2.4.2空间线面位置关系的判定（第1课时）课件高二下学期数学选择性

空间线面位置关系的判定第1课时向量与垂直第2章空间向量与立体几何湘教版

数学

选择性必修第二册课标要求1.了解三垂线定理及其逆定理的内容.2.掌握利用直线的方向向量与平面的法向量判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点向量与垂直1.v1,v2分别为直线l1,l2的方向向量,v1=(x1,y1,z1),v2=(x2,y2,z2),n1,n2为平面α1,α2的法向量,n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2).位置关系向量表示向量运算坐标运算l1⊥l2v1⊥v2v1·v2=0

l1⊥α1

n1=kv1a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1,k为非零常数α1⊥α2n1⊥n2

a1a2+b1b2+c1c2=0x1x2+y1y2+z1z2=0v1∥n1n1·n2=02.三垂线定理及其逆定理:(1)三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的

在这个平面内的

垂直,则它和这条

也垂直.

本质是平面内的直线与平面的斜线垂直的判定定理

(2)三垂线定理的逆定理:如果平面内的

和这个平面的

垂直,则它和这条斜线在平面内的射影也垂直.

本质是平面内的直线与平面的斜线垂直的性质定理

一条斜线

射影

斜线

一条直线

一条斜线

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若直线l是平面α外的一条直线,直线m垂直于l在平面α内的射影,则l与m垂直.(

)(2)若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线,则这两个平面互相垂直.(

)×√2.怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系?提示

(1)若证线线垂直,则证直线的方向向量垂直;(2)若证线面垂直,则证直线的方向向量与平面的法向量平行;(3)若证面面垂直,则证两平面的法向量垂直.重难探究·能力素养全提升探究点一利用三垂线定理及逆定理证明垂直关系【例1】

如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接BD1,AC,CB1,B1A,求证:BD1⊥平面AB1C.证明

如图,连接BD,A1B,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又DD1⊥平面ABCD,∴BD是斜线BD1在平面ABCD内的射影,AC⊂平面ABCD,∴BD1⊥AC.∵BA1是BD1在平面ABB1A1内的射影,AB1⊂平面ABB1A1,AB1⊥A1B,∴BD1⊥AB1.∵AB1∩AC=A,AB1,AC⊂平面AB1C,∴BD1⊥平面AB1C.规律方法

利用三垂线定理证明线线垂直的步骤(1)找平面(基准面)及平面的垂线;(2)找射影线;(3)证明射影线与直线垂直,从而得线线垂直,更进一步证明线面垂直或面面垂直.变式训练1在三棱锥P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,平面PAC⊥平面ABC.求证:PB⊥BC.证明∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊥AC,PA⊂平面PAC,∴PA⊥平面ABC.∴AB是直线PB在平面ABC内的射影.又AB⊥BC,BC⊂平面ABC,∴PB⊥BC.探究点二向量在垂直问题中的应用角度1.利用向量证明线面垂直【例2】

[北师大版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱长AB=AD=2,AA'=3,点E是平面BCC'B'上的动点,点F是CD的中点.试确定点E的位置,使D'E⊥平面AB'F.解

以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,并取相同的单位长度,建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),F(1,2,0),B'(2,0,3),D'(0,2,3).因为点E在平面BCC'B'上,所以可设E(2,y,z).规律方法

用向量证明线面垂直的方法

基向量法在几何图中选取基向量,利用基向量表示平面外的直线和平面内的不共线的两条直线,证明直线的方向向量与平面内的两不共线向量垂直坐标法建立空间直角坐标系,利用坐标表示直线的方向向量及平面内不共线的向量,根据向量数量积的坐标运算证明直线的方向向量与平面内的两不共线向量数量积为0法向量法建立空间直角坐标系,利用坐标表示直线的方向向量,求出平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量共线变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC.证明

因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则

角度2.利用向量证明平面与平面垂直【例3】

在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.规律方法

用向量证明面面垂直的方法

判定定理法利用向量证明平面内一条直线的方向向量与另一个平面内的两不共线向量垂直法向量法建立空间直角坐标系,求出两平面的法向量,根据向量数量积的坐标运算证明两法向量的数量积为0变式训练3三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.以BC⊥平面A1AD,又BC⊂平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.因为n1·n2=1-1+0=0,所以n1⊥n2,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.本节要点归纳1.知识清单:(1)三垂线定理;(2)空间向量与垂直.2.方法归纳:利用逻辑推理及三垂线定理及逆定理证明垂直关系;向量转化法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直.3.常见误区:三垂线定理中的条件是“平面内的一条直线”,忽视这一条件,就会产生错误结果.利用向量法证明垂直关系,涉及的运算要准确,尤其是平面法向量的计算要正确.成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练12345678910111213141516171.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则(

