函数的奇偶性对称性和周期性课件高三数学一轮复习

函数的奇偶性、对称性和周期性专题训练2024/9/11北师大芜湖附校高三数学备课组知识要点知识点1.函数奇偶性：

f(－x)＝f(x)1.奇偶性：

f(x)为偶函数函数f(x)的定义域为D，f(－x)＝－f(x)f(x)为奇函数图象特点：关于y轴对称关于原点对称(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.(1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数．∀x∈D，都有－x∈D判断函数的奇偶性定义域优先f(x)－f(－x)＝0－①定义法f(x)＋f(－x)＝0偶奇两个必备条件－②图象法知识要点2.常见奇偶函数模型：

①函数

或②函数

③函数

或④函数

或奇函数④常数函数

偶函数③函数

类型函数②函数

①函数

知识要点知识点2.函数周期性：

1.周期函数：f(x＋T)＝f(x)定义域为D，∀x∈D都有x＋T∈D，∃非零常数T，2.最小正周期：3.函数的周期性常用结论:(a,b是不为0的常数)(1)

f(x+a)=f(x)，

(2)

f(x+a)=f(x−a)，

(3)

f(x+a)=

−

f(x)，

(6)

f(x+a)=

f(x+b)，

(4)

f(x+a)=

，

(5)

f(x+a)=

−

，

f(a+x)=f(a−x)T=a；T=2a；T=2a；

T=|a-b|(a≠b).f(

x+2a

)=f(x)x

=

a对称f(2a+x)=f(−x)f(2a−x)=f(x)探究新知知识点3.函数对称性：

1.结论：

(1)

f

(a+x)=

f

(b-x)，特别：

f

(a+x)=

−

f

(b-x)，(2)f(a+x)+f(b-x)=c，2．函数的的对称性与周期性的关系(3)f

(x)图象有一条对称轴x

=

a,一个对称中心(b,c)，

(1)f

(x)图象有两条对称轴x

=

a，x

=

b，

(2)f

(x)图象有两个对称中心(a,c)，(b,c)，

双对称⇒周期性

T=2|a-b|(a≠b)；

T=2|a-b|(a≠b)；

T=4|a-b|(a≠b).特别：

f

(a+x)=

f

(a-x)，y=

f

(x)的图象关于直线

对称.关于直线

x=a

对称.关于点对称关于点对称.关系式题型突破题型01函数奇偶性的判断

解析：y＝xsinx的定义域为R关于原点对称，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)例1(多选)下列命题中正确的是()A．奇函数的图象一定过坐标原点B．函数y＝xsinx是偶函数C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数D．函数y＝

是奇函数BC题型突破【类题演练1】（2024·湖北武汉·模拟预测）函数

是（

）A．偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增

B．偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递减C．奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增

D．既不是奇函数，也不是偶函数【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性.【详解】f(x)的定义域为R，当x>0时，∴f(x)为偶函数；在区间(0,+∞)上单调递增.故选：A.A题型突破【类题演练2】（2024·河南·模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y满足f(x+y)+f(x－y)=f(x)f(y)，且f(1)=1，则下列结论错误的是（

）A．f(0)=2B．f(x)为偶函数C．f(x)为奇函数D．f(2)=－1【分析】由条件等式通过取特殊值求f(0),f(2)，由此判断A,D，再取特殊值确定f(x)，f(－x)的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C.【详解】∵

，取x=1，y=0可得f(1)+f(1)=f(1)f(0)，又f(1)=1，∴f(0)=2，A对；取x=0，y=－x可得f(x)+f(－x)=f(0)f(x)，又f(0)=2，∴f(－x)=f(x)，∴f(x)为偶函数，C错，B对；故选：C.取x=1，y=1可得f(2)+f(0)=f(1)f(1)，又f(1)=1，f(0)=2，∴f(2)=－1，D对；C例2（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若

为偶函数，则a＝（

）

A．1

B．0

C．－1

D．2题型突破题型02函数奇偶性的应用

A【分析】由已知f(x)为偶函数，可得f(x)=f(－x)，列方程求解即可.解得a＝1.故选：A.【详解】由

，得

，∵f(x)为偶函数，∴f(－x)=f(x)，即

，∴【类题演练】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数

是定义在区间(a,b)上的奇函数，则实数b的取值范围是（

）A．(0，9]

B．(0，3]C．

D．题型突破【分析】根据f(x)是奇函数求出的m值，再求出f(x)的定义域即可求出b的取值范围.∵f(x)是定义在区间(a,b)上的奇函数，故选：D.D【详解】∵

