式,称为一元二次不等式.

(2)形式:①ax2+bx+c>0(a≠0); ②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0); ④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.解集用集合、区间表示一个2名师点睛1.一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+<0就不是一元二次不等式.3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念.(1)如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式;(2)将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形.过关自诊1.已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④

>0.其中是一元二次不等式的个数为(

)A.1 B.2

C.3

D.42.从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?提示

它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.A知识点二一元二次不等式的解法二次函数与一元二次方程的解、不等式的解集的对应关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=没有实数根y=ax2+bx+c(a>0)的图象

ax2+bx+c>0(a>0)的解集

(-∞,+∞)ax2+bx+c<0(a>0)的解集

(-∞,x1)∪(x2,+∞)(x1,x2)⌀⌀过关自诊1.不等式x2-2x-3<0的解集为

.

(-1,3)解析

方程x2-2x-3=0的解是x1=-1,x2=3.因为对应函数的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为(-1,3).2.求关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0的解集,其中a是常数.解

依题意知方程x2+(1-a)x-a=0的实数根为x1=-1,x2=a,且一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象是开口向上的抛物线.(1)当a<-1时,如图1,一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(a,0)与(-1,0).所以原不等式的解集为(a,-1).(2)当a=-1时,如图2,一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴只有一个交点(-1,0).所以原不等式的解集为⌀.图1图2(3)当a>-1时,如图3,一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(-1,0)与(a,0).所以原不等式的解集为(-1,a).图3综上所述,当a<-1时,原不等式的解集为(a,-1);当a=-1时,原不等式的解集为⌀;当a>-1时,原不等式的解集为(-1,a).重难探究·能力素养速提升探究点一一元二次不等式的求解【例1】

解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)x2-2x+2>0.解

不等式可化为3x2-6x+2<0.因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,解

因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.规律方法

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.变式训练1解下列不等式.(1)4x2-20x<-25;解

不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.(2)(x-3)(x-7)<0;解

由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.

解

不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.探究点二已知不等式的解集求参数值【例2】

已知函数y=ax2+2bx-c(a>0)的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,求不等式cx2+2bx-a<0的解集.解

因为函数y=ax2+2bx-c(a>0)的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,所以2和6是方程ax2+2bx-c=0的两个实数根,规律方法

1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),当a>0时,其解集是{x|x<x1,或x>x2},当a<0时,其解集是{x|x1<x<x2}.变式训练2关于x的不等式(ax-b)(x+3)<0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),求关于x的不等式ax+b>0的解集.解

由题意可得a<0,且1,-3是方程(ax-b)(x+3)=0的两根,∴x=1为方程ax-b=0的根,∴a=b,则不等式ax+b>0可化为x+1<0,即x<-1,∴不等式ax+b>0的解集为(-∞,-1).探究点三一元二次不等式的实际应用【例3】

行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫作刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系:s=

(n为常数,且n∈N).做了两次刹车实验,有关实验数据如图所示,其中(1)求n的值;(2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少?解得-84≤v≤60.因为v≥0,所以0≤v≤60,即行驶的最大速度为60

km/h.变式探究本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65m,试问该车是否超速行驶?解得v≥90或v≤-114.由于v≥0,所以速度v≥90>80,因此该车超速行驶.规律方法

用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤(1)理解题意,搞清量与量之间的关系.(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.(3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.学以致用·随堂检测促达标1234561.不等式2x2-7x+3>0的解集为(

)D1234562.关于x的不等式x2-ax+1>0的解集是R,则实数a的取值范围为(

)A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-2,2)D.[-2,2]C解析

由已知可得不等式x2-ax+1>0在R上恒成立,则只需Δ=a2-4<0,解得-2<a<2,所以实数a的取值范围为(-2,2).故选C.1234563.(多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(

)A.a<0 B.c<0

C.a-b+c>0 D.a+b+c>0AD123456又a<0,所以b>0,c>0,故B错误;由题意可知a+b+c>0,a-b+c<0,故D正确,C错误.故选AD.1234564.[2024甘肃陇南高二校考期末]若不等式ax2+bx-2<0的解集为(-4,1),则a+b等于

.

2解析

∵不等式ax2+bx-2<0的解集为(-4,1),∴a>0且-4和1是方程ax