2025高考数学一轮复习 向量法求空间角 专项训练

7.6.1-向量法求空间角-专项训练

[A组在基础中考查学科功底]

1.如图，在三棱锥尸-Z8C中，K4,平面48C,PA=AB=BC=1,PC=43.

(1)求证：平面P45；

(2)求二面角A-PC-B的大小.

2.如图，在直三棱柱4BC-Z1囱C中，4B=ZC=44i=3,点。是5c的中点,

点£在441上，40〃平面8C1E.

(1)求证：平面5C1E,平面581clC；

(2)当三棱锥B「BCiE的体积最大时，求直线AC与平面BCiE所成角的正弦值.

[B组在综合中考查关键能力]

3.如图所示，在直四棱柱ZBCQ-ZiBCbDi中，底面48CQ为菱形，ZABC=6Q°,

AB=2,^i=2V3,£为线段。£>i上一点.

⑴求证：ACLBiD；

(2)若平面ABxE与平面ABCD的夹角的余弦值为|,求直线BE与平面ABiE所成

角的正弦值.

4.如图，。是以48为直径的圆。上异于2,8的点，平面E4C,平面48C,

△Q4C中，PA=PC=AC=2,BC=4,E,尸分别是尸C,网的中点.

(1)求证：5C,平面B4C；

(2)记平面4EF与平面48C的交线为直线/,点0为直线/上的动点，求直线尸0

与平面AEF所成的角的取值范围.

参考答案

[A组在基础中考查学科功底]

1.解：⑴证明：因为E4,平面Z8C,5Cu平面N5C,

所以E4L5C,同理E4L4B,

所以△245为直角三角形，

义因为PB=7P或+AB2=无,BC=1,PC=43,

所以产序+^仃二尸。2,则△尸5c为直角三角形，故BCLPB.

又因为5CLE4,R4CPB=P,

所以5C,平面PAB.

(2)由⑴知5C,平面E45,又ABu平面R4B,贝I5CL48,

以幺为原点，45为x轴，过Z且与8c平行的直线为y轴，4P为z轴，建立空

间直角坐标系，如图，则2(0,0,0),尸(0,0,1),C(l,1,0),8(1,0,0),

所以9=(0,0,1),就=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1).

设平面R1C的法向量为〃，=(xi,yi,zi),

•AP=0,Zi=0,

即

•AC=0,xi+yi=o,

令xi=l,则yi=-1,所以“2=(1,—1,0)为平面E4C的一个法向量,

设平面P5C的法向量为〃=(X2,yi,Z2),

rfBC=0,(y=0,

则2

n•PC=0,U2+y2-z2=0,

令X2=l,则Z2=l,所以〃=(1,0,1)为平面P5C的一个法向量,

匕£/\m•n11

所以cosn)=——=-^—==-

|m||n|72x722

又因为二面角Z-PC-8为锐二面角，

所以二面角A-PC-B的大小为今

2.解：（1）证明：取8cl中点连接EAf,MD,如图所示.

:AB=AC,点。是8c的中点，：.AD±BC,

又是8cl的中点，：.DM//CC\,

又•在直三棱柱Z5C-Z向Ci中，有44i〃CG,44」平面Z8C,

：.DM//AE,。河，平面Z5C,

：40〃平面8C1E,且4Du平面4DME,平面4D〃En平面=瓦〃,

：.AD//ME,

VCCi±^-^]ABC,且ADu平面Z8C,

ACCilAD,

又,.•CCin5C=C,JLCCi,8Cu平面851clC,

.•.40,平面A8C1C

丈：AD〃ME,平面A81C1C,

,.•"Eu平面BCiE,

平面BCE，平面BBiCC

(2)由(1)知"EL平面BBiCiC,

1_

2

设8c=2a,则5Z)=a,AD=y/9-a,SAB1BC1=|x2aX3=3a,

••，B1-BC1E=W•3a.V9-a2^---=-,

由基本不等式知，当且仅当。二用7滔时等号成立，

即三棱锥B\-BCxE的体积最大，此时a=竺.

以。为坐标原点，D4所在直线为x轴，所在直线为y轴，DW所在直线为z

轴建立空间直角坐标系，如图所示，则有Z（亭，0,0）,C（0,0）,8（0,

浮。），E律,。，1），«。,-耍3）,.•.前=（一吸一斗,0）,印

=（0,3V2,-3）,靛=件，—不，|）,设平面5C1E的法向量为〃=（修，加

21）,

（n•CyB-3y[iy、—3z1——0,

则有,无？3&3V23八

（n•BE=—-—7i+-Zi=0,

取刈=/，解得〃=（0,V2,2）为平面8C1E的一个法向量，

设直线ZC与平面BC\E所成的角为。，

贝Isin（9=|cos（n,AC）|=3=^-,

5XVZ十4O

故直线ZC与平面BCxE所成角的正弦值为终.

6

[B组在综合中考查关键能力]

3.解：（1）证明：连接AD,

•底面ABCD为菱形，：.AC±BD.

又851，平面/BCD,NCu平面A5C。，：.BBi_LAC.

入BDCBBi=B,BD,BBC平面BDBi,

.•./C，平面AD81.又BiDu平面BDBi,：.AC±BiD.

(2)设CD的中点为E,连接4F,如图.

•.•△/CD为等边三角形，：.AF±CD,

又CD"AB,贝UAFLAB.

又441，平面48c贝I441,48,AAi±AF.

以N为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则2(0,0,0),5(2,0,0),C(l,V3,0),E(~l,V3,h)(09W25BiQ,

0,2V3),

福=(2,0,2V3),族=(—1,V3,〃)，

设平面的法向量为〃=(x,y,z),

t(n•AB[-0,.(2x+2gz=0,

(n,AE-0,I—%+V3y+hz=0,

令x=3,则〃=(3,h+W,—8)为平面的一个法向量.

又平面48CQ的一个法向量为股=(0,0,1),

n•m——\/3

则cos〈〃，m)

M\m\7/I*2+2V3/I+15

又平面ABiE与平面ABCD的夹角的余弦值为右

•••〃=个(九=_?舍去)，•'必君=(-3,V3,?),

/\BE・n-6—8VT7

cos〈BE,«>=质祠=/.迤=飞〕，

22

...直线与平面ABiE所成角的正弦值为察.

85

4.解：(1)证明：因为C是以Z8为直径的圆。上异于Z,5的点，...5CLZC,

又平面E4C,平面48C,且平面E4CA平面45C=/C,8Cu平面48C,：.BC1.

平面E4c.

(2)V£,R分别是尸分尸3的中点,J.BC//EF.

又EFu平面AEF,8CC平面4E户，：.BC〃平面AEF,

又8Cu平面48C,平面4EFA平面48C=/,

：.BC//l.

以C为坐标原点，CA,C5所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面N8C

的直线为2轴，建立空间直角坐标系(图略)，

则幺(2,0,0),8(0,4,0),0(1,0,V3),

・'EG，。，鸟,呜2,身,

•••瓦=(一|,0,亨),EF=(0,2,0),

'：BC//l,I.