,∴

即

∵m>0∴∴

f(－x)=－f(x)，即∴解得m＝－3（舍）或m＝3∴∴题型突破例3（2024·江西景德镇·三模）已知函数

是奇函数，则当x>0时，g(x)的解析式为（

）

A．

B．

C．

D．C【分析】设x>0，利用x<0时，

和f(－x)=－f(x)可求得g(x)的解析式.【详解】设x>0，则－x<0，∴

，又f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)，即

，即故选：C【类题演练】（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且满足f(x)+g(x)=ex+x，则g(x)=（

）

A．

B．

C．

D．题型突破B【分析】由题意得

，由函数的奇偶性可得

，解之即可求解.【详解】由题意知，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则∴

即解得题型突破【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.故选：C例4（2024·山西·三模）设函数

，则不等式

f(x－2)≥f(2x+2)的解集为（

）A．[－4,0]B．[－4,0)C．[－4,－1)∪(－1,0] D．[－4,－1)∪(－1,0)【详解】f(x)的定义域为

，且∴f(x)为偶函数，当x>0时，∵

与

在(0,+∞)上单调递增，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，原不等式等价于

，∴解得

或

C题型突破【类题演练1】（2024·湖南永州·三模）已知函数

，其中e是自然对数的底数.若

，则实数

t的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．C【分析】求导后结合基本不等式可得f(x)在R上单调递增，令g(x)=f(x)－2，从而可得g(x)在R上单调递增，且g(x)为奇函数，从而可化为

，求解即可.【详解】令g(x)=f(x)－2，∴f(x)在R上单调递增，∴g(x)为奇函数，∵∴g(x)在R上单调递增，∴

化为解得故选：C题型突破【分析】根据图象经过点(2,8)得到解析式，再由单调性和奇偶性化简不等式求解.【类题演练2】（2024·安徽安庆·三模）已知函数

图象经过点(2,8)，则关于x的不等式

的解集为（

）

A．(－∞,－4)∪

(1,+∞)

B．(－4,1)C．(－∞,－1)∪

(4,+∞)D．(－1,4)【详解】由题意知f(2)=4a

=8，解得a

=2，∴

，∴f(x)在R上单调递增，且为奇函数，∵∴

化为∴解得

或故选：CC例5（2024·云南昆明·一模）已知函数

，则下列说法正确的是（

）

A．f(x)为增函数

B．f(x)有两个零点

C．f(x)的最大值为2e

D．f(x)的图象关于直线x

=1对称题型突破题型03函数的对称性

D【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合选项依次计算，即可求解.故选：D.∴f(x)的图象关于直线x

=1对称，故D正确；【详解】

令,得x=1，当x<1时，

，当x>1时，

，∴f(x)在(－∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，故A错误；∴f(x)函数在R上没有零点，故B，C错误；∵f(x)min=f(1)=2e>0∵题型突破【类题演练】（2023·四川泸州·一模）函数

的对称中心为

．(1,1)【分析】依题意得

，再根据幂函数的性质及函数的平移变换判断即可.【详解】

图象

图象向右平移1个单位向上平移1个单位关于原点(0,0)对称关于点(1,1)对称

图象

题型突破故选：A例6（2024·江西·二模）已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0，f(3x)=4f(x)且f(1－x)+f(x)=2，则

（

）

A．

B．

C．

D．A【分析】根据题意，可得f(x)关于

对称，进一步求得f(1)=2，结合条件求得

，可求得

.【详解】由f(1－x)+f(x)=2，可知f(x)关于点

对称，又f(0)=0，则f(1)=2，

又f(3x)=4f(x)，得题型突破【类题演练1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知

y=f(x+1)+1为奇函数，则f(－1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=（

）

A．6

B．5

C．－6D．－5【分析】根据奇函数性质对函数

y=f(x+1)+1依次赋值

x=0,1,2即可求解.【详解】由题y=f(x+1)+1为奇函数，则f(－x+1)+1=－f(x+1)－1，

f(x)图象

y=f(x+1)+1图象向左平移1个单位向上平移1个单位关于点(1,－1)对称关于原点(0,0)对称∴f(－x+1)+f(x+1)=－

2∴f(－1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=[f(－1)+f(3)]+[f(0)+f(2)]+f(1)=－2－2－1=－5∴f(x)关于点(1,－1)对称?另解：故选：DD∴f(－x+1)+f(x+1)=－

2题型突破【分析】根据函数解析式，计算f(x)+f(2－x)=4，推得函数图象关于点(1,2)成中心对称，由此利用函数的对称性，即可求得答案.【详解】由题意函数，定义域为，图象关于点(1,2)对称.【类题演练2】若函数

，则

的值为（

）A．2022 B．4042 C．4044 D．8084故选：DD∴f(x)+f(2－x)=4例7（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知直线x

=1是函数f(x)图象的对称轴，则函数f(x)的解析式可以是（

）

A．

B．

C．

D．题型突破A故D错误.【分析】根据函数图象的平移变换即可判断AB；令

，即可判断C；根据

即可判断D.