)A.l∥α

B.l⊥αC.l⊂α

D.l与α斜交B解析

由已知可得n=-2a,则n∥a,因此l⊥α.故选B.12345678910111213141516172.已知平面α的法向量为a=(2,3,-1),平面β的法向量为b=(1,0,k),若α⊥β,则k等于(

)A.1 B.-1C.2 D.-2C解析

由题知a·b=2+0-k=0,解得k=2.故选C.12345678910111213141516173.过点A(2,-5,1)且与向量a=(-3,2,1)垂直的向量(

)A.有且只有一个B.有无数个且共面C.只有两个且方向相反D.有无数个且共线B解析

设过点A(2,-5,1)且与向量a=(-3,2,1)垂直的平面为α,则平面α内过点A(2,-5,1)的任何向量都与向量a=(-3,2,1)垂直,这样的向量有无数个且共面.故选B.12345678910111213141516174.已知平面α的法向量为(4,3,-7),若直线l⊥平面α,则直线l的方向向量可以为(

)A.(8,6,4) B.(-8,-6,14)B解析

因为平面α的法向量为n=(4,3,-7),又因为直线l⊥平面α,所以直线l的方向向量与向量n=(4,3,-7)共线,结合四个选项可知(-8,-6,14)=-2(4,3,-7),只有B选项符合题意.故选B.12345678910111213141516175.已知三条直线l1,l2,l3的一个方向向量分别为a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c=(-3,12,-9),则(

)A.l1⊥l2,但l1与l3不垂直 B.l1⊥l3,但l1与l2不垂直C.l2⊥l3,但l2与l1不垂直 D.l1,l2,l3两两互相垂直A解析

∵a·b=(4,-1,0)·(1,4,5)=4-4+0=0,a·c=(4,-1,0)·(-3,12,-9)=-12-12+0=-24≠0,b·c=(1,4,5)·(-3,12,-9)=-3+48-45=0,∴a⊥b,a与c不垂直,b⊥c,∴l1⊥l2,l2⊥l3,但l1不垂直于l3.故选A.12345678910111213141516176.(多选题)给出下列命题,其中是真命题的是(

)A.若直线l的方向向量a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=(2,1,),则l与m垂直B.若直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),则l⊥αC.若平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α⊥βD.若平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1AD1234567891011121314151617解析

由于a·b=1×2-1×1+2×()=0,因此a⊥b,所以直线l与m垂直,故A是真命题;由于a·n=0,则a⊥n,所以l∥α或l⊂α,故B是假命题;由于n1·n2=6,所以α⊥β不成立,故C是假命题;12345678910111213141516177.已知平面α的一个法向量n=(2,-2,5),平面α⊥β,写出平面β的一个法向量:

.

(1,1,0)解析

设平面β的一个法向量为m=(x,y,z),因为平面α⊥β,所以n·m=0,即2x-2y+5z=0,取x=1,y=1时,z=0,故平面β的一个法向量为m=(1,1,0).12345678910111213141516178.[2023山东枣庄月考]如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND⊥平面PCD.1234567891011121314151617证明

∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP两两垂直.如图所示,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,可得A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),1234567891011121314151617取y=-1,得x=-2,z=1,∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一个法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量.∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.1234567891011121314151617B级关键能力提升练9.

如图,在空间直角坐标系中,正方体棱长为2,点E是棱AB的中点,点F(0,y,z)是正方体的面AA1D1D上一点,且CF⊥B1E,则点F(0,y,z)满足方程(

)A.y-z=0 B.2y-z-1=0C.2y-z-2=0 D.z-1=0D123456789101112131415161710.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过点A且与直线BD1垂直的所有面对角线的条数为(

)A.0 B.1C.2 D.3C123456789101112131415161711.

如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD的值为(

)A.1∶2 B.1∶1C.3∶1 D.2∶1B解析

如图,以A为原点,AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方形的边长为1,PA=t,AF=λ,λ∈[0,1],则B(1,0,0),P(0,0,t),123456789101112131415161712.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM(

)A.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.与AC,MN都不垂直AC1234567891011121314151617解析

以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a),A1(2a,0,2a),123456789101112131415161713.

如图,在四棱锥E-ABCD中,平面ADE⊥平面ABCD,O,M分别为AD,DE的中点,四边形BCDO是边长为1的正方形,AE=DE,AE⊥DE.点N在直线AD上,若平面BMN⊥平面ABE,则线段AN的长为

.

123456789101112131415161714.

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点.(1)求证:A1E⊥BD;(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.1234567891011121314151617解

以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).设E(0,a,e)(0≤e≤a).1234567891011121314151617∴当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD.123456789101112131415161715.在三棱锥P-ABC中,底面ABC为正三角形,三条侧棱两两垂直,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证:(1)平面EFG⊥平面PBC;(2)EG⊥BC,PG⊥EG.证明

(1)(方法一)如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),于是1234567891011121314151617由题意知PA⊥平面PBC,∴FG⊥平面