图象

图象向右平移1个单位把x轴下方的图象翻折到轴上方关于直线x

=1对称C【详解】向右平移1个单位关于直线x

=1对称图象

图象

偶函数关于y轴(x

=0)对称B令

x

=k,k∈Zx

=1符合是

图象的对称轴不关于直线x

=1对称关于y轴对称题型突破【类题演练】（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝g(x)的图象与y＝lnx的图象关于直线x＝2对称，则g(x)＝

．ln(4－x)【分析】利用对称的定义求解即可.【详解】

y＝g(x)图象y＝lnx图象关于直线x＝2对称任取点(x,y)点(4－x,y)y＝ln(4－x)

例8（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数

的结论正确的是（

）A．D(D(x))有零点

B．D(x)是单调函数

C．D(x)是奇函数

D．D(x)是周期函数题型突破题型04函数的周期性

D【详解】∵，∴D(D(x))=1>0，故D(D(x))无零点，A错误，

∵D(x)=0或D(x)=1均为有理数，故D(x)不是单调函数，B错误，∴，∵x和－x同为有理数或同为无理数

，∴，故D(x)是偶函数，C错误，设T为任意非零有理数，则x和x+T同为有理数或同为无理数，∴D(x+T)=D(x)故D(x)是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确，故选：D.题型突破【分析】根据函数周期的定义，求解即可．【详解】因为f(2x+5)的周期是3，所以f(2x+5)=f(2(x+3)+5)=f(2x+11)，令2x+5=y，则f(y)=f(y+6)，所以f(x)的周期为6，故选：CD【类题演练】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(2x+5)的周期是3，则f(x)的周期为（

）．

A．

B．3

C．6

D．9C题型突破故选：C【分析】根据周期性求函数解析式.【详解】∵函数f(x)是T=4的周期函数，∴f(x－4n)=f(x)，例9（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)=2x2+1，x∈[－2,2]，则f(x)在区间[4n－2,4n+2](n∈Z)上的解析式为（

）

A．

B．

C．

D．∴x∈[4n－2,4n+2](n∈Z)时，∴f(x－4n)=2(x－4n)2+1=f(x)Cx－4n∈

[－2,2]题型突破故选：D【类题演练】已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x－2)是偶函数，当0≤x≤

2时，f(x)=x2－4x，则当6≤x≤

8时，f(x)的解析式为（

）

A．f(x)=－x2－4xB．f(x)=x2－16x

+60

C．f(x)=x2－12x+32

D．f(x)=－x2+12x－32D【详解】∵f(x)是定义域为R的奇函数，f(x－2)是偶函数，∴f(－x)=－f(x)，f(－x－2)=f(x－2)即，f(－x)=f(x－4)∴f(x－4)=－f(x)，∴f(x+4)=－f(x)，∴f(x+8)=－f(x+4)=f(x)，∴f(x)的最小正周期为8，∴当6≤x≤

8时，0≤8－x≤

2，又当0≤x≤

2时，f(x)=x2－4x，f(8－x)=(8－x)2－4(8－x)=x2－12x+32，∴f(x)=f(x－8)=－f(8－x)=－(x2－12x+32)=－x2+12x－32，例10若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f()的值等于()A．

B．

C．

D．题型突破故选：D【详解】∵函数f(x)是偶函数，∴f(2－x)＝－f(－x)，∴f(x+4)=－f(x+2)=－[－f(x)]=f(x)D∴f(－x)=f(x)，∵f(2－x)＝－f(x)，即f(2+x)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(

)=

f(

－4)=

f(－

)=f(

)=－1=－例11（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知函数f(x)对任意的x,y∈R，，都有f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(2)=－1，则（

）A．f(0)=1

B．f(x)是奇函数

C．f(x)的周期为4

D．题型突破题型05函数奇偶性、对称性和周期性的综合应用

A【详解】f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)得f(y)+f(－y)=2f(0)f(y)=2f(y)，令x=y=0，得2f(0)=2[f(0)]2，又f(0)≠0，∴f(0)=1A正确令x=0，∴f(－y)=f(y)∴f(x)是偶函数，B错误令x=y=1，得f(2)+f(0)=2[f(1)]2=0，∴f(1)=0令x=1，得f(1+y)+f(1－y)=2f(1)f(y)=0，C正确Cf(x)图象关于y轴对称关于点(1,0)对称T=4例11（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知函数f(x)对任意的x,y∈R，，都有f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0，，则（

）A．f(0)=1

B．f(x)是奇函数

C．f(x)的周期为4

D．题型突破题型05函数奇偶性、对称性和周期性的综合应用

A【详解】f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)f(－x)=f(x)f(1+x)+f(1－x)=0Cf(0)=1f(1)=0f(2)=－1f(4)=f(0)=1由周期性f(3)=f(3－4)=f(－1)=f(1)=0∴f(1)=f(3)=f(5)=···=0f(2)=f(6)=f(10)=···=－1f(4)=f(8)=f(12)=···=1D例11（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知函数f(x)对任意的x,y∈R，，都有f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(2)=－1，则（

）A．f(0)=1

B．f(x)是奇函数

C．f(x)的周期为4

D．题型突破题型05函数奇偶性、对称性和周期性的综合应用

A【详解】∵f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，得f(y)+f(－y)=2f(0)f(y)=2f(y)，令x=y=0，得2f(0)=2[f(0)]2，又f(0)≠0，∴f(0)=1∴f(x+1)=－f(x－1)A正确令x=0，∴f(－y)=f(y)∴f(x)是偶函数，B错误令x=y=1，得f(2)+f(0)=2[f(1)]2=0，∴f(1)=0令y=1，得f(x+1)+f(x－1)=2f(x)f(1)=0，即f(x+2)=－f(x)∴f(x+4)=－f(x+2)=f(x)∴f(x)的周期为4，C正确C例11（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知函数f(x)对任意的x,y∈R，，都有f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(2)=－1，则（

）A．f(0)=1

B．f(x)是奇函数

C．f(x)的周期为4

D．题型突破题型05函数奇偶性、对称性和周期性的综合应用

A【详解】f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，Cf(－x)=f(x)f(x+4)=－f(x+2)=f(x)∴f(3)=－f(1)=0f(0)=1f(1)=0f(2)=－1f(4)=f(0)=1∴f(1)=f(3)=f(5)=···=0f(2)=f(6)=f(10)=···=－1f(4)=f(8)=f(12)=···=1D题型突破【类题演练1】（2024·四川·模拟预测）已知函数f′(x)为定义在R上的函数f(x)的导函数，f(x－1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，且f′(0)=2，则下列说法不正确的是（

）A．f(0)=f(2)B．f′(－1)+f′(3)=0C．f′(4)=2D．C【详解】∵f(x－1)为奇函数，∴f(－x－1)=－f(x－1)，①∵f(x+1)为偶函数，∴f(－x+1)=f(x+1)，

②对①两边求导可得－f′(－x－1)=－f′(x－1)，即f′(－x－1)=f′(x－1)，③对②两边求导可得－f′(－x+1)=f′(x+1)，即f′(－x+1)+f′(x+1)=0，

④将x=1代入②得f(0)=f(2)，故A正确；将x=2代入④得f′(－1)+f′(3)=0，故B正确；将x=3代入④得f′(－2)+f′(4)=0将x=1代入③得f′(－2)=f′(0)=2，∴f′(4)=－2，C错误；题型突破【类题演练1】（2024·四川·模拟预测）已知函数f′(x)为定义在R上的函数f(x)的导函数，f(x－1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，且f′(0)=2，则下列说法不正确的是（

）A．f(0)=f(2)B．f′(－1)+f′(3)=0C．f′(4)=2D．Cf(x－1)关于点(0,0)对称f(－x－1)=－f(x－1)，

①向右平移1个单位关于点(－1,0)对称f(x)f(x+1)关于y轴对称f(－x+1)=f(x+1)，

②向左平移1个单位关于x=1对称f(x)导函数f′(x)关于点(a,b)对称f(x)可导关于x=a对称关于x=a对称关于点(a,0)对称导函数f′(x)关于x=－1对称关于点(1,0)对称f′(－x－1)=f′(x－1)，

③f′(－x+1)+f′(x+1)=0，

④题型突破【类题演练1】（2024·四川·模拟预测）已知函数f′(x)为定义在R上的函数f(x)的导函数，f(x－1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，且f′(0)=2，则下列说法不正确的是（

）A．f(0)=f(2)B．f′(－1)+f′(3)=0C．f′(4)=2D．C【详解】f′(8